いった概念を自然に定義することができた。これらの概念を一般の集合上で考えるために抽象化したものが測度という概念である。この項では、ルベーグ積分論や確率論を学ぶ上で欠かせない測度の概念の一般論を述べる。測度の定義[編集]ユークリッド空間における「長さ」などの概念は、ユークリッド空間の各部分集合に対してある実数を対応させる写像、すなわち、ユークリッド空間の冪集合から実数への写像と考えることができる。集合の測度という概念を考えることは、集合族から実数への写像を考えることと同じである。ところが、測度の概念を考える上で、もともとの集合の冪集合全体を考えるのは不都合である。数直線の場合で大雑把に言えば、「数直線の部分集合ではあるが、「長さ」という概念を考えることができない集合」が存在する。そこで、冪集合の部分集合から実数への写像を考えることにするのだが、あまりおかしな部分集合を取ってくることはできないように、ある程度の制限はかけておく。それが、下に挙げる完全加法族という条件である。完全加法族であるとは、次の3条件を満たすことをいう。この言葉を使うと、測度とは、各可測集合に対してひとつの実数を対応させる、完全加法族から実数への写像である。完全加法族から実数への写像ならばすなわち測度といってしまうと少し無理がある。線分の長さは非負であり、二つの(交わりを持たない)線分の和集合の長さは二つの線分の長さの和であるべきだ。このような、我々が「長さ」「面積」といった概念に対して思い描く「普通の」性質は、とりあえず写像に対して要請しておくことにしよう。そこで、測度の定義を次のように定める。