pencil創作整数問題#17解法&創作整数問題#18今回はフェルマーの小定理に関する問題です。$2017$が素数であることは周知の事実ですよね・・・(笑)?《問題#18》$2^{2017}$を$2017$で割ったときの余りを求めよ。(創作問題)$2017$が素数であることを使えば簡単に示すことができますが、もちろんフェルマーの小定理を知らなくても初等的に解決することができます。満たす自然数の組$(m,n)$をすべて求めよ。おける平方剰余が$1$となることに着目して話を進めます。なるから、$3$の倍数でない整数の平方を$3$で割ったときの余りは$1$となる」などと簡単に書いておくのが無難でしょう。右辺は$3$の倍数ではないので$m$は$3$の倍数にはなりません。すると$m^2$を$3$で割ったときの余りは$1$に限られますから、右辺についても$3$で割ったときの余りが$1$となる必要があります。$2^n$を$3$で割ったときの余りは、$n$が奇数のとき$2$、$n$が偶数のとき$1$となるので、$n$は偶数でなければなりません。15=(2^k-m)(2^k+m)$$と変形できます。これを満たす組$(2^k-m,2^k+m)$の候補は$$(1,15)、(3,5)$$の2組に限られます。それぞれ$(m,n)=(7,6)、(1,4)$に対応するので、求める組$(m,n)$は$$\color{red}{(m,n)=(1,4)、(7,6)}$$となります。いう置き換えがこれに当たります)は整数問題を攻略する上で非常に大切な手法の一つです。置き換えによって解をどんどん絞り込んでいきましょう。問題#17は類題が作りやすいタイプの整数問題なので数年に一度はどこかの大学でこういった問題が出題されているような気がします。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。