pencil数列の微分積分?(その1)どうも、管理人です。国立大学の二次試験まであと一週間ということもあり、今回はちょっとした数学の話題を提供してみます。微分と積分の操作は皆さんよくご存知でしょうが、数列にもこの考え方が応用できるという話です。$a_n=2n+1$で定義される数列を考えてみます。微分すると次数は1つ下がり、積分すると次数は1つ上がっています。$a_n=2n+1$の階差数列$b_n$をとると$b_n=2$であり、$1$項目から$n$項目までの総和$S_n$をとると$S_n=n^2+2n$となります。何か気付きませんか?そうです。次数の変化が$f(x)$の場合と同じなのです。一つ、$a_n=n^2+3n-4$で定義される数列を考えてみます。上と同様に、微分すると次数は1つ下がり、積分すると次数は1つ上がっています。$a_n=n^2+3n-4$の階差数列$b_n$をとると$b_n=2n+4$であり、$1$項目から$n$項目までの総和$S_n$をとると$S_n=\dfrac{1}{3}n^3+2n^2-\dfrac{7}{3}n$となります。上記の事実から、階差と総和には微分積分と何か関係があると考えられます。差を取るという操作は$\dfrac{f(n+1)-f(n)}{(n+1)-n}$に対応し、やはり導関数に類似します。f(n)$に対応し、こちらもやはり積分に類似します。実は一般項が$n$の$k$次式で表される数列は$k-1$回だけ階差をとると等差数列となることが知られています。数列の一般項を求めるとき、検算だけであれば最初の数項を代入するだけで「数値代入法」により数列の一般項を特定できます。ピンポイントで役立つ場面はあまり思いつきませんが、知っておいて損は無いと思います。一般項が$n$の$3$次式で表される数列の階差数列は$n$の$2$次式となります。次数のチェックに利用できるので、是非覚えておきましょう。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。