理系第3問さて、続く国公立大シリーズはやはり京大の問題ですね。Twitterで拾わせて頂いた整数問題です。=\dfrac{1}{q}$$を満たす実数とする。(\alpha+2\beta)=2$$を満たす$p,q$の組$(p,q)$をすべて求めよ。理系第3問)正接の加法定理を使うんでしょうか。素数縛りとかが無いのでちょっと面倒かもしれません。2倍角になっていますので、2次のディオファントス方程式になりそうです。誘導設問が無いですがビビらずに解いてみます。tangentの加法定理はsineとcosineの加法定理から導くことができます。\end{align}$$となります。2\beta}=2$$となります。(1-2p)q^2+2(p+2)q+2p-1=0$$と整理できます。ここで一端手を止めて次の一手を考えます。このディオファントス方程式をどう攻略すべきでしょうか。かこうにか因数分解できないだろうか、或いは解の公式から根号の中味を完全平方数にするアプローチをとるか・・・。2文字の式を整理する鉄則は「次数が低い方の文字について解く」ですから、今回もこれに従ってみます。$$2p=\dfrac{q^2+4q-1}{q^2-q-1}=1+\dfrac{5q}{q^2-q-1}$$となりますから、$\dfrac{5q}{q^2-q-1}$は整数(特にこの場合は奇数)であることが必要です。2\beta$が定義できませんし、$p$が負となるので不適です(答案の始めあたりに$q=1$は不適であるということを書いておきましょう)。q^2-q-1$$が必要であり、これから$q=2,3,4,5,6$に絞られます。$q=2$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=10$となり右辺が奇数となってしまうので不適。$q=3$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=3$となり$p=2$を得ます。よって$(p,q)=(2,3)$は求める自然数組の一つです。$q=4$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=\dfrac{20}{11}$となり右辺が整数にならないので不適。$q=5$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=\dfrac{25}{19}$となり右辺が整数にならないので不適。$q=6$のとき$\dfrac{5q}{q^2-q-1}=\dfrac{30}{29}$となり右辺が整数にならないので不適。以上より、求める自然数$p,q$の組$(p,q)$は$$(p,q)=(2,3)$$となります。2次のディオファントス方程式には色々な解法がありますが、今回は分数式を作り出すという形で処理しました。解の公式パターンで解くと割と大変そうだったので、こちらの解法を選択しました(実はそうでもないのかな・・・?)。この方法が一番手っ取り早いのではないでしょうか。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。