《ポイント》3次方程式の問題では解の公式が使えません(普通は)。そのため1増減を調べる2解と係数の関係を使う3その他(因数分解、分数式にする・・・など)という解法パターンが考えられます。本問のように虚数解を相手にするときはまず「1増減を調べる」の方針で$m$を絞り込むことを考えましょう。解と係数の関係に飛びつくと、3文字を一遍に扱わなければならず、上手く文字を消去できないと計算が泥沼化してしまいます。いうときには一旦引き返す勇気も大切です。左辺を$f(x)$と置くと、$$f'(x)=3(x+m)(x-m)$$となる。このとき増減表は以下のようになる。一つの整数解を持つためには極小値が$0$より大きくなければならない。0<m<3$$が必要である。