置き換えた行列の行列式である。置き換えた行列の行列式である。したがってが成り立つ。行列の列ベクトルが和で表される行列式は、のように、和のそれぞれの項を列に持つ行列式の和に分解できる。ことを用いると、である。番目の行ベクトルになっている。そこで行ベクトルが和で表される行列の行列式が和の各項を行ベクトルに持つ行列の行列式の和に等しいことを用いると、が成り立つ。転置行列の行列式がもとの行列の行列式に等しいことを用いると、であることから、が成り立つ。ある行に別の行を加えても行列式の値は変わらない正方行列の任意の行に他の行の定数倍を加えても行列式は変わらない。するとき、が成立する。