収束することが証明されている(ブルン定数)。素数の項が無数に含まれている。倍数のいずれかである。素数かその累乗数の平方数である。素数やその累乗数の自乗であっても約数の和が素数になるとは限らない。約数の和が素数になる数が無限にあるかどうかの証明はされていない(後述)。番目の素数を求める素数生成式は存在しないと主張されることがあるが、これは誤りである[15]。その式はウィルソンの定理を用いたものであり、一般に大きな計算量である事に注意が必要である。あることと関係している[16][17]。値を「オイラーの幸運数」という。