行列の積に対して群を成していることを表している。直交行列であることと、内積を不変に保つ変換であることは必要十分条件である。作用するベクトル空間の任意のベクトルである。作用するベクトル空間の任意のベクトルとする。直交行列の定義と内積と転置行列の関係から、が成り立つ。作用するベクトル空間の任意のベクトルとし、が成り立つものとする。内積と転置行列の関係からが成り立つ。(行列の等号の内積による表現を参考)。(片側のみで定義できるを参考)、である。ノルムを不変に保つ変換であることは必要十分条件である。作用するベクトル空間の任意のベクトルである。作用するベクトル空間の任意のベクトルとする。直交行列の定義と内積と転置行列の関係から、が成り立つ。作用するベクトル空間の任意のベクトルとし、が成り立つものとする。