山と数学、そして英語。山と数学、そして英語。いうものか学習しました。それでは、この合同式、具体的にはどういうことに利用するのか。nは13で割って5あまる数であるとき、3n4-7n2を13で割ったあまりを求めよ。半角の数字は指数だと思ってください。(mは整数)3n4-7n2=3(13m+5)4-7(13m+5)2=3(132m2+13・10m+25)2-7(13・13m2+13・10m+25)=3(134m4+132・102m2+625+2・133・10m3+2・13・10・25m+2・25・132m2)-7・132m2-7・13・10m-7・25=3・134m4+3・132・102m2+1875+6・13・10・25m3+6・25・132m2-7・132m2-7・13・10m-175=13(3・133m4+1500m3+13・359m2-70m)+1700=13(3・133m4+1500m3+13・359m2-70m+130)+10よって、余りは10。上の途中式、書き間違いをしているかもしれません。それくらいに面倒くさい。この問題を解く上で大事なところは、あまりはいくつかなのですから、13という因数をもっていない部分です。上の式でいえば、1700は13で割ると余りはいくつなのか。そこだけに着目すれば余りが出るのに、13という因数を含んでいることがわかりきっている、いわばどうでもいい部分の計算に神経を使います。これを簡単にクリアできるのが、合同式です。よって3n4-7n2≡3・54-7・52=3・252-7・25ここで25≡-1(mod13)ですから3・252-7・25≡3・(-1)2-7・(-1)=3+7=10ゆえに、あまりは10です。合同によって言い換えたものを数字としてそのまま計算し、また合同で言い換えていきます。あまりにだけ注目している合同式ならば、それが可能です。手品のようですが、慣れると、もう一番上のような解き方はやりたくない。それくらいに便利なものが合同式です。