部分積分によってと証明される。これより、ガンマ関数は階乗の一般化と見なされる。証明を見る証明ガンマ関数の漸化式を繰り返し用いると、と表せる。範囲でガンマ関数は正である。ガンマ関数は正である。ガンマ関数とベータ関数との関係ベータ関数はガンマ関数によってと表される。証明を見る証明ガンマ関数の定義からである。置くと、であるので、と表される。範囲とする積分であることから、と表すことする。ある積分をそれぞれと定義する。ベータ関数の性質により、であるので、と表せる。変換すると、であることから、である。したがって、であるので、が成り立つ。最後の等号ではガンマ関数の定義を用いた。はさみうちの定理によって、であること分かる。成り立つので、ベータ関数をガンマ関数によってと表すことができる。