戻る」というようなものです。7で割ると商11160、余り5......てな感じで、余りは7乗されたもとの数に戻ります。pというのは、pで割った余りで分類して考える、という意味です。7)が成り立ってます。「7を法にすると合同」というのは初めて聞くと難しそうですが、なーに、3も10も7で割れば3余るなかまどうし、というだけのことです。「7で割った余りで考えるモード」では、3も10も73も「同じグループ」として同一視できるわけです。書いて「合同だ」といいます。「7で割った余りで考えるモード」では、どっちも「3余るグループ」なので、こいつらは合同です。大きい素数、例えば23で試してみます。23で割ると商36472208695652173913043478260、余り205の23乗は1京1920兆なんたらというでかい数ですが、23で割ったら余りはズバリ5。(じょ)8000垓(がい)というスゴイ数になりますが、こいつも23で割ると余りは20に戻るのです。素数じゃない場合には、このことは言えません。8で割ると商820余り1となって、余りは3に戻りません。素数じゃない8では、うまくいきませんでした。遊ぶ公開鍵暗号RSA」を読んだかたなら、こういった計算が、公開鍵暗号理論の基礎とつながってくることが、なんとなく分かるかと思います。暗号理論をもっとホントにちゃんと理解するには、こうした整数論の基礎知識が必要なのです。した暗号理論への応用などがなくても、これはこれ自体として純粋におもしろいもので、小定理をもとに、さらにいろいろと宝石のように美しい整数のふしぎな奥深さをさぐってゆくことができます。フェルマーの「小定理」という呼び名の「小」ですが、単に「フェルマーの定理」というと、フェルマーの最終定理の話と紛らわしいので、区別するために「小」定理と呼んでます。フェルマーの最終定理(大定理)については、ぜんぜん知らなくてもべつにこの記事的には関係ないので気にしないでください。大定理ってどんなのだか参考までにだいたいでも教えて!というかたもおられるかもしれませんが、その説明を書くにはこの記事のスペースは狭すぎます。話フェルマーの小定理は、オイラーの定理の特殊例として導入するのが論理的にスッキリするのですが、ここではもっと厨房で強引なやり方で、やってみます。b2てなことは、ご存じと思います。bbになって、公式の通りになるでしょう。これは(a+b)(a+b)(a+b)という3重の積なので、展開しつくすと、3重の積がわらわら出てくるハズですね。1個(合計8個)になります。b3ここで重要なのは、この公式そのものというより、1,3,3,1という係数の部分です。我々は、いずれにせよ、aまたはbを3個、ピックアップして並べなければいけないのですが、「aばっかり3個がいい。bなんか1個もほしくない」という並べ方はaaaの1通りしかないのは明らかです。もって「aが2個、bが1個がワタシの趣味」という人には、aab、aba、baaの3通りの並べ方が与えられるでしょう。「aが1個、bが2個がイイ!」という人にも、bba、bab、abbの3通りが与えられるでしょう。「bばっかり3個がいい。bたん萌え~」という人にはbbbです。bだけしか使ったらいけないんだから、そういう並べ方はbbbという一通りしかないのは当たり前。このことを別の角度からみなおすと、1,3,3,1という係数は、「3個のものから3個を選ぶ選び方のパターン数」「3個のものから2個を選ぶ選び方のパターン数」「3個のものから1個を選ぶ選び方のパターン数」「3個のものから0個を選ぶ選び方のパターン数」です。3匹のこぶたブー、フー、ウーで説明してみます......3軒のかわいいおうち、ブーさんち、フーさんち、ウーさんちがあるとして、あなたは3軒を順に訪問します。どのおうちでもaまたはbを1個だけ分けてもらいます。aばっかり3個集めたい人は、ブーさんち、フーさんち、ウーさんちの全部からaをもらわねばなりません。3軒のおうちから「aをもらう場所」として3軒すべてを選ぶ必要があります。次に「aが2個、bが1個」を集めるには、3軒のおうちのうち、どこでもいいからどこか2軒でaをもらって、残りの1軒でbをもらうことになります。「aをもらう場所」として3軒から2軒を選ぶことになります。「aが1個、bが2個」を集めるには、3軒のうち「aをもらう場所」をどこでもいいから1軒だけ選ぶ必要があります。最後にaなんかほしくない「bたん萌え」の人は、「aをもらう場所」は0軒です。ブーさんち、フーさんち、ウーさんち、の全部で「bをくれ」と要求することになるでしょう。「3軒の家から☆個のaをもらう場所を選ぶときの選び方の数」だからです。すべていっきょに理解できるでしょう。なんとか乗、を計算するときの実用上は、べんりじゃないですが、このように透きとおらせておくと、以下でみるように、フェルマーの小定理がほとんど自明になります。具体的には次の値になります。)公式は分数の形ですが、もちろん分子は分母で割り切れて、実際の値は整数です。素数だと思ってみましょう。これを展開した場合、bを1個も含まない項の係数は1です。bばっかりの項の係数も1です。b7てな感じで、まんなかは難しそうだけど、両端はa7とb7がスッピンで出てきます。b)nの計算式で、両端を除いたこの真ん中の部分だけに注目してみましょう。b)nの計算式をよく見てください。rはコンビネーション記号Cの前後に付いている小さい数のうち右側のことです)。rは1以上n未満の数です。nからそういうrを引いた(n-r)も、同じく1以上n未満の数です。素数と仮定してるので、1以上n未満の数なんてどうかけあわせても、nの倍数は発生しません。かけあわせても、7の倍数なんか作れるわけないです。7は素数、孤高のプリンセス、7自身が因数に入らない限り、7の倍数は生まれないのです。それにひきかえ6(や6の倍数)なんかは自分より小さい2と3とかから作れちゃうけどね。倍数には、ならないです。