整式の倍数判定の問題です。指示通り数学的帰納法を用いて証明しましょう。$7$が素数なのでフェルマーの小定理とも関係の深い問題とも言えます。\mathrm{C}_k$は$m$個から$k$個取る組合せの総数を表す。\mathrm{C}_k$は$7$の倍数であることを示せ。\mathrm{C}_k$は$p$の倍数であることを示せ。は$7$の倍数であることを示せ。前期文系第2問)《考え方》(1)は確認するだけでOKです。(2)は先日の「創作整数問題#5」でも触れた内容です。\mathrm{C}_k&=\dfrac{p!}{(p-k)!k!}\\&=p\cdot\dfrac{(p-1)!}{(p-k)!k!}\end{align}$$と表せます。$p$が素数であることからこの分母$(p-k)!k!$の素因数には$p$が含まれません。\mathrm{C}_k$は整数ですから$\dfrac{(p-1)!}{(p-k)!k!}$は整数でなければなりません。\mathrm{C}_k$は$p$の倍数となります。(3)合同式を使えばすぐに片付きそうですが、ここでは(2)を有効利用する方針で解いてみます。\end{align}$$となります。して適用すると、これは$7$の倍数になっていることが言えます。よって数学的帰納法を使うには$a_n$が$7$の倍数であることを示せば良いことになります。$7$の倍数であることが言えますから、結局すべての自然数$n$について$a_n$が$7$の倍数であることが言えます。$p$で割り切れるという事実は整数分野では頻出事項です。実際の試験では上記のようなアウトラインを書くだけでなく、しっかりと論証してください。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。