(1)$a$と$b$のいずれか一方は奇数であることを示せ。(2)$a$が奇数ならば$b$は$4$の倍数であることを示せ。(3)$c$は$3$の倍数でないことを示せ。本問は平方剰余を利用する典型題です。この形の等式を満たす正の整数を特にピタゴラス数と呼びます。適宜$3$や$4$を法として考えましょう。(1)$a$と$b$は互いに素であるからともに偶数となることはない。そこで$a$と$b$がともに奇数であると仮定すると、右辺を$4$で割ったときの余りは$2$となる。右辺$c^2$は平方数であるから$4$で割ったときの余りが$2$となることはない。故に$a$と$b$のいずれか一方は奇数である。□(2)(1)より、$a$が奇数のとき$b$は偶数である。よって左辺は奇数となるから$c$は奇数でなければならない。p(p-1)+q^2=r(r-1)$$となる。ここで、$p(p-1)$および$r(r-1)$は隣接2整数の積であるから偶数である。故に$q$は偶数でなければならないから、$b$は$4$の倍数である。□(3)$a$と$b$がともに$3$の倍数でないとすると、右辺を$3$で割ったときの余りは$2$となる。右辺$c^2$は平方数であるから$3$で割ったときの余りが$2$となることはない。故に$a$と$b$のいずれか一方は$3$の倍数でなければならない。$c$は整数$a$、$b$のいずれとも互いに素であるから、$c$が$3$の倍数になることはない。$c$が$3$の倍数であるならば、$a$、$b$、$c$はいずれも互いに素でないことを示す。$c$が$3$の倍数のとき、左辺を$3$で割ったときの余りは$0$でなければならない。$a^2$、$b^2$を$3$で割ったときの余りは$0$か$1$に限られるから、$a^2$、$b^2$を$3$で割ったときの余りはいずれも$0$であることが必要である。故に$a$、$b$、$c$はいずれも$3$を素因数に持ち互いに素でない。よって対偶が示されたから元の命題も示された。《コメント》(3)は直接証明しても対偶を証明して間接的に証明しても良いでしょう(対偶証明法を全く思いつかなかった人は念のため復習しておいてください)。ピタゴラス数についてはこの他にも様々な面白い性質があります。は$60$の倍数になることが知られています。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。