この観点からすると、フェルマーの小定理は、ラグランジュの定理の一例となる。ように、群の位数回(あるいは位数の倍数回)群の演算を繰り返すと、結果は単位元になる」という群論的性質の現れと考えることができる。群の位数の倍数を構成できれば、そこから因数分解ができるそのためには、群の位数が小さい因数しか持たないと都合がいいと言い換えることができる。限らない!当たり前の事実ではあるが、そこに着目することが決定的な一歩となる。分解しやすければ因数分解が成り立つことになる。それも駄目でも、位数が違う群をいろいろ試せば、それらの位数のどれか一つくらいは、比較的小さい因数しか持たないはずだ。このような多様な群の供給源として、楕円曲線の点の群(後述)を使えばいい。これがレンストラーのアイデアだった。きつい要求が出てくるのだった。10753と分解される。「38兆」に比べると、ずいぶんリーズナブルだ。