足し合わせたい2個の点を通る直線を考えると、この直線は曲線と別の場所でもう一度交わる。その第3の点を用いて、点の和が定義される。名前を逆にしている場合もあるが、名前が逆なだけで、定義の内容に違いはない。y-座標の符号だけが異なる。接線の傾きと考えるのが妥当だろう。使って次のように表現される。y1これらの式は、直線と曲線の交点を代数的に求めることで得られる。「接線の傾き」だけは中学数学の範囲(記事の前提)では説明できず、微分が必要になる。ここでは理屈抜きに、上記の公式を「和の定義」としても構わない。ここまでは「ゼロ」が絡まない場合の話だ。「ゼロ」になってほしいが、「ゼロ」はどの点だろうか?「ゼロは原点」と言いたいところだが、原点は(一般には)曲線上の点ではないし、和についての幾何学的説明にも反している。いうことは不問に付す)。普通のゼロのように振る舞う」と約束する。Pこれで「ある一つの楕円曲線の上の普通の点たち&ゼロと呼ばれる点」という集合の要素間に「点の和」が定義され、逆元(マイナスの点)も定義される。この演算は、結合法則と交換法則を満たす。加法の単位元(中立元)となる。曲線上において無限の遠方にある点(無限遠点)と解釈され、射影平面上では実体のある「まともな点」になる。点の座標値についてここまでは、点の座標値が実数であるかのように記述してきた。実際の楕円曲線法では、点の座標値は「整数のようなもの」となる。この曲線上の点と認定する。割った余りが同じなら「同じ」と見なす。「同じ」と見なされる。「ある月の1日と8日は、曜日が同じ」というような発想だ。座標値が「同じ」なので、点として等しい。7)と書き表すことにする。具体的な座標値は不問に付す)。