policy)1.母関数とは1.母関数とは数列を解析するにあたって、その方法は様々であるが、中には多項式、特にこの場合は「『形式的な』冪級数」を利用するものがある。次のような級数を考える。x^k$と書くことにする。この級数の各項を書き下すと次のようになる。仮定するとこの(無限)級数は次のような「閉じた式」で書き表すことができる。いう制約の下でしか許容されない表示だが、これを全実数まで拡大して、$$1+x+x^2+x^3+\cdots=\dfrac{1}{1-x}$$と「形式的に」等号で結んでみることにする。実はこれが母関数の正体なのである。unction)という。これを「通常型母関数」と呼称する。function」という。function”という英語には元々”mother”の”m”の字も無い)。要するに、$x^n$の係数が$a_n$になっているような冪級数を「母関数」と呼んでいる。無限数列なら無限に項が続くし、有限数列なら単なる多項式となるが、ここではほとんどの場合、数列が無限数列であるとして話を進めていく。母関数というと単にこれだけのことなのだが、多項式を組み合わせただけで何が便利なものか、かえって数列が複雑にならないか、と気を揉む人も出てくるかもしれない。ここでは関数の収束性を取り敢えず一端脇に置いておき、各種母関数を「閉じた式」で書き表すことを目指したい。母関数においては$x$は脇役で、あくまでも「係数」が主役であることをよく理解しておこう。「閉じた式」というのは大雑把に言えばシグマ記号(和の記号)やドット(「$\cdots$」などの記号)を使わない式、或いは漸化式や微分方程式などで表されない式のことを指している(「閉じた式」の対義語として「開いた式」というのもありそうなものだが、寡聞にして聞いたことが無い)。先程の例だと公比が$x$の無限級数として直ちに導かれるが、一般の数列の母関数を求める公式のようなものは知られていない。ここでは簡単な数列の母関数を考えてみよう。以下、数列$\{a_n\}$に対する母関数を$f(x)$とする。\end{align}$$としてもよい。これは明らかに$(1.2)$式に$x$を乗じた式であり、数列の項番号が1つ進んだ母関数を与えていることが分かる。$f(x)$の係数となる数列の各項の添え字(index)の書き方には何通りか流儀があり、$a_0$ではなく$a_1$を初項とする場合もある。次のような場合を考えれば納得しやすいかもしれない。\end{align}$$となって幾分すっきりした印象を受ける。する、つまり$a_0$という定数項を除き、$a_1$を初項とした方が自然な場合もある。$(1.4)$や$(1.5)$の計算方法はごく基本的な内容であるが、公比を乗じたものと差を取って和を求める方法の他に、次のように微分を利用する方法がある。\end{align}$$この方法を用いれば$n^2$や$n^3$を係数とする母関数を幾らでも求めることができる。以下に$10$乗までの冪の母関数について提示しておこう。\end{align}$という具合である。これらの級数が実際に冪を係数にもつことはマクローリン展開によって確かめることができる。ある次数の$x$について、係数の一般項を求めてみるのも面白い。興味を持たれた方は是非チャレンジしてみて欲しい。以上、$n^k$型の数列の母関数を見てきた。これらは無限数列であるが、有限数列の例も身近に存在する。おける$x^k$の係数として得られる。母関数は$$f(x)=(1+x)^n$$である。\end{align}$$といった具合である。この$f(x)$に様々な値を代入することによって多様な関係式を導くことができる。してみると次の関係式が導かれる。\tag{1.6.4}$$を導いたりできる。収束性を論じず、数列の各項に次数が対応する冪級数を形式的に考えるのが、この母関数というものである。次頁では更に数列との詳しい関係を見ていこう。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。