=\dfrac{1}{6}$$となる。それぞれの場合について調べると、適するものは$$(b,c)=(7,42)、(8,24)、(9,18)、(10,15)$$と求められる。=\dfrac{1}{4}$$となる。それぞれの場合について調べると、適するものは$$(b,c)=(5,20)、(6,12)$$と求められる。=\dfrac{3}{10}$$となる。それぞれの場合について調べると、適するものはありません。以上より、求める3つの自然数の組$(a,b,c)$は$(3,7,42)$、$(3,8,24)$、$(3,9,18)$、$(3,10,15)$、$(4,5,20)$、$(4,6,12)$となります。(2)は単問だったら難問ですが、(1)を手掛かりに解くことができます。右辺を$\dfrac{1}{2}$にすれば(1)を利用できるのでは?と考えて、(2)の方程式の両辺を$2n$で割ってみると$$\dfrac{p}{2n}+\dfrac{q}{2n}+\dfrac{r}{2n}=\dfrac{1}{2}$$となります。は$2n$の約数なので単位分数に直すことができることに気が付きます。存在し、$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{2}$$と置き換えることができます。個数に1対1で対応するので、組$(p,q,r)$の個数$f(n)$は条件(**)を満たすような組$(a,b,c)$の個数に等しくなります。よって(1)で求めた解がすべて(**)を満たすような$n$を選べば$f(n)$が最大になると気付くことができます。以下、それぞれの解について調べます。$(3,7,42)$が解となるとき(**)より$$\dfrac{3p}{2}=\dfrac{7q}{2}=21r=n$$となるから$n$は$21$の倍数です。$(3,8,24)$が解となるとき(**)より$$\dfrac{3p}{2}=4q=12r=n$$となるから$n$は$12$の倍数です。$(3,9,18)$が解となるとき(**)より$$\dfrac{3p}{2}=\dfrac{9q}{2}=9r=n$$となるから$n$は$9$の倍数です。$(3,10,15)$が解となるとき(**)より$$\dfrac{3p}{2}=5q=\dfrac{15r}{2}=n$$となるから$n$は$15$の倍数です。$(4,5,20)$が解となるとき(**)より$$2p=\dfrac{5q}{2}=10r=n$$となるから$n$は$10$の倍数です。$(4,6,12)$が解となるとき(**)より$$2p=3q=6r=n$$となるから$n$は$6$の倍数です。よって$f(n)$は$n$が$21$、$12$、$9$、$15$、$10$、$6$のすべての倍数であるときに最大となることが分かりました。7$を素因数に持てばよいので、$1260$の倍数であればよいことになります。(コメント)良く練られた問題です。今後色々な参考書で取り上げられるのではないでしょうか。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。