拡大群であると表現する場合がある。部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。代数的構造(あるいはもっとほかの構造)を定めるということを強調するためである。群の演算を単に「積」と表記する場合もある。含まれる」ということである。この2つの条件は、同値な1つの条件にまとめることができる。含まれる」という条件である)。有限巡回部分群を生成する。上記の条件は準同型の言葉で書き換えることができる。なる写像)が準同型を与えることである。部分群の単位元は群の単位元と等しい。部分群のある元の逆元は、もとの群におけるその元の逆元と等しい。共通部分はまた部分群になる。一方が他方を包含している場合のみに限られる[1]。この和集合には属さない。別の例では、平面上のX軸とY軸(加法について考える)がある。それぞれは部分群をなすが、それらの和集合は部分群にならない。ついでながら、これら二つの部分群の共通部分は、単位元である原点のみの部分群となる。含む最小の部分群が存在する。含む部分群すべての共通部分をとることによって求められる。生成される部分群」とよぶ。元の逆元の有限個の積で表されるという事である。満たす最小の正整数である。位数は無限大であるという。与えられた群の部分群全体の成す集合は、包含関係に関して完備束になる。これを部分群の束と言う(この束の下限は通常の集合論的な意味での共通部分だが、上限は集合論的な意味での和集合ではなく、それから生成される部分群である)。G=\{0,2,4,6,1,3,5,7\}}で与えられ、8を法とする加法を群演算とするものとする。その乗積表は以下のようになる。6この群は、二つの自明でない群を持つ。部分群にもなっている。群表の左上1/4の部分である。巡回群であり、また部分群も巡回群である。一般に、巡回群の部分群はやはり巡回群になる。