等号では、ベクトル場の微分が入れ替え可能であることを用いた。外積の発散にはが成り立つ。証明を見る証明:ベクトル場の発散の定義と外積の定義からが成り立つ。最後の等号ではドット積の定義を用いた。回転の回転ベクトルの回転の回転はと表される。レビチビタの記号を使ってと表すことができる。同じように、回転の回転の各成分はと表されるので、と表せる。レビチビタの記号が満たす恒等式によりと表せる。最後の等号では、ベクトル場の微分が入れ替え可能であることを用いた。勾配の各成分がであることを用いた。外積の回転ベクトル場の外積の回転はと表される。証明を見る証明:ベクトル場の回転の各成分をレビチビタの記号で表すと、であり、外積の各成分をレビチビタの記号で表すと、であることから、である。クロネッカーのデルタの定義に注意しながら、各項を書き換えると、である。3番目の等号では積の微分の公式を用いた。ここで、ベクトル場の発散の定義からであること、および、次の記法を定義すると、を得る。積の回転はと表される。各成分がであることから、と表せる。同様の関係が他の成分についても成り立つので、を得る。