いう代数学ってあるのかなー?」とか、あれこれ詮索して結局ウィキペディアで調べてしまった私にとっては「難しい」です(笑)。ユーザーID:3716159584トピ主です。一定の順序で式を書かせて解けるようにする。単位量が十分に理解できれば、交換法則を学ばせ、やがて面積計算(小4)を学んだ頃には式の記述も柔軟になってくるだろうという個別のケースであれば「そうなのか」とは思えます。それだけではなさそうで、以下の疑問点があります。そもそも、かけ算の順序が問われるとしたら、それはいつまでかが明確なのか。児童一律に「この順序で書きなさい。今は「理解したかどうかを簡単に把握するために統制する」以上の理由が見えてきません。20:53左が掛けられる数、右が掛ける数。そこに異論を唱える人はいないとして。(1個あたり)『80円』が「掛けられる数でなければならない」かの説明って誰かできるでしょうか?『5個』が「掛ける数でなければならない」理由は?さて。タロー君がアメを4個持っています。ジロー君は3個持っています。合計でアメは何個あるでしょう?4+3=7と答えます。この式において4は「足される数」です。掛け算の論理でいくと、何らかの理由によって、どちらかが「足される数」に決定されるはずです。私はタロー君の持っている数を足される数としましたが、これは正解・不正解のどちらでしょう?そして、その理由は何でしょう?詭弁で良い。誰か答えられる人いますか?このへんの問題は「知識が無い人向けの方便」を「絶対普遍の真実」であると信じている大人がいるってことでしょうな。20:59記憶は定かではないけど、娘(少6)は先に公文でやっててかなり進んでたので「学校ではとりあえず習った順番で答えとけ、どうせ後になったらどっちでもいいんだけど」と言った様な言わなかったような(笑)。親がこういう性格なもんで娘は苦労してるようです。「パパの説明、いつも長い~」と嫌がられてます(笑)。眺めててちょっと気になったことがあります。掛け算の最初の説明(定義)として、同じものを何回か足したものを掛け算として計算する、とありますが、最初に触れて後は割りとそれっきりな印象です。変に単位がどーたらよりも、わからない子がいたらここに戻ればいいような気がするんだけど、なんか戻れない理由でもあるのかな。22:47>だから、答えは正しいかもしれないが、それを計算する過程で先生の指導に従わなかったらXにされてもしかたがない、と言ってあげるのがいいんじゃないかと思います。「3時間で15km走った。同じ速度で6時間走ったときの距離は?」を「6時間は3時間の2倍だから、15×2で30km」と答えてバツになった。距離÷時間で時速を出して、・・・とやらなかったからと思われる。この解答は数学的には非の打ち所はないが、「教えた公式を使うように」と一言あれがバツにしていいのだろうか?常日頃から、「テストには教えたとおりに答えるように」と指導していたら、それとは異なるやり方でやった場合にバツにしていいのだろうか?そのような指導自体が問題あるかと思う。「一体その教員は算数の授業で何を生徒に教えたいのか?」と疑問に思うことが多々あります。マニュアルに当てはめさせることに腐心する教員が少なからずいます。「かけ算の順序」の指導もその一環のように感じます。大切なのは、考え方だと思います。かけ算の初歩段階であれば、「順序」も理解できるのですが。ユーザーID:8503241366トピ主です。22:50●二立さんレスありがとうございます。過去の鋭いレスについても、併せて御礼申し上げます。私の投稿が遅かったり、他の方や私の投稿の反映にタイムラグがあったりはしますが、どんな話題でも遠慮なく投稿くださいませ。本題ですが、かけ算の順序についての議論は、他にぴったりの類例がなかなか見つからないことが、一層、議論を困難にしている気がします。「"左"も"右"も横棒から書いたほうが簡単だから、そう書くように。"右"を、斜めから書き始めたら×にします」と指導したとしたら、その指導は明らかに誤りと言えますよね。先生がどう指導するか以前に「正しい書き順」というものがあり、それに従って指導することが望まれている訳です。算数であれば、算数・数学の教育の一環としてきちんとした指導の根拠があるのかどうか、という議論が必要ではないでしょうか。0:09>このとき、「答えの単位の数を左」というヒントがあれば格段に式が立てやすくなります。「何冊か?と聞いている。5冊とあるから、5×○だ」ということで、「みはじ」同様、理解していない解けてしまう。ところが答えは正しいので、本人も教える側も「理解している」と思いこむ危険がある。書いたように、「考え方を理解するための順序」のはずが、「単位に着目させれば、意味を理解しなくても立式できる」となっていませんか?「『の』とあったら、かけ算」などという文章題攻略指導と同様に思えるのですが。一方で、文章の意味を正しく読みとり、「3つのケースの中にそれぞれ5冊あるから」と正しく理解して、さらに「かけ算は本質的に可換」と正しく認識しているので、順序を気にせず3×5とすると誤答になりかねないというのは、やはりおかしく思えます。「みはじ」同様、「理解力のない生徒が理解しなくても解ける方法」というならわかるのですが、自転車に乗れる子に補助輪を強要することはないと思います。http://math.artet.net/?eid=1051119も参考になります。問題をはっきりさせてみました。「整数について、1-1=0を証明せよ。以下は、岩波数学辞典による整数の代数的構成です。(こんな整数、イヤだ!)自然数Nを既知とし、Zを、Nと0,およびNの符号を変えたものの全体、とする。M=N×Nとおき、Mに同値関係(k,l)~(m,n)をk+n=l+mで定める。(k,l)の同値類をK(k,l)とし、商集合M/~をM*とおく。φ(-n)=K(k,n+k)で定めると、ZとM*は1対1に対応する(同一視できる)。1:26DITAさん、丁寧なコメントをありがとうございます。気にはしていたのですが、遅くなってしまいました。トピはすっかり他の話題で盛り上がっているようで、今さらなのですが、いちおう回答します。ugougoさんと私の考えの違いは、(中略)、合っていますでしょうか。(中略)、「数を作る」ことが明記されている仮定の上ということで良いでしょうか。先に2つ目のご質問についてですが、その通りです。「仮定」というよりも、私は、元の問題文には「数を作る」と明記されていると「確信」しています。理由は元トピにくどくど書きました。その上で1つ目のご質問ですが、「基準」と「常識」と「さじ加減」の使い分けがよく分かっていないのですが、おそらく合っています。私の理解では、DITAさんと私の考えの違いは、出題者の「気持ち」だと思います。都合4つある条件の中で、「先頭に0がきた場合は、次は必ず小数点がくる」という条件が一番頭を使わないといけないということは、私にもよく分かります。1:29DITAさんは、だからこそ「あえて」この条件だけ但し書きをつけなかったとお考えです。(よね?)私は、「数」といえるかどうか判断に迷いそうな条件に但し書きをつけていったら、この条件だけ但し書きがつかないことに「たまたまなってしまった」と考えています。出題者の「気持ち」など、どうでもいいと言えばどうでもいいのですが、時間が経って自分で思い当たったのは、私は、この問題を、学習効果の高いとても良くできた問題だと考えています。その問題が「題意があいまいだ」と切って捨てられようとしているのが、私には我慢できないのだと思います。それで、「出題者はむしろ題意を明確にするためにこのような但し書きのつけ方をしたのだ」と強調したくて、ここにやけにこだわってしまうのだと思います。小数点の位置を、捨象の対象としなかったのはなぜでしょう。(中略)つまり「よく目にする」であれば「よく」の基準です。ご質問の主旨がよく分かりません。「よく」の基準は、出題者の主観ではないでしょうか。1:32(1)DITAさんの(未来の)お子さんには、「5×80でももちろん合っているんだけど、テストでは80×5と書いておいたほうがいい。『かけられる数』と『かける数』の区別がついてないと先生に思われるのはシャクじゃない?」とアドバイスしたいです。英文和訳でも、「こなれた」日本語ではなく、「ちゃんと構文とイディオムを理解してますよ」とアピールするような直訳を書きますよね?あれと同じです。学校のテストなんてそんなものだ、ということです。(2)私も格言(?)を思い出しました。“数学は、基礎の積み重ねではなく、基礎の積み直しである。”東京出版の増刊号のどれだったかに書かれていた言葉です。「数学とは」ではなく、「数学を学ぶときの心構え」ですけど。ここで言う「積み直し」とは、かるさんのおっしゃるところの「上書き」と同じ意味だと思います。(3)1=0.999・・・の「=」は、「いくらでも近づけることができる」と頭の中で翻訳しろ、と教わりました。全国共通の教え方だと思っていたのですが、そうではなかったのですね。3:27>だから、答えは正しいかもしれないが、それを計算する過程で先生の指導に従わなかったらXにされてもしかたがない「かけ算は、(1つ分)×(いくつ分)の順序で」と指示があった場合に「4人に蜜柑を3個ずつ配る。蜜柑の個数は?」を、4×3と答えたら誤答にしていいのでしょうか?4人に1個目を配り、2個目を配り、・・・とすれば、(1つあたり)=4、(いくつ分)=3です。「(蜜柑の個数)×(人数)の順序で」という指示なら、4×3は誤答というのは理解できますが、これだとそもそも出題意図が理解できないですね。それから、他の「順序の指導」の重要性を主張する方にもお聞きしたいのです。「3×4と4×3は答えは同じでも意味が違う」という人がいます。意味が同じか違うかは抽象度によって変わってきて、ある程度理解すれば抽象化して両者を「同じ」と認識できるのですが、「小学校で違うと習ったから違うのだ」と思いこんでいる人がいます。4:27「20÷4」には2つの意味があるとされる。「20の中に4がいくつあるか?」(包含除)と「20を4等分すると1つあたりは」(等分除)。これは4×5と5×4の「違い」に対応している。20個を4等分する場合は、ABCDに1個ずつ置いて、2個目を置いて、とすれば20の中に4がいくつあるか?というのと同じ事になって、包含除と等分除の区別は、かけ算の順序同様、見かけ上のことでしかない。かけ算の順序と割り算の包含除・等分除は表裏一体の関係である。ところが、「20個の蜜柑を4人に等しく分けると1人分は?」と「20個の蜜柑を1人4個ずつ配ると、何人に配ることになるか?」の式はどちらも「20÷4」で正解となる。私はこれで構わないと思うが、かけ算の順序にこだわる立場からしたら、「20÷4(等分)」「20÷4(包含)」などと区別しないと整合性がないと思える。どちらも同じ記号「÷」を使うから敢えて区別する必要がない、ということなら、積もまた同様である。4×5、5×4という2つの表記があるので、2つの異なる意味を割り振らなくてはならない、という道理もなかろう。7:32>このとき、「答えの単位の数を左」というヒントがあれば>格段に式が立てやすくなります。長方形の面積はどうしますか?あるいは、時速50kmの車が3時間走った時の走行距離はどうなりますか?正しくないものを敢えて正しいと教える時は相当注意深くする必要があるのです。小学校の先生であれば少なくとも6年生までの指導内容を全部確認してから教え方を決めるべきです。今回のケースでは掛け算の順序より単位を理解する方が重要でしょう。問題文に「計算とともに単位も書きなさい」と入れれば良いのです。400は単位がないので両方とも減点で良いと思います(両方マルでも良いですが、片方だけ×はあり得ないです)。ユーザーID:6402484983トピ主です。児童への教育的効果を考慮したものでないといけませんね。ないと、ただのモンスターと思われかねないです(笑)。私個人としては恐らくびっくりも憤慨もしない気がします。いった先生の存在や、主張の内容をすでに知っているからです。文章題から「もとになる数」がどれかを答えさせます。理解が確認できれば、子供に対し「数学的にはどちらでも構わないが、小学校によっては、単位数を先に書くことが"作法"になっている」といった説明をするのではないかと思います。積算を習う段階で加算からのステップアップを図ります。「80円のものを5個買いました。」は「80+80+80+80+80=400」が元です。4個なら「80+80+80+80=320」です。ここから、「同じ数字」を「繰り返し加算」する場合は掛け算にできるよ、となります。「掛けられる数」は「繰り返される数」であり「掛ける数」は「繰り返し回数」です。単位の話も出てますが、このステップアップ法で「円」の加算を起点にするので「円/個」「個」は実は式中では意識されません。タロー君の飴とジロー君の飴の合計数の問題では4+3=7も3+4=7も正解です。問題分から「寄せる」ベクトルが書かれていないため。「タロー君が持っている飴を全部ジロー君に渡しました」とか書かれれば3+4=7に拘る先生もいるかもしれませんが。仮定すると-1を右辺に移項して1≠1これは明らかに矛盾しているので仮定は違っている。成り立つ(証明終わり)誰か必ずつっこんでくださいね。14:53主事によれば、「最初は具体的イメージを捉えることが大事。『4人に3個ずつ蜜柑』が配り方の違いで、4×3ともなりうると言うなら、『3つの蜜柑が入った袋を4人に配る』という具合に、3が4つという具体的イメージが思い浮かぶ問題にすべき。採点のとき、みんなの答えが両方あると、問題の作り方がまずくて、1つ分といくつ分が明確でないのか、と反省する」とのことです。単なる数え方の問題で具体的配り方によらず、4×3も3×4も正解だと思う。4つの袋に蜜柑を詰める作業で、1個ずつ、・・というのも可能。私が教員で、どっちでもいいのに全員が3×4としたら、むしろ気持ち悪いと感じると思うが、感覚が違うようだ。「4人家族がいて、みんな毎日1個ずつ蜜柑を食べる。3日間でこの家族が食べた蜜柑は何個?」は、1つ分といくつ分が不明瞭だから、「悪い問題」なのかな?1つ分といくつ分が明瞭でない問題は出せない、となると、かけ算の有用性を制約することにならないだろうか?順序にこだわるから、「1つ分といくつ分が明瞭な問題しか作れない」という、これまた奇妙なルールが出来てしまう。15:46順序にこだわる人がいう「単位」って、「文章題に出ている数値についている単位」の事のようですね。4(人)×3(個)=12(個)を比較して、「両端の単位が一致している前者が正解。後者は、4(人)×3(個)=12(人)になってしまう。」ということのようです。すると、「4人が各自1日1個蜜柑を食べる。4(人)×3(日)=12(人)となって回答不能となる。中途半端な単位の導入はかえって混乱を招きかねないと思う。小学校で「20本の花がある。5本で1つの花束を作る。花束はいくつ出来る?」を、「4束」と答えて誤答になった例がある。この教員、「単位の大切さ」を教えたかったのかもしれないが、何か勘違いしている。15:581-1=0を背理法で、と言ったのは高校で習った背理法をそのままあてはめるだけでいいのかなぁ...と思っただけで。1-1≠0と仮定する。