pencil創作整数問題#30解法&創作整数問題#31明けましておめでとうございます。今年も忙しい日が続いてしまうと思いますが、ブログもホームページもこまめに更新していきたいと思います。いうものの、今年の抱負なんて1ヶ月も経たないうちに忘れてしまいますよね・・・。十進法表記における$n^3$の各位の数の和が$n$に等しくなるような正の整数$n$のうち、$3$の倍数であるものをすべて求めよ。(創作問題)まずは候補の絞り込みですね。「$3$の倍数」という制約を外せば、そのような$n$は全部で6個存在します。閉じる創作整数問題#30(解き方)$2015^{2016}+2016^{2015}$は素数か。今回の問題は西暦に関係する出題でした。過去にも創作整数問題#1や創作整数問題#18で$2017$という数字が登場していますが、西暦や年号を使った出題というのはそれほど珍しくはありません。数学オリンピックなんかを見ても西暦の数字をちらほら見かけますし、入試問題にも散見されますよね。去年の西暦である$2017$は素数であるため、整数問題においては何かと使いやすい数字だったと言えます(因みに$2017$は$306$番目の素数です)。今回の創作整数問題#30は一見して、西暦に関する問題であることが見て取れると思います。問題文中には直接出てきていませんが、$2017$が素数であることに注目出来れば、指数タイプの整数分野の必須技巧である「フェルマーの小定理」が利用できることに気付くことができます。ここではより一般的な場合からアプローチする解き方を示しておきます。置いて、素数$p$に対して$a_{p-2}$が$p$で割り切れることを示す。a_{p-2}=(p-2)^{p}(p-1)^2+(p-2)(p-1)^{p}$$となる。\end{align}$$である。\pmod{p}$$となり、これより$a_{p-2}$は$p$の倍数であることが分かる。したがって素数$p$に対して$a_{p-2}$が$p$で割り切れることが示された。素数$2017$で割り切れることが分かるので、$2015^{2016}+2016^{2015}$は素数ではない(合成数である)。具体値で考えても埒が明かないのではないかと思います。本問のように西暦の数字など、数字の選び方に関して何となく一種の任意性(arbitrariness)が嗅ぎ取れる問題では、より一般的な場合の証明から入ると上手くいくことがあります。実際、こういった手法は数学コンテストなどでもかなり有用です。創作整数問題#22のように文字の制約が少なく、条件が一般的な形で与えられている場合は、逆に特殊なケースを考えてみることで何かしらのヒントが得られる場合もあります。いずれの方針も絶対的なものではなく、解答の際は臨機応変に対応しなければなりませんが、そこが数学の醍醐味でもあります。今回もおまけ問題があります(笑)。いうのも、2012年の中国西部数学オリンピックに以下のような問題が出題されているのです。$p$で割り切れるような正の整数$n$が無数に存在することを示せ。第8問)どうやって証明すべきか考える訳ですが、意外にあっさりと解決できてしまいます。代入すれば$a_n$は奇素数$p$で割り切れます。閉じるおまけ問題に関連して余談を一つ。実は$a_n$の剰余には周期性があります。型のとき$a_n$は$7$で割り切れます。型の整数であるとき$a_n$は$11$で割り切れます。周期が存在し、また多くの場合、余り$r$が複数存在します。おまけ問題の答えとして提示した式はあくまでも「こうすれば無数の値が構成できる」という方法でしかなく、すべてのパターンを網羅している訳ではありません。素数となるのかについて調べているなかで発想されたものです。素因数分解ができませんでした。非常に大きな素因数をもつものと思われます。素数になることが知られています(Cf.オンライン整数列大辞典の数列:A073499)。桁数が大きい$a_n$は、数値を求める計算ならばともかく、その素因数分解は困難を極めます。至っては桁数が何と$37246$桁に上り、10万ビットを超える整数となりますから、その素因数分解はスーパーコンピュータでも難しいと言えます。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。