オイラー法は収束である。あることも明らかになる。したがって、オイラー法は1次方法となる。収束性を示したことで、方法が使えるようになる。小さい場合、近似解が厳密解に収束することのみである。どれだけ小さくすれば正しい近似解を得られるのかは一切伝えていない。時間での解を計算しなければならないので効率が大きく下がる。自由に設定できてそのような心配はいらなくなる。上述の条件が満たされる方法は、おおよそ数値的に安定(正しくいうとA-安定)である。複素平面にとったとき図の円より外側の領域で数値解が不安定となる。1\},}図の領域は線形安定領域と呼ばれる。よってこのzでは安定領域より外側の領域のためオイラー法の数値解は不安定となる。y_{n+1}=y_{n}+h(3y_{n}+2)}という漸化式になる。{2}{3}}}となる。この例では、微分方程式の厳密解を直接に求めることができる。{2}{3}}}となる。{2}{3}}\right)\left((1+3h)^{n}-e^{3nh}\right)}となる。e^{3nh}-(1+3h)^{n}=O(h^{2})}は明らかになる。あり、1次方法となる。収束することが分かる。後退オイラー法[編集]前に述べたように、オイラー法は数値的不安定である。硬い微分方程式の解を計算するときに刻み幅を非常に小さくしないと近似解は厳密解に収束しない。そのような方程式の近似解を求めるために、数値的安定な方法が必要となる。シンプルな方法である。{1}{2}}y''(t+h)h^{2}+O(h^{3})}前と同じ置き換えをすると、次の公式となる。項を切り捨てて、それが後退オイラー法の公式となる。項が存在するため、後退オイラー法は陰公式となる。現在値を求めるために過去の数値だけではなく、現在や未来の数値を知らなければならない(後退オイラー法では未来値に依存しない)。結果として、一時刻ごとに方程式系を解かなければならない。ゆえに、特に非線型方程の場合、計算コストが大分上がる。よって近似解は刻み幅に関係なく収束する。後退オイラー法も普通は使われない。拡張[編集]オイラー法は1次方法である。1次方法は極端に精度が低いので、実践には向かない。そのため、もっと次数の高い方法が必要となる。オイラー法と後退オイラー法の公式をもとにして平均値を取ると次の公式となる。{1}{2}}h(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}))}これは微分方程式での台形公式である。有限差分法を用いて偏微分方程式に適用するときはクランク・ニコルソン法とも呼ばれる。この方法が2次方法でA-安定であることを証明できる[2]。台形公式は見ての通り陰公式である。それを陽公式にも変換できる。yn+1をもう一度オイラー法で近似すると次の公式となる。よばれる陽公式である。台形公式と同じ2次方法であるけど、A-安定な方法ではない。修正オイラー法は、もっともシンプルな2段ルンゲ=クッタ法である。2次方法はオイラー法より精度が遥かに高いが、実践で使うにはまだ精度が足りない。現在よく使われているのが高次のルンゲ=クッタ法である(MATLABのコマンドode23は3段3次ルンゲ=クッタ法で、ode45は6段5次のルンゲ=クッタ法である[3])。2016年12月16日閲覧。葉月ゆめ今日は何の日(2月22日)竹島の日ロバート2世がスコットランド王に即位。応仁元年1月18日)名誉革命。