ange1のブログスマートフォン用の表示で見るange1のブログこの広告は、90日以上更新していないブログに表示しています。解説、いよいよ最後です。こちらに公開されています。問題文の詳細については、冒頭のリンクよりご参照ください。以下では要約した問題文で説明していきます。問12問題・答え次の条件を満たす整数列$a_1,a_2,\cdots$、正の整数$N$に対して、$N$の取り得る最大値を求めよ。数列からのすり替え流石最終問題、訳が分かりません。条件を提示されても、じゃあどんな数列を調べれば良いのか、皆目見当がつきません。したことに気付けば、実はこの問題は数列の問題ではないことが分かります。この条件、ちょっと変形してみましょう。思われるかも知れません。独自に作って導入してみます。a_u-a_v=u-v$と定義する。すると、最初に挙げた条件は更に次のように変形できます。$$このように、数列の条件が関係の条件にすり替わりました。字面が紛らわしいと思われるかも知れませんが、全く別物です。この表現にしたのは適切な記号が思いつかなかったからというのもありますがちゃんと意図があります。それは、この関係$\equiv$が同値関係の一種であると主張したいわけです。実際、今回作った関係$\equiv$は同値関係の3要件を全て満たします。作って各要素をそのグループに割り当てる場合の、同じグループであることを示すものです。この関係$\equiv$を導入することで、数列の実態がどうであるか、ではなく、正の整数をなんらかの仲間同士に分類するやり方に注力することができるという訳です。完全に数列のことは忘れてしまって良いです。問題再考それでは、問題を変形して見直してみましょう。次の条件を満たす正の整数に対する同値関係$\equiv$・正の整数$N$に対して、$N$の取り得る最大値を求めよ。小さい数に対しての$\equiv$の関係が潜んでいます。いうことは、詳細は割愛しますが帰納法により次のことが分かります。p$つまり、この$\equiv$によって、30~2077のどれと仲間であるか、30以上の整数全体を有限のグループに分割できることを意味します。※もちろん30~2077が全てバラバラのグループを構成するとは限りません。一歩進めると、無限にある正の整数を有限のグループに分割していることから、次のことも分かります。存在する$といったところで、第二の条件に視線を移します。そのような$N$の最大値を求めさせるというのが問題の要求です。これは実は非常に強い主張を含んでいます。なるはずだ$と、ある程度大きくなると正の整数は全て同じグループに所属することになる、という主張です。そのグループに属さない最後の整数を見つけてみせろ、と。そのあたりを突っ込んで検証していくことが、この問題の突破口になりそうです。問題攻略前半ということで、ここから本格的な攻略になります。