「\(a^2+b^2=c^2\)の関係がある\(a,b,c\)の辺の長さを持つ三角形は、直角三角形である。\(a^2+b^2=c^2\)の関係式を満たす自然数\(a,b,c\)の組み合わせをピタゴラス数と呼びます。有名なピタゴラス数は、(3,4,5)です。\(3^2+4^2=5^2\)になっていますね。13)や、(6,8,10)などがありますが、どのような自然数の組み合わせがピタゴラス数になっているのかかなり昔から知られていて、実は全てのピタゴラス数を表す式もあるのです。わかるのは、(a,b,c)がピタゴラス数なら、自然数\(n\)に対して、(na,nb,nc)もピタゴラス数になっています。逆に、(a,b,c)がピタゴラス数で、その公約数としてpがあった時、(a/p,b/p,c/p)もピタゴラス数になります。証明はいたって簡単で、\(a^2+b^2=c^2\)の両辺に\(n^2\)をかけたり、\(p^2\)で割ったりすれば示せます。ここでは、やり方として一番簡単であろう円の方程式を使って求めてみます。簡単というのは、約数がどうのこうのなどを考えず、式をたてて計算していけば求められるという意味です。bが奇素数であるときの解は入試問題にもなっていて、わりと簡単に求められます。円の方程式とは方程式、\(x^2+y^2=r^2\)を満たす実数の組(x,y)をx-y平面座標にプロットすると、原点を中心とした半径rの円ができます。距離の公式からこれがわかります。\(r=1\)の場合は、単位円と呼ばれてよく使われます。ちなみに、単位円上の点の座標は実数θを使って、\((\cos(θ),\sin(θ))\)で表すことができます。このθは媒介変数と呼ばれ、媒介変数と点を対応させることができています。実はこの例のθは角度になっているので、幾何学的な意味もわかるかなり便利な媒介変数です。ピタゴラス数を求めるために、これらの幾何学的な知識を使うのですが、私はこの方法がかなり気に入っています。考え方は、、(a,b,c)がピタゴラス数なら、、\((a/c)^2+(b/c)^2=1\)であるので、(a/c,b/c)は単位円上にあるということです。逆に単位円上にある有理数の座標を持つ点から、ピタゴラス数を見つけることができます。ピタゴラス数を求めるやり方は、単位円上の座標を媒介変数mを使って表します。mは直線y=mx-1の傾きです。単位円と直線y=mx-1は2点で交わることがわかります。その一つは、(0,-1)です。一つの交点を方程式を解いて求めます。1次式と2次式(単位円)の交点を求めることになるのですが、二つある交点のうち、一つはすでにわかっている点(0,-1)なので、これからう一つの点も特別なことをすることなく求めることができます。いうか、交点の座標が求められるように直線の式を選んでいたのでした。単位円と直線の交点を求めるそれでは、連立させて交点を求めます。\(x^2+y^2=1\)に\(y=mx-1\)を代入します。\(x^2+(mx-1)^2=1\)\(x^2+m^2x^2-2mx+1=1\)\(((1+m^2)x-2mx)x=0\)よって、交点の座標は、(0,-1)と\[\left(\frac{2m}{1+m^2},\frac{m^2-1}{1+m^2}\right)\]が求まりました。やったー!もう一息です。mが有理数の場合を考えます。(p,qは整数でq\ne0)\)とすると、交点の座標は、\[\left(\frac{2(p/q)}{1+(p/q)^2},\frac{(p/q)^2-1}{1+(p/q)^2}\right)\]整理して、\[\left(\frac{2pq}{p^2+q^2},\frac{p^2-1}{p^2+q^2}\right)\]これが単位円上の有理数点(座標が全て有理数となっている点)を表しています。厳密証明するためには、もうちょっと補足や但し書きが必要となりますが、骨格の部分はこれで全て完了です。この有理数点からピタゴラス数を実際に書き表してみます。上記座標は単位円上の点を表しているので、\[\left(\frac{2pq}{p^2+q^2}+\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\right)=1\]\[(2pq)^2+(p^2-q^2)^2=(p^2+q^2)^2\]つまり、\((2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)\)がピタゴラス数となります。ピタゴラス数を表すことができます。※コメント1:後の祭りですが固定点を(0,-1)よりも、(-1,0)にしたほうが感じが良さそうでした。どの固定点をつかっても求める結果は同じなのでこれでよいです。失敗例も勉強になるでしょうから、このまま掲載します。0\)の整数と書いても同じことです。こっちのほうが感じがいいです。※コメント3:一番簡単なピラゴラス数は、p=2,q=1の時になりますが、この値を上の式にあてはめると(4-1,2*2*1,4+1)=(3,4,5)となって、有名なピタゴラス数が求まりました。c^3\)となる事を証明せよ。余裕がある人は2通り作って下さい。AM挑戦して一通りは思いつきました。2c\)が得られます。AM算数好き(数学はズブの素人)のヒマ老人です。この問題の解全く手が出ません。死ぬまでには解いてみたく思います。長生きする目的ができ、感謝です。ところで、私は「gontanoe」なるブログで、素人向けの算数パズルを投稿しています。よかったら、のぞいてみて下さい。リンク番号は怪しまれると思い載せませんが、gontanoeで検索で出ます。今、夢中になってるのは、いろいろありますが、nm(m^2-n^2)[m>nで互いに素の自然数]が6の倍数なる事を、小学生レベルの方法で説明でき感動しています。これからよろしくお願い致します。その〇一般的な形〇である」(完成した際の題名は『こんな女に誰がした』であった[1]。>GHQから「日本人の反米感情を煽るおそれがある」とクレームがつき、>題名を『星の流れに』と変更して発売となった[1]。PM変数の置き換えをすると、\(X^2+Y^2=Z^2\)の形になるのでしょうか。整数と自然数の違いは例で覚える素数とは何か。(142,546pv)高校で習う微分と積分は、数学の中でもかなり高レベルな内容です。小学校で最初に学ぶ数が自然数です。(85,340pv)よく数学を教えて欲しいという友達が言うことがあります。簡単なものほど難しい。