pencil自然数を平方数の和で表す自然数を幾つかの平方数の和で表すためには、どのような条件が必要となるのでしょうか。#54」に関連して、幾つかの平方数の和でn通りに表せる整数に関するメモを載せておきます。自然数を2つの平方数の和で表す大学入試問題でもありがちな問題設定に、ある整数を2つの平方数で表せ、というものがあります。これに関して、次のような事実が知られています。squaresある整数$n$が2つの平方数の和で表されるための必要十分条件は「4を法として3に合同な素因数が全て平方になっていること」である。squares)と呼ばれる定理で、証明はオイラーによって為されましたが、フェルマーによって提起されたためにこのような名前が付いています。数論分野でも割と古くから知られている定理の一つです。$45$は二平方和定理の条件を満たしています。実際に、$$45=6^2+3^2$$と表すことができます。実は自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の総数を与える公式が知られています。theorem)と言います。{d-1}{2}}}$$によって与えられる。総和は$2$で割り切れないような$N$の約数($1$と$N$を含む)について和を取るものとする。これも具体例で見た方が速いです。\end{align}$$となります。6)$$(複号任意)となり$8$通り存在します。これを天下り的に用いれば、4を法として3に合同な素因数で平方になっていないものが存在するような整数は2つの平方数の和で表せないことが分かります。4を法として3に合同な素因数である「$3$」が奇数個になっており、二平方和定理の条件を満たしていません。\end{align}$$となり、2個の平方数の和で表す方法の総数が$0$、即ち2個の平方数の和で表せないことが分かります。11)$などが2個の平方数の和で表せないことが分かります。この定理は具体的にどのような平方数の組で表せるかまでは教えてくれません。$2020$は$$2020=16^2+42^2=24^2+38^2$$という表示が可能ですが、$(16,42)$や$(24,38)$という組が具体的にこの定理から分かる訳ではありません。フェルマーの二平方和定理は平方剰余の相互法則の第1補充法則から導くことができます。theorem)というものが知られており、すべての自然数は高々$4$個の平方数の和で表されることが知られています。ここでいう平方数は等しいものや$0$を含んでいます。+(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}-a_{4}b_{1})^{2}\end{align}$$から、合成数は高々$4$個の平方数の和で表されることが帰納的に分かります。これより、すべての素数が高々$4$個の平方数の和で表されることを示せばラグランジュの四平方定理が証明できますが、やや煩雑なのでここでは割愛します(証明自体はWikipediaや数論の参考書に載っていると思います)。theorem)によって与えられます。}N}d$$によって与えられる。総和は$4$で割り切れないような$N$の約数($1$と$N$を含む)について和を取るものとする。ここで「異なる平方数の和」に限定すると、面白い事実が知られています。実は以下に示す31個の自然数を除くすべての自然数は異なる幾つかの平方数の和で表せるのです。128ここで挙げた自然数は異なる幾つかの平方数では表せませんが、これ以外の自然数はすべて異なる平方数を何個か用いた和により表現できます。面白い事実だと思います。ここから発展して、幾つかの平方数の和で表せるような数のリストを以下に掲載しておきます(10項目まで)。オンライン整数列大辞典(OEIS)のリンクを併記していますので必要に応じて参照してください。{\ln(x)}}$$に比例するという事実が知られています。これはドイツの数学者エトムント・ランダウとインドの数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンがそれぞれ独立に発見しました。あることが分かっています。この極限値$c$をランダウ・ラマヌジャンの定数と言います。{\ln(x)}}$$が成り立ちます。(コメント)方程式$x^2+y^2=n$の整数解を求めることは、円周$x^2+y^2=n$上の格子点を求めることに対応しています。$x^2+y^2+z^2=n$であれば球面上の格子点、さらに文字数が多くなれば、より高次の超球面上における格子点を求める作業に対応します。奥深い数論の世界においては比較的初歩の知識ですが、非常に興味深い定理です。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。