山と数学、そして英語。山と数学、そして英語。塾日誌2018年08月25日9月8日(土)、大人のための数学教室を開きます。8月25日(土)の大人ための数学教室は、延期となりました。次回は、9月8日(土)の予定です。今回も授業は進まなかったので、数学こぼれ話などを。中学の数学には、私立中学や進学塾でしか扱わない発展的な公式や解法テクニックがあります。高校もそうで、普通の高校では授業では扱わない、あるいは扱っても「こんなのも一応あります」と紹介される程度で定期テストには出ない発展的な公式があります。理系で大学受験をするのなら、覚えておいたほうがいいのです。今回は、そんな公式の話。次の式を因数分解せよ。x3+y3-6xy+8うん?単純そうなのに、何か解きにくいですね?x3+y3-6xy+8=(x+y)(x2-xy+y2)-6xy+8・・・・あれ?この先、進まない。xで括ってみましょうか。x3+y3-6xy+8=x(x2-6y)+y3+8=x(x2-6y)+(y+2)(y2-2y+4)・・・・あれ?やっぱり共通因数が見つからない。うーん?実は、これ、発展的な公式を利用すれば、1行で因数分解は完成するのです。因数分解の公式は、中学3年生で学習するものは、以下の通りです。a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)a2-b2=(a+b)(a-b)高校1年、つまり数Iで新しく学習するものは、acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)いわゆる「たすきがけ」の公式です。本当は数IIの学習内容とされているけれど、一緒に学習してしまおうということで、多くの高校は、以下の公式も高校1年で学習します。x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3しかし、因数分解の公式は、他にもあります。発展的な重要公式として有名なのは、以下の2つ。a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)上の問題に戻りましょう。x3+y3-6xy+8これは、公式の、a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)を利用できます。公式のaが上の問題でxにあたります。