Science」シリーズの一冊で、文庫版でかつ比較的柔らかい語り口ながら、本格的な数学書に近い内容を含んでいる。本書のテーマである多様体は、幾何学、あるいは数学に限らず、数物系の様々な分野で使われている基本的なツールである。多様体は、大学数学科の通常のカリキュラムでは学部2〜3年あたりで習う内容であるが、河合塾系の「K会」では入会4年目(高1)のカリキュラムに含まれている。http://www.kawai-juku.ac.jp/kkai/math/course-guide.html#block2「K会」では国際科学オリンピックなどを視野に入れた教育が行われているようであり、その点では、東大受験に向けた最短コースのカリキュラムを編成する「鉄緑会」等とも異なり、かなり特殊なカリキュラムであることは事実であろう。*1とはいえ、そこで取り上げられているという事実は、多様体が、現代数学に入門する上でできるだけ早く身につけておくべき基本事項であることを示している。多様体とは、我々が通常考えるような単一の座標系を持つ実数空間とは異なり、より抽象的な空間概念であるが、ある「点」の近傍では、実数空間(の中における「開集合」)と同一視できるような局所座標系を持った空間である。大ざっぱに考えれば、実数空間を切り取って貼り合わせたような空間である。そのような空間に「近さ」の概念(位相)や微分の概念、局所座標間の交換規則等を順次導入することになる。本書では、こうした前段階にある基本概念についてもそれぞれ章を設け、ていねいに説明している。このため、いきなり専門書から入る猛者が陥りがちな「無限後退」を避けることができる。その点では、同じ著者が書いた『多様体論』(岩波基礎数学選書)が大学教養レベルの知識を前提としているのとは大きく異なる*2。見るそうした意味では、より本格的な『多様体論』へと進む準備として、あらかじめ本書を読んでみるといった使い方もできるだろう。ないとしても、多様体のさらに一段上の抽象概念である接空間、余接空間については本書でも詳しく説明されており、さらにはより「高級」なファイバーバンドル*3等の概念の入り口くらいまでは到達している。いった概念は、それらの研究において(概ね)必須の概念だった気がしている。多様体を知った人間でも、もしかしたら本書を読んで「目から鱗」を感じることがあるかもしれない。自分が最も感動を覚えたのは、52〜61頁における、三次元球面は2つのトーラスをそのトーラス面に沿って張り合わした空間と同相になることの説明である。この話は最初に聞いたときは全く理解できず、わからないまま今の今まで来てしまっていたのだが、本書の説明は(完全な証明にはなっていないとしても)「目から鱗」である。加えて、214頁以降に出てくる多次元球面に入る異なる微分構造の個数の話もとても興味深かった。多次元空間がいかに我々の直感とかけ離れたものであるかをこのことは垣間見せてくれている。先ほどふれた岩波基礎数学選書の『多様体論』であるが、つぎのような章立てとなっている。多様体論の展開この章立てをみると、先ほど紹介した「K会」のカリキュラムととてもよく似ていることに気付く。この章立ては多様体論として一般的なものというわけでもなく、恐らく、「K会」のカリキュラム編成に当たって、この本はそれなりに参考にされたのではないかと思える。『現代数学への招待』をベースに『多様体論』に進むという道筋は、現代数学にとってそれなりにオーソドックスなものだとみてかまわないのではないかと思う。それにしても、音楽家が有名な先生の個人授業を受けるように、数学的才能者が文科省的カリキュラムを超えて「レッスン」を受ける場がこうした形で用意されているというのは、ほとんど最近まで知らない事実であった。した塾の存在は素晴らしいと感じるとともに、もし地方在住者(あるいはお金がない場合も同様)が数学的才能に恵まれた場合、同じ土俵で勝負することはかなわないのではないかとも思う。した意味では、『数学ガール』に出てくる「村木先生」のような存在はとても重要である。自分が高校の頃もそんな数学教師がいたような気がする。出会いを大切にしておけばよかったな、とは、今となって感じるものである。お金に余裕があれば(かつ子どもについて行ける力があれば)是非子どもを通わせたい、というか自分が通ってみたいと思えるようなカリキュラムである。*2:例えば「ハウスドルフ空間」「パラコンパクト性」「ウリゾーンの定理」といった位相空間論に関する用語が、何の前置きもなく記述されている。*3:ファイバーバンドル(ファイブレーション)については、右サイトの内容がとても面白い。恒例のエントリーです。恒例のエントリーです。traindusoirはてなブックマーク人気記事はてなブログをはじめよう!kuma_assetさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。