以上の自然数を合成数と呼ぶ。除く素数は奇数であり、奇素数と呼ぶ。100以下の素数は25個存在し、小さい順に次の通りである。A40)さらに、1000以下の素数は100以下のものを含め168個存在する。101以上で1000以下の素数は小さい順に次の通りである。以上の自然数は、素数の積で表せる。その表し方は積の順序を除けば一意である」という、素因数分解の可能性・一意性が成立する(算術の基本定理)。「素数全体」の成す集合は、自然数全体の成す集合の(乗法に関する)最小の生成系である。言い換えれば、これは「素数は自然数の構成要素である」などとなる。自分自身でしか割り切れない」という条件(既約性)は、抽象代数学において、環の既約元の概念(一部の環では素元の概念と一致する)に抽象化され一般的に取り扱われる。一般の環で、任意の元は既約元の積に分解され、しかもその表示は一意であるという性質は稀有である。ネーター環では、任意の元は既約元分解が可能であるが、その表示が一意ではないネーター環の例はいくつも知られている。一意に既約元分解ができる環は一意分解環と呼ばれ、既約元分解は素元分解ともなる。素数の定義に含めるか含めないか」が問題となる。素数であると考える数学者が多く存在した。始まるものとして書かれている[4]。素数だと考えた最後の専門的な数学者だと言われている[5]。素数であると仮定しても、素因数分解の可能性は成り立ち、数学の大部分の命題ではそのままの文面で変わらず有効であるが、素因数分解の一意性は成り立たなくなる。...と無数の素因数分解を与えることになり、一意性が成り立たなくなる。以外の素数で成り立つ様々な性質がある(例えば、自然数とそれに対応するオイラーのφ関数や約数関数の値との関係など)[6][7]。歴史[編集]この節の加筆が望まれています。紀元前1600年頃のエジプト第2中間期において、素数に関する知識が部分的に知られていたことが、リンド数学パピルスなどの資料によって示唆されている。分数をエジプト式分数で表す場合、素数と合成数の場合で異なる計算をしなければならないからである。記録に残っている限りにおいて、明確に素数を研究対象としたのは古代ギリシア人が最初である。紀元前約300年頃に書かれたユークリッドの『原論』には素数が無数に存在することや、その他の素数の性質が証明されている。ユークリッドはメルセンヌ素数から完全数を構成する方法を示している。ギリシアの数学者、エラトステネスに因んで名付けられたエラトステネスの篩(ふるい)は、素数を列挙するための計算方法である。古代ギリシア時代の後、17世紀になるまで素数の研究にはそれほどの進展が無かった。1640年に、ピエール・ド・フェルマーはフェルマーの小定理を(未証明ではあるが)述べた。この定理は後にライプニッツとオイラーによって証明された。自然数を渦巻状に並べていき、素数だけを黒く塗ったもの(ウラムの螺旋)。素数の分布が極めて難解であるために、この素数のパターンが示す事実については未だに明らかにされていない。素数が無数に存在することは既に古代ギリシア時代から知られていて、ユークリッドが彼の著作『原論』[8]の中で証明している。命題20[8]素数の個数はいかなる定められた素数の個数よりも多い。多い個数の素数があると主張する。