sciencompassサイトマップsciencompass今勉強していること、これまで勉強してきたことを発信してます。半導体物理や数学、英語などの記事を書いています。転がっている円上のある点が描く軌跡のことをサイクロイドと言います。高校数学でも扱うサイクロイド曲線、その中でもエピサイクロイドと呼ばれる曲線について紹介します。転がる円さて、早速ですが問題です。下図のようにコインを2つ上下にくっつけます。上のコインを下のコインに沿って回転させて移動させることを考えます。このとき、上のコインが下のコインの真下に来た時に、矢印はどこを向いているでしょうか。直感的には、半分回るのだから矢印は下を向くと考えてしまいますが、実際には違います。この誤った直感は平面上での円の動きを曲面上の動きに無理やり当てはめてしまうために起こります。実はこれは、カリフォルニア大学バークレー校で、教育学を研究するアンドレア・ディセッサによって、物理的性質を推論することの難しさを調べるために使われた問題です。[1]今回は、この問題を数学的に解いてみましょう。媒介変数表示で軌跡を求める矢印の向きを調べるために、矢印の先端がどのような軌跡を描くか、計算してみましょう。反時計回りに上の円が回転するとします。回転した時の状況を図に示します。等しいことに注目します。座標をベクトルを使って求めます。ベクトルは、と表されます。ベクトルはと表されます。これをグラフに描いたのが次の図です。(図は半径1の円で描いています。)ここで、最初の問題に戻ります。外周を沿って円が回転して反対側まで移動したときに矢印の先(下図の黒点)は、回転している円(図中緑色の円)の上側に来ていることがわかります。したがって、最初の問題の答えは”矢印は上を向く”でした。矢印が上を向くのか数学を使って、矢印が上を向くことを示しました。直感とずれた回答で納得できない方もいるかもしれません。直感で矢印が下を向くと考えてしまう理由として、転がしているコインが自転だけでなく、公転していることを見落とすからだと思います。上の図で、緑色の円に乗っている人から見ると、オレンジの円の下に来た時に黒い点は180度回転したように見えます。緑色の円はオレンジの円から、すなわち私たちの視点からみると、オレンジの円の周りを公転しています。この公転による回転の分が足されて矢印の頂点は、上図の青色のような軌跡を描きます。公転+自転で2倍の速さで矢印が回転しています。[2]直感で答えをすぐに出すのではなく、一瞬立ち止まって考えてみると、公転している分の効果が含まれることに気づくことができるでしょう。まとめ円の外周を転がる円上の点が描く軌跡、エピサイクロイドについて紹介しました。その軌跡が人間の直感と異なることを数学的に証明することができました。数学の内容としては、高校数学のレベルであり、大学入試でも題材に使われることのある内容です。日常の些細なことについて、ちょっと考えてみるきっかけになれば、と思います。付録:Mathematicaを使ってGIF画像を作る今回、ブログ記事の中で示したエピサイクロイドのアニメーションはMathematica[3]を使って作成しました。Mathematicaに入力したコマンドを紹介します。(私の備忘録も兼ねてます。tを変数として定義しています。3行目はグラフの描画を定義しています。ここで使っているParametricPlotは媒介変数表示によるグラフの描画をするコマンドです。2Pi}で定義しています。ここで、3つ目のグラフにuという変数を使っています。Epilogはある座標に点を打つコマンドです。角度uのときに頂点がエピサイクロイド曲線上のどこにあるかを示すためのコマンドです。PlotRangeはグラフの軸の範囲です。4行目はアニメーションを作るコマンドです。刻みで変化させ、それぞれの値でグラフを描画し、それをパラパラ漫画のようにつなげることでGIFアニメーションを作成します。して、作成したのが記事中のGIF画像です。(訳)第四章にこの問題についての紹介があります。[2]今回は二つの円の半径が同じだから、2倍になっています。二つの半径が異なれば、その比に応じた回転速度になります。[3]Mathematicaは有名なソフトウェアで、数値計算やグラフの描画など数学や物理・化学などの様々な計算に用いられるソフトウェアです。非常に高度な計算を行うことができるのですが、個人で購入するには高価なソフトウェアです。ラズベリーパイというマイコンに標準で搭載されており、ラズベリーパイを購入すれば無料で使用することができます。ラズベリーパイは1万円もしないで購入可能なので、Mathematica目当てで買うだけでも非常にお得だと思います。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。1皆さんこんにちは!まだ5月だというのに暑い日が続いていますね。NHKラジオ講座のまいにちドイツ語を聞いて勉強しているドイツ語についてまとめていきます。...空が青いのと海が青いのは理由が違う子供の時になぜ空は青いのか、なぜ海は青いのか疑問に思っていた。...PC排熱で発電できるか考えてみた毎日仕事で使っているPCは右側に排熱口があり、時々熱風がマウスを操作している右手にあたる。NHKラジオ講座メタ情報ログイン投稿フィードコメントフィードWordPress.orgサイトマップsciencompass今勉強していること、これまで勉強してきたことを発信してます。半導体物理や数学、英語などの記事を書いています。