pencil数列の微分積分?(その2)前の記事に関連して、興味深い入試問題が出題されています。2006年の東大後期で数列の和について取り上げられています。中でも興味深いのは(1)と(4)ですね。問題は以下のようなものです。k^p$が$S_p(n)$と表されることを示せ。・・・・・・(中略)・・・・・・(4)$p$を3以上の奇数とする。このとき、$$\dfrac{d}{dx}S_p(x)=pS_{p-1}(x)$$を示せ。ここで$p、n、k$はいずれも自然数です。k^3$などがそれぞれ2次、4次の多項式で表せることが言えます。証明は$p$に関する数学的帰納法で良いでしょう。k=\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{2}n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$となることが分かります。(n+1)^2$となっており、次の予想が成立しそうです。《予想》$S_p(n)$の最高次の係数は$\dfrac{1}{p+1}$であり、定数項は$0$である(常に$n$を因数に持つ)。(この関係を題材にした入試問題もどこかで出題されていたような気もしますが・・・)とりあえず最初に考えるべきことは和の公式の作り方です。$n^3$の場合を例に考えてみます。$$(k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1$$という関係に着目するのでした。これより、$$4k^3=(k+1)^4-k^4-(6k^2+4k+1)$$となります。\right)$$を得ます。右の括弧の中のシグマ達は$n$で括れますし、$(n+1)^4-1^4$の部分で定数項が相殺されます。よって右辺は$n$で括ることができます。k^2$の部分でも3次にしかなりませんので、$(n+1)^4$に展開したときに出てくる$n^4$が最高次の項になります。従って両辺を$4$で割ることにより、最高次の係数は$\dfrac{1}{4}$となることが示されました。これと同様の議論を一般化してみます。k^{p-1}+\cdots+(p+1)k^2+1\right)$となります。1\right)$となり、(帰納法の仮定により)右辺3項目の括弧内は$n$で括れて、$(n+1)^{p+1}-1^{p+1}$の部分では定数項が相殺されるため、右辺の定数項は$0$となります。k^{p}$の次数は$p+1$となります)。したがってすべての$p$について《予想》は正しいことが言えます。k^4=\dfrac{1}{5}n^5+sn^4+tn^3+un^2+vn$$などと置いて数値代入法により決定すればよいことが分かります。k^4=\dfrac{1}{5}n^5+\dfrac{1}{2}n^4+\dfrac{1}{3}n^3-\dfrac{1}{30}n$$となります。因みにこの事実は入試問題でも扱われています。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。