編集(バナッハ線型環から転送)この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。あって、バナッハ空間(ノルムが存在し、ノルムの誘導する位相(ドイツ語版)に関して完備)ともなる。A)}を満たすことが要求され、それにより乗法の連続性は保証される。名称はステファン・バナッハに由来する。上述の定義において、バナッハ空間をノルム空間に緩める(つまり完備性を要請しない)場合、同様の構造はノルム環(ノルム線型環)と呼ばれる。乗法が可換であるとき、可換と言う。この閉イデアルとなるように等長的に埋め込める。扱っている環は単位的であるということがアプリオリに仮定される。考えることで多くの理論を展開でき、その結果を元の環に応用するという方法が取られることがある。この方法は常に有効という訳ではない。単位元を持たないバナッハ環においては、すべての三角関数を定義することが出来ない。実バナッハ環の理論は、複素バナッハ環の理論とは非常に異なるものである。非自明な複素バナッハ環の元のスペクトルは決して空とはならないが、実バナッハ環においてはいくつかの元のスペクトルは空となり得る。上のバナッハ代数(p-進バナッハ代数)は、p-進解析の一部として研究される。コンパクトであることである。実際にはC*-環である。C*-環はバナッハ環である。このとき、ノルムの劣乗法性は「絶対値の乗法性」によって等号を以って成立する。劣乗法的行列ノルムを備えることで、単位的バナッハ環となる。その絶対値で与えられるノルムによって、4-次元実バナッハ環を構成する。単位的バナッハ環である。上のすべての連続線型作用素からなる環は、単位的バナッハ環である。上のすべてのコンパクト作用素の集合は、この環における閉イデアルである。下で、バナッハ環となる。コンパクトハウスドルフ空間でなければならない)ようなバナッハ環。点での評価(evaluation)であるような一様環。介して定義されるいくつかの初等関数は、任意の単位的バナッハ環において定義されうる。そのような例として、指数関数や三角関数、さらに一般的な任意の整関数が挙げられる(特に、指数写像は抽象指数群(英語版)を定義するために用いられる)。幾何級数の公式は、一般の単位的バナッハ環においても依然として有効である。二項定理もまた、バナッハ環の二つの可換な元に対して成立する。乗法に関して位相群を成す。交換子にはなり得ない。上述の例に現れる様々な関数環は、実数環のような標準的な例とは大きく異なる性質を持つ。四元数環と同型である。したがって、可除多元環であるような複素バナッハ環は、複素数環のみである(この事実はゲルファント=マズールの定理として知られる)。四元数環と同型である。零因子を持たない可換な実単位的ネーターバナッハ環は、実数環あるいは複素数環と同型である。(零因子を持つ持たないにかかわらず)可換な実単位的ネーターバナッハ環は、有限次元である。elements)の概念は位相的零因子(英語版)の概念に一致する。おいて恒に特異である。複素数体上の単位的バナッハ環は、スペクトル論を構成するための一般的な舞台となる。閉円板に含まれる閉部分集合であり、したがってコンパクトである。}\|x^{n}\|^{1/n}}を満たす。定義することが出来る。(x))}が成り立つ[2]。おけるスペクトルの概念は、作用素論における通常の概念と一致する。X\}}が確かめられる。ノルムは、そのスペクトル半径と一致する。これは正規作用素に対する同様の事実の一般化である。可逆であるとする(すなわち、可除多元環)。これはゲルファント=マズールの定理の複素数の場合である。上の単位的「可換」バナッハ環とする。適当な極大イデアルに属す。間には全単射が存在することが分かる。space)と呼ばれ、その元は指標(character)と呼ばれる。