アラン・チューリングアラン・チューリングアラン・チューリングの業績!人工知能、エニグマ、暗号解読等に迫るアラン・チューリングを今知ろう!理系人間であればだれでも知っているアラン・チューリングの名前。コンピューターサイエンスは、彼が創始したといっても過言ではない。ロンドンオリンピックが開催された2012年は生誕100周年だったこともあり、あちこちでチューリングの名前が取りあげられた。チューリングの業績についてはあまり知らない人が多いのではないだろうか。チューリングマシン、チューリングボンベ、デリラ、エースといった彼の機械についてはあちこちで耳にするものの、その機械の素晴らしさが今ひとつ実感できないという人も多いはずだ。チューリングマシンの仕組みの話を聞いても、あまりのシンプルさに「で?」と尋ねたくなってしまう。解説された本を読もうとすれば、哲学と論理学の用語が過剰に散りばめられた難解なものばかり。チューリングは、純粋な数学者でありながら、工学的なセンスを存分にもっていた。チューリングマシンも、コンピューターの〝原型〟として考案したのではなく、ゲーデルの不完全性定理という純粋な数学的研究をおこなううえで、難解で偏頭痛が起きそうな論理学演算を用いるのではなく、わかりやすく理解しやすい具体的な〝仮想計算機械〟を用いて、数学の不完全性を証明しようとした。チューリングは、「シンプルに考える」ということを尊重していた人であることは間違いない。挑んでいる課題があまりにも複雑なので、チューリングの仕事も多少複雑に見えるだけだ。チューリングの思考は、どんな複雑な課題に対しても、本質を見抜き、シンプルに考え、正解に一直線にたどりつく。そこがハッカー的であり、チューリングの偉大なところなのだ。アラン・チューリングとシャーロック・ホームズがときどき重なることがある。ホームズはこういっている。「事件の外見が複雑に見えれば見えるほど、その本質は単純なものなのだ」「過程の推理をことごとく消し去って、お客には出発点と結論だけを示すと、いささか安っぽすぎるが、ともかくびっくりさせる効果はじゅうぶんだ」。アラン・チューリングが夢想した、そして実際につくろうとした機械を紹介しながら、チューリングの思考の旅をたどってみたい。チューリング本はむずかしすぎる!読者は、アラン・チューリングの名前は当然知っているだろう。その功績がチューリングマシンに代表される「コンピューターサイエンスの創始」にあるということもご存知だろう。チューリングの偉大さを実感として知っている人はいったいどれだけいるだろうか。アラン・チューリングを解説した本の多くが、なぜか哲学と論理学の専門用語が散りばめられていて、読むのに苦労をするようにできている。専門書であればしかたのないことだが、一般向けの本でもそうなのだ。チューリングがさまざまな仕事をおこなった背景には、深い哲学的な思索があってのことだろう。そのような深い哲学的な思想は、10代や20代ではなかなか理解することができない。頭で理解をしても、実感として感じることはむずかしいのだ。チューリングマシンを見せられると、あまりのシンプルさに、ともすると「自分でも思いつけたのではないか?」と思ってしまう。これも、なにもないところから発想するのと、すでにチューリングマシンやコンピューターの原理を知っていて発想するのではまったく違うということはわかる。チューリングマシンのシンプルさと、それにともなって語られる難解な哲学思想のギャップに、目がくらんでしまって、読者の本質的な理解を妨げているのではないかと思えるのだ。0という数字の概念は、4世紀から5世紀ごろのインドで発見された。「無の概念」とともに語られ、無の乗算と無限の関係などが仏教哲学とともに語られる。ゼロを使い始めた人たちは、ほんとうにそんなご立派な思想を背景にゼロを考えていたのだろうか。して「なにもないということを表すのに、適当な記号がないから◯でも書いておけばいいよね」というきわめて卑近で単純なことが出発点になっているのかもしれない。事実、インドでもゼロの概念が盛んに議論されるようになったのは、7世紀のことで、0が使われるようになってから300年後のことである。紀元前のバビロニアでは、数を表すときに空位を表すのにゼロにあたる記号を使っていた。今日の我々のゼロの使い方とほぼ同じだ。バビロニアで「ゼロの概念」に関する哲学的な議論がおこなわれた形跡は残っていない。「適当な記号がないから◯でも書いておけばいいよね」という具合だったのだ。チューリングの数々の仕事も、そもそもは単純な発想のものであって、それにまつわる哲学的な議論というのは、チューリングが思索を深めた後に生まれてきたものではないのか。多くの筆者は、この時間的な深まりを無視して、最高点に達したチューリングと同じ高みにたって、過去のシンプルな着想を語ってしまう。ここにチューリング本の読みづらさがあるのではないかと思う。これは私個人の勝手な解釈で、チューリングは子供のころから、今日のコンピューター社会を正確に予測して、デジタルの原理を創始すべく数々の仕事をしていったのかもしれない。したら、天才というより一種のモンスターだと思うが、実際どうであったかはだれにもわからない。そこで、私は、間違っているかもしれないが、「チューリングは最初はきわめて単純な発想で仕事をし、後に深みを加えていった」と仮定して、チューリングの仕事を紹介してみたいと思う。その方が、あるいはそうしないと、チューリングという巨人の仕事を理解することはできないからだ。コミュ障だったアラン・チューリングアラン・マシソン・チューリングは、1912年6月23日に、イギリスのロンドンで生まれた。父親は裕福な行政官で、妻とともにインドに赴任していた。執事と料理人がいるような家庭で、アランはなに不自由なく豊かな幼少期を送った。両親はアランの教育のことを考え、アランを英国で産み、教育も英国でおこなうことにした。アランは兄のジョンとともに、父の友人宅に預けられた。両親はときおり英国に帰ってくるものの、アランが寂しい幼少期をすごしたことは想像に難くない。母親も、年に数度、帰国し、子どもたちと会うが、去るときに車の後ろを見ると、幼いアランが泣きながら追いかけてくるという回想をしている。アランには愛情が不足していた。そのためだろうか、アランはきわめて世話の焼ける問題児に育っていった。それが周囲の失笑を誘い、ますますアランは自分の殻に閉じこもっていくようになった。アスペルガー症候群の典型的な特徴を数多くもっていたとする研究者もいる。アランが生涯で最も人と触れ合ったのは、ブレッチレーパークでエニグマ暗号に挑んでいた時期で、そこには暗号電文を処理し、整理する仕事で、たくさんの若い女性が働いていた。ブレッチレーパークで当時働いていた女性の証言によると、アランは女性とは仕事上必要な話し以外はしたことがなく、廊下で出会っても、目をそらし、壁際によって、指で壁をなぞりながらすれ違っていったという。蔑んだりするような女性はいなかったが、アランを恋愛対象としてみていた女性もいなかった(ただし、この時代にアランは生涯一度だけ、ある女性と婚約をしているが、自然消滅してしまった)。1926年、14歳で、イギリス南西部のドーセットにある上流階級の子弟ばかりが通う私立学校シャーボーン校に進学するが、そこでの評価は最低だった。「基本的な訓練をせずに、自分の好きな数学の勉強ばかりをしている」「いつも不潔で、肌は脂ぎっている。爪の先はいつも汚れて黒い。服装もだらしなく、汚れている」「どの学校へいっても、社会にでても、問題児とみなされるだろう」。最低の評価で、アランにとって学生生活は鬱屈したものだったに違いない。数学の教師はアランの才能に気がついていたが、それでも教えた方法を拒否して、常に自分なりの方法を見つけようとするアランの態度に閉口していたようだ。「もし、数学者になりたいのであったら、彼はここで時間を無駄にしている」とまでいっているので、匙を投げてしまったのかもしれない。さじそれでも、そのシャーボーン校を卒業するめどがついたころ、アランには一歳年上の親しい友人ができた。クリストファー・モルコムという人物だった。二人は、いつもいっしょに行動し、二人の共通の話題である宇宙について語りあっていた。英国で科学を学ぶのには最高水準であるケンブリッジ大学のトリニティカレッジへの進学を二人で目指していた。クリストファーはみごとに合格したが、アランは失敗した。ところが、クリストファーは飲んでいた牛乳から牛結核症にかかり、進学する前に急死してしまう。アランの悲しみは普通のものではなかった。「この世に神はいない」という考えに取り憑かれ、一気に無神論者になってしまった。クリストファーの代わりに、再度トリニティカレッジに挑戦し、クリストファーの分も後世に残るような仕事をやってのけようと決意する。アランは、「クリストファーにはまた会うことができる。いつも自分といっしょにいるような気がする」と考えていた。素晴らしい友情のようだが、これは友情ではなく、愛する気持ちだった。アランにとって、クリストファーは永遠の恋人だったのだ。当時、英国では同性愛は法に触れる行為であったために、二人の関係をあらわに、するようなことはしなかったが、今日ではこれがアランの初恋であったことがわかっている。翌年、アランはトリニティカレッジに合格したが、成績が足りず奨学金を受けられたなかっため、第二希望のキングズカレッジに進学した。このころ、「数学の危機」という一種の数学ブームが起きていた。数学というのは、公理を使って、なにかを証明するゲームだ。公理というのは証明するのに使う基本ルールで、私たちがよく知っているものでは「ふたつの点があれば、直線で結ぶことができる」とか「a+bとb+a、a×bとb×aなど加算と乗算では前後を入れ替えても答えは同じになる」などだ。このようなだれもが納得し当然と思う「公理」を使って、ある事象(たとえば三平方の定理など)を証明していくのが数学というゲームだ。この時代までは、「完全な公理を用意すれば、宇宙のすべては証明できる」と考えられていた。1930年、アランが4歳のころ、クルト・ゲーデルがこの伝統的な数学を破壊しかねない奇妙な証明をしてしまう。ゲーデルの不完全定理だ。公理というのは、数学学会にリストが登録されているわけではなく、証明しようとするものが新たに公理をつくってかまわない。こと、いい加減だったり、無理やりつくった公理だったりすれば、「この証明は公理に矛盾がある」などと批判を浴びることになる。ゲーデルが発見したのは、この部分だった。証明者が慎重に慎重に公理を考案して、どこにもまったく矛盾が起きないようにしたとしよう。矛盾の起きない公理を使った場合は、必ず証明できない限界が生まれてしまう。逆に、すべてを証明できるような公理には、必ずどこかに矛盾があるということを証明してしまった。数学は万能ではなく、限界があるということを証明してしまったのだ。完全だと思われていた数学は、実は不完全なものだったというのがゲーデルが突きつけた事実だった。これがゲーデルの不完全定理だ。部屋のサイズを測って買ったカーペットなのに、2つの隅をあわせて敷くと、反対側の隅がずれてしまい、そちらをあわせて敷き直すと、今度は元の隅がずれてしまうような話だ。数学は完全な公理を用いて、世の中のすべてを証明できるわけではなく、公理が完全なら証明できない限界が生まれ、すべての現象を説明できるのであれば、その公理は不完全なものだと結論せざるを得ない。ゲーデル以前の数学は、精密な公理系を設定すれば、世の中のすべてのことが論理的に証明できるという前提にたったものだった。ところが、実は数学には不完全定理という限界があることがわかってしまった。それは、数学は新たな地平を切り開いて、もう一段高い次元に入るのか、それとも数学は限界のある学問として袋小路に陥ってしまうかどうかの瀬戸際だった。これが「数学の危機」として、アランの時代に盛んに議論されたことだった。アランは、キングズカレッジのマックス・ニューマンの数学基礎論の講義で、ゲーデルの不完全定理を学んで衝撃を受けた。アランなりの方法でこの不完全定理に挑もうと夢中になっていった。ディオファントス方程式に挑んだチューリングアランが研究課題として選んだのが、ディオファントス方程式だった。ディオファントスは古代ギリシャの数学者で、『算術』という本を著した。この本の中にはユニークな問題がたくさん載っていて、有名なフェルマーが「証明を発見したが、余白が狭すぎて書くことができない」とした、フェルマーの最終定理も、この『算術』の余白に書かれたものだった。ディオファントスは整数を扱う代数学を研究し、彼の墓には次のような墓碑銘が刻まれているという。ディオファントスの人生は、6分の1が少年期、12分の1が青年期であり、その後に7分の1が経って結婚し、結婚して5年で子供が生まれた。ところがその子はディオファントスの人生の半分しか生きずにこの世を去った。自分の子を失って、4年後にディオファントスもこの世を去った。簡単な一次方程式で解けるので、暇つぶしに解いてみていただきたい。答えは84歳で、ディオファントスは14歳までが少年期、21歳までが青年期、33歳で結婚し、38歳で子どもが生まれた。子どもは42歳で、ディオファントスが80歳のときに死に、ディオファントスは84歳で亡くなった。このディオファントスが『算術』の中で扱っていて、有名になったのがディオファントス方程式だ。ディオファントス方程式とは、変数が多すぎる方程式のことだ。3x-1=0というひとつの方程式にひとつの変数であれば、この変数xがいくつであるかは簡単に計算することができる。3x+4y=10のように、ひとつの方程式で変数がふたつある場合は、xとyを簡単に求めることはできない。いくつかの答えの組み合わせがでてきてしまう。このような単純なものであれば、グラフをつくってみれば、簡単に解の集合(グラフは直線になり、その直線すべてが解になる)を求めることができる。2つの変数が2乗、3乗と高次元になっていくと、一定の方法では解けなくなるのだ。アランが挑戦したのは、ディオファントス方程式の解法を発見することではない。「ディオファントス方程式の解を有限な手順で解けるかどうかを証明すること」だった。アランは「有限の手順では解けない」と直感していた。これはフェルマーの最終定理を、一般のディオファントス方程式まで拡張して証明することになる。一般的には、数にまつわる公理(a+b=b+a、a×b=b×aなど)は矛盾がないと考えられていた。いうことは、このような矛盾のない公理系を使った場合、必ず証明できない問題が存在するはずだ。アランは、まず「証明できない問題が存在すること」をディオファントス方程式を例にして、証明しようとした。その証明できない実例を発見すれば、ゲーデルの不完全性定理をより細かく考察していくことができるようになるからだ。このディオファントス方程式の問題は、1900年にパリで開催された国際数学者会議で、ファフィット・ヒルベルトが「古来より未解決な23の課題」として発表したもののうちのひとつだった。そのうちの第10問題は、「ディオファントス方程式の一般的で有限的な可解性判定方法を求めよ」というものだった。「有限的な可解性判定方法」とは、一定の手順で解ける方法があるかないかを見極めよということだ。中学校で習う2次方程式には「有限的な可解性」がある。2次方程式には解の公式というのがある。この解の公式は、一般的な2次の文字式を変形していくことで導きだすことができる。一定の手順を使って、機械的に解くことができる。ディオファントス方程式でも解の公式がつくれのであれば、それは「有限的な可解性」があることになる。ヒルベルトの第10問題は、「ディオファントス方程式でも解の公式をつくることができるか、あるいはできないか。それを見極める方法を考えよ」というものに相当する。一方で、そんな方法は存在しない、不可能だと証明できたら、「代数の公理を使っても解決できない問題が存在する」というゲーデルの不完全定理の実例を発見したことになる。キングズカレッジでのアランは、寝ても覚めてもこの問題を考え続けた。不完全性定理に挑むために生まれたチューリングマシンここで注目しなければならないのは、アランは「ディオファントス方程式が有限の手順で解ける」ことを証明しようとしたのではないことだ。これだったら、話は早い。一般的な解法を見つけてしまえば、証明は終わってしまう(もちろん、簡単なことではないが)。アランがやりたかったのは「有限の手順では解けないこと」を証明しようとしていた。どのようにアプローチしたらいいだろうか?最初にアランがおこなったのは、「人はどのように計算をしていくだろうか。その要素を細かく定義していこう」ということだった。2+3という単純な計算でも、人はそうとう複雑な操作をおこなっている。