「オイラーのファイ関数」「オイラーのトーシェント関数」または単に「オイラー関数」と呼びます。悩む男性オイラー関数の値はどうやって求めればいいんだろう?公式とかはあるのかな?悩む女性オイラー関数を求める問題をたくさん解きたい。他の応用例もあったら知りたいわ。高校教諭経験アリの僕がわかりやすく解説します。スポンサーリンク目次オイラー関数の公式とは?【「素数のべき乗」「乗法性」に注目だ!】オイラー関数には、とっても便利な公式があります。素因数分解できるとき、$$φ(n)=n(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})(1-\frac{1}{r})$$なんと、素因数分解ができてしまえば、オイラー関数の値はすぐに求まってしまうのです!ウチダこれ、不思議ですよね~。この公式は成り立っています。ある自然数としたとき、$$φ(p^k)=p^k-p^{k-1}$$が成り立つ。互いに素な自然数としたとき、$$φ(nm)=φ(n)φ(m)$$が成り立つ。とき、\begin{align}φ(n)&=φ(p^kq^lr^m)\\&=φ(p^k)φ(q^l)φ(r^m)\\&=(p^k-p^{k-1})(q^l-q^{l-1})(r^m-r^{m-1})\\&=p^kq^lr^m(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})(1-\frac{1}{r})\\&=n(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})(1-\frac{1}{r})\end{align}と公式を示すことができます。行目で「素数のべき乗の性質」を用いています。オイラー関数の計算問題4選それでは一度、公式を使う練習をしてみましょう。\begin{align}φ(625)&=625(1-\frac{1}{5})\\&=625・\frac{4}{5}\\&=500\end{align}(解答終了)一般化されている公式を使っているため、計算が少し回りくどいですが、しっかりと求めることができます。ウチダ「もっと具体的な話から勉強したい」という方は、「互いに素な自然数とは?【応用例7選もわかりやすく解説します】」の記事から読み進めることをオススメします。つの証明を考えていきましょう!重要な事実2つの証明【大学数学レベル】まず、素数のべき乗のトーシェント関数$$φ(p^k)=p^k-p^{k-1}$$これについては簡単です。問題なのが、オイラー関数の乗法性$$φ(nm)=φ(n)φ(m)$$こっちなんですね~。これについてはしっかり証明しようとすると、大学レベルの数学を要しますので、ここでは証明の概要だけ追ってみたいと思います。$20$と並べてみる。割った余りがすべて異なることに気づく。個と表すことができる。今の議論は、薄い赤色の部分に対しても同様に成り立つ。あるため、$$φ(20)=φ(4)φ(5)$$が成り立つ。