この中でセル・オートマトンがあらゆる科学にとって重要な関わりを持つことを主張している。一部で誤解されているように、同書は物理法則がセル・オートマトンに基づいているとは言っていない(ツーゼとは異なる)が、セル・オートマトンに基づいた物理モデルをいくつか記述しており、他にも各種抽象系に基づいたモデルを示している。分類編集ウルフラムはあらゆる1次元のセル・オートマトンの時間発展の仕方を調べ上げ、セル・オートマトンを含む単純な計算モデルの4つのクラスを定義した。それまでのセル・オートマトンの研究では、パターンの種類から規則群を分類する傾向があったのに対して、ウルフラムの分類は規則自体を分類する最初の試みだった。4つのクラスは次の通りである。全ての初期状態で素早く安定した均質な状態になる。初期状態に無作為性があっても消滅する[23]。全ての初期状態で素早く安定状態または周期的に振動する状態になる。初期状態の無作為性は消滅する場合もあるが、残存する場合もある。初期状態を部分的に変更した場合、その影響は局所的となる傾向がある[23]。全ての初期状態でセル全体がランダムな変化を続ける。安定した構造が現れても、すぐに周囲のノイズによって破壊される。初期状態の部分的変更は全体に拡散していく傾向がある[23]。全ての初期状態で規則的なパターンとランダムなパターンが共存し、複雑なパターンを形成する。局所的に形成された構造は長期間存続することができる[24]。秩序状態であるクラス1、クラス2は新しい変化を生み出さない、いわば死んだ世界である。カオス状態であるクラス3はランダムすぎて、意味のある情報を生み出すことができない。ウルフラムは秩序状態とカオス状態の間にあるクラス4の様な状態こそが、生命現象などの現実世界で見られる複雑な現象を引き起こす源だと考えた。この研究により、複雑系と呼ばれる新しい科学分野の基盤が確立した。これらの定義は質的なもので、その解釈には若干の幅がある。ウルフラムは「どんな一般分類体系でも、ある定義ではこのクラスになるが、別の定義では別のクラスになるというケースが必然的に存在する。セル・オートマトンでもそれは変わらない。あるクラスの特徴と別のクラスの特徴を備えた規則群は時として存在する」としている[25]。ウルフラムの分類は、セル・オートマトンの出力を圧縮した長さの分類と経験的に合致している[26]。CulikとYuによって、ウルフラムの4つのクラスの算術的階層における位置が証明されている。_{3}^{0}}-完全に所属する。ウルフラムの分類に触発され、CAを形式的に厳密に分類しようとする試みもなされてきた。CulikとYuは3つのwell-definedなクラス(そしてそれらのどれにも分類されない4番目のクラス)を提案した。セル・オートマトンを状態から状態への関数と考えると、可逆性はその関数が全単射であることを意味する[30]。可逆型のセル・オートマトンは、時間を遡った際の挙動もセル・オートマトンとして記述できる。これは、セル・オートマトンを位相幾何学的に説明したカーティス-ヘドランド-リンドンの定理(英語版)の帰結である[31][32]。可逆でない有限のセル・オートマトンには、どんな状態からも絶対生成(到達)できない配置が存在する。そのような配置を「エデンの園配置」と呼ぶ[33]。換言すれば、エデンの園パターンにはプレイメージが存在しない。1次元のセル・オートマトンについては、プレイメージを探すアルゴリズムが知られていて、各ルールについて可逆的かそうでないかは既に判明している[34][35]。2次元以上のセル・オートマトンについては、任意のルールの可逆性は決定不能であることが証明されている。よる証明は、ワンのタイルのタイル並べ問題と関連している[36]。可逆型セル・オートマトンは、熱力学の法則に従う気体や液体の力学現象のシミュレーションに使われることが多い。その場合のセル・オートマトンは特別に可逆性を持つよう設計される。この種のシステムの研究者としてトマソ・トフォリやノーマン・マーゴラス(英語版)らがいる。意識的に可逆型セル・オートマトンを作る手法はいくつか存在する。二階セル・オートマトン(英語版)やブロック・セル・オートマトン(英語版)がそれで、どちらもセル・オートマトンの定義に何らかの修正を施す。これらは厳密には上に挙げたようなセル・オートマトンの定義から外れているが、十分に大きな近傍と多数の状態を持つ従来型のセル・オートマトンでエミュレートできることが判っており、従来型のセル・オートマトンのサブセットと見なすことができる。セル・オートマトンがある。おける近傍(自身も含むこともある)のセル群の値の総和だけに依存して決定される[39][40]。とる外部総和型のセル・オートマトンの例である。呼ぶ[41][42]。その他編集CAの概念は様々な拡張が可能である。六角形のセルに基づくセル・オートマトン(ルール34/2)例えば、矩形の格子ではなく別の多角形を使うという拡張がある。六角形を平面に敷き詰めたとき、個々の六角形をセルとして扱うことができる。多くの場合そのようなセル・オートマトンは、矩形格子で近傍と規則をうまく調整したものと等価である。他にもペンローズ・タイルのような平面充填で格子を形成することもできる[43]。規則を決定的なものではなく確率的なものにする拡張もある。そのようなCAを確率的セル・オートマトン(英語版)と呼ぶ。とりうる各パターンの遷移確率が確率的規則により指定される。単純な規則を使うこともあり、例えば「基本的にライフゲームの規則に従うが、毎回0.001%の確率で本来とは反対の色になる」といった規則を設定する。時間や場所によって近傍の定義や規則を変化させるという拡張もある。最初の世代では水平方向の隣接したセルを近傍とするが、次の世代では垂直方向の隣接するセルを近傍とする、といった具合である。CAでは、あるセルの新たな状態は、他のセルの新たな状態に影響されない。この原則を変更することもできる。連続値セルオートマトン(英語版)と呼ばれるものもある。総和型と似ているが、規則や状態が離散値ではなく連続な値(一般に単位区間の値)を用いる。セルの状態は有限個の実数で表される。液体における拡散パターンのモデルなどに使われる。ある位置の状態は有限個の実数である。時間も連続的に推移し、状態は微分方程式にしたがって変化する。重要な例として反応拡散系があり、アラン・チューリングはシマウマの縞模様やヒョウのドット模様を生み出した化学反応を説明する微分方程式を提案した[44]。そのようなパターンをCAで近似的に生成することも可能である。ライフゲームのグライダーのような現象が生じる例も知られている[45]。単純だが自明ではないCAは、1次元で各セルは2つの状態をとることができ、近傍は両側に接している隣のセルという場合である。規則はそれらパターンについて、そのセルが次世代に1と0のどちら状態となるかを決定する。それら256種類のCAは一般にウルフラムが考案した0から255までのルール番号で参照され、これをウルフラム・コード(英語版)と呼ぶ。これら256種類のCAはいくつかの論文で研究・比較されている。ルール30とルール110(英語版)のCAは特に興味深い。下図は、1カ所だけ1にした初期状態からのそれらCAの変化の様子を示している。各ピクセルは、0を白、1を黒で描画している。*例えば「ルール30」と呼ばれるのは、上の表のように時刻t+1における中央のセルの内部状態一覧を並べると0,0,0,1,1,1,1,0となっており、この2進数の数を10進数に直すと30であるためであり、これをウルフラム・コード(英語版)と呼ぶ。ルール30は「クラス3」の挙動を示し、単純な初期状態からもカオス的な経過を示し、無作為な履歴になっている。ルール110はライフゲームのように「クラス4」の挙動を示し、完全な無作為でもなく、完全な反復でもない。局所的構造が現れ、様々な複雑な形で相互作用する。1994年ウルフラムの研究助手だったマシュー・クックは、それら構造の一部がチューリング完全性をサポートするのに十分であることを証明した。ルール110は非常に単純な1次元のシステムであり、具体的なことを実行するよう設計するのは困難であるため、この成果は興味深い。この結果からウルフラムはクラス4のセル・オートマトンが本質的にチューリング完全である可能性を示唆した。出版前にその証明の詳細を公表したくなかったため、証明の詳細は発表されなかった[46]。実に証明してから10年が経過している。ルール110をベースとして極小の万能チューリングマシンが構築されている[47]。ルール90編集また、ルール90の1次元セル・オートマトンは典型的なフラクタル図形であるシェルピンスキーのギャスケットを生成する。*生物学における例編集イモガイの一種タガヤサンミナシのセル・オートマトン状模様の貝殻[48]一部の生物学的過程はセル・オートマトンでシミュレートできる。イモガイやガクフボラといった貝の貝殻の模様はセル・オートマトンの描くパターンによく似ている。貝殻の辺縁に狭い帯状に色素細胞がある。各色素細胞は活性化されると色素を分泌し、同時に近傍の色素細胞の活性化を阻害するようになっており、天然のセル・オートマトンの規則のように作用する[48]。この色素細胞の帯が貝殻に色の模様を残しつつ、少しずつ貝殻が成長していく。イモガイの一種タガヤサンミナシはウルフラムが研究したルール30CAとよく似た模様である[48]。植物はCA的機構で気体の吸入と排出を行っている。葉に多数存在する気孔がセル・オートマトンのセルのように振る舞う[49]。頭足類は表皮に色素胞があり、体表の模様を変化させるが、これを2状態で2次元のセル・オートマトンでシミュレートできる。各状態は色素胞を広げた状態と縮めた状態に対応する[50]。神経細胞をシミュレートするしきい値型CAが考案されており、認知や学習といった複雑な挙動をシミュレートできる。線維芽細胞もセル・オートマトンと似た挙動を示す。個々の線維芽細胞はその近傍の細胞としか相互作用しない[51]。化学における例編集ベロウソフ・ジャボチンスキー反応はセル・オートマトンを使ってシミュレートできる。1950年代、A・M・ジャボチンスキーはソ連のB・P・ベロウソフ(英語版)の研究成果をさらに進め、マロン酸、酸化した臭素酸塩、セリウム塩の混合物の薄い均一な層を置いておくと、同心円や渦巻き模様などの幾何学的模様が生じることを発見した。ベロウソフ・ジャボチンスキー反応に非常によく似た挙動を示すセル・オートマトンを紹介した[53]。ベロウソフ・ジャボチンスキー反応が、分子レベルでそのセル・オートマトンと同じような仕組みで発生しているのかどうかは不明である。これまで、セル・オートマトン的な化学反応が自然界で観察されたことはない。そのような化学反応は全て研究室や実験室でのみ観測されている。物理における例編集ソリトンのようなふるまいを見せる、箱玉系と呼ばれているセル・オートマトンがある。離散的(非連続的)時間で記述され、時刻t+1における1つのセルの内部状態は、時刻tにおける状態によって決定されるといった点で、セル・オートマトンはチューリングマシンとよく似ている。実際、万能チューリングマシンと等価な動作をするセル・オートマトンが存在することが知られている。あるという点で大きく異なる。セル・オートマトンの概念をハードウェアで実装して情報処理を行おうとする試みも行われている。処理要素は格子状に配置され、2次元か3次元の平面充填構造とされる。それ以外の並べ方も可能だが、まだ試されたことはない。各処理要素(すなわちセル)は隣接する少数のセルだけとやり取りする。遠いセルとの直接通信手段は存在しない。いずれにしても各処理要素間を結線する必要はない。これは、今日のノイマン型コンピュータのプロセッサとはかなり違う。シストリックアレイ(英語版)はCAプロセッサアレイの一例である。遺伝的アルゴリズムを使った進化するセル・オートマトン編集センサーネットワークやさらに微細な構造をネットワークとして設計し、分散処理を行わせることに関心が集まっている。分散システムを使い大域的なレベルで情報処理するという考え方から創発計算というアイデアが生まれた[54]。ポートランド州立大学の教授でサンタフェ研究所にも所属しているメラニー・ミッチェル(英語版)[55]は、そのために自己進化するセルの格子を使うアイデアに取り組んでいる[54]。ミッチェルらはセル格子のプログラムに進化的アルゴリズムを採用している[56]。分散型システムにおける計算は古典的なコンピュータとは大きく異なり、大域的および局所的なパターンの変化という形で情報処理がなされる。システムといった自然界に見られる複雑なシステムである[56]。研究の焦点は、進化する分散型システムでいかにして計算が発生するかを解明することである。GAによって洗練された創発計算戦略が生じる規則を発見している[57]。ミッチェルらが採用したのは1次元2値で6個の近傍を持つセル・オートマトンである。先頭と末尾は繋がっているので、環状になっている。乱数編集2次元セル・オートマトンを擬似乱数発生に使った例がある。[58]暗号編集ルール30は、ブロック暗号に応用可能という提案がある。[59]セル・オートマトンを公開鍵暗号に使うという提案もある。SEC-DED符号(1ビット誤り訂正-2ビット誤り検出符号)を構築する新たな手法が定義されており、その符号の高速ハードウェアデコーダも報告されている。多くの学者が宇宙自体がセル・オートマトンなのではないかという疑問を投げかけていると指摘した[61]。Ilachinskiは、この問題の重要性を示すには簡単な観察をしてみるのがよいと主張し、例えばルール110(英語版)の発展するパターンをどうやったらうまく説明できるか考えてみるのがよいとした[62]。そのイメージの生成方法を知らないとしたら、何らかの粒子状のオブジェクトの運動の軌跡ではないかと推測するだろうと述べている。その考え方から厳密な数学的理論を構築した[63]。この考え方を推し進めていくと、素粒子物理学で説明されている我々の世界も根底ではCAと見なせるのではないかという考え方に到達する。その考え方に沿った理論はまだ発展途中だが、この仮説に興味を惹かれた学者らが離散的フレームワークで世界を理解することについて興味深い憶測と有益な直観を示している。AI研究者マービン・ミンスキーは、4次元CA格子で素粒子の相互作用を理解する方法を研究した[64]。コンピュータの先駆者コンラート・ツーゼは、素粒子の持つ情報についての問題を解くため、不規則な格子を考案した[65]。「最終的に時間や空間を含む全ての物理量は離散的で有限だと判明するだろう」とした[66]。フレドキンとウルフラムはデジタル物理学の信奉者である。21世紀に入ると、非標準計算についての著作からこの考え方に沿った示唆が生まれている。CAが物理学を含めた様々な主題を理解する鍵だとしている。「菱形十二面体」をベースとする格子と独特の規則で2次元および3次元の宇宙を説明するモデルを提案している。このモデルはチューリングマシンと等価であり、完全な可逆性を有し(様々な量を保存し、情報を決して失わない)、宇宙の発展についての質的な論述を計算できる論理が組み込まれている[68]。天才数学者の事件ファイル』シーズン2のエピソード「誘拐事件の真相」にて、1次元セルオートマトンへの言及がある[69]。エリック・レイモンドはハッカー文化のシンボルとして、ライフゲームのグライダーを描いたエンブレムを提案した[70]。グレッグ・イーガンの小説『順列都市』(早川文庫)では、オートヴァースと呼ばれる人工生命シミュレータが登場する[71][72]。セル・オートマトンを論じている[73]。三部作ではセル・オートマトンが重要な役割を演じ、ウェブ上の人工生命が意識を獲得する方法に関係している[74]。フランシス・ビトンティがライフゲームのアルゴリズムを使用して靴のデザインを自動生成させた。生成させる度に色のグラデーションやフォルムがわずかに異なる仕様。遡るが、この文献では外部総和型全般をそのように呼んでおり、2次元に限定していない。2012年10月12日閲覧。2012年9月2日閲覧。2011年3月13日閲覧。2011年3月27日閲覧。連続的オートマトンの一種を提唱している。リンク編集ウィキメディア・コモンズには、セル・オートマトンに関連するカテゴリがあります。MJCell(Javaアプレット)のホームページ。1次元と2次元の各種セル・オートマトンをサポートしたソフトウェア。ルールとイメージも豊富にある。各種2次元セル・オートマトンが見られる(Javaアプレット)。ライフゲームをはじめとする各種セル・オートマトンのシミュレータ。フォン・ノイマンのセル・オートマトンもシミュレートできる。スタンフォード哲学百科事典「セル・オートマトン」の項目。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。