pencil創作整数問題#19解法&創作整数問題#20前回の問題は不等式での処理が解答の決め手でした。今回は各位の和に関する一風変わった問題です。数字根とは、ある自然数$N$の各位の和$S_1$を求め、さらに$S_1$の各位の和$S_2$を求める、・・・という操作を繰り返し行い、最終的に得られる$1$桁の数のことを指す。9$のように計算される。$n$を自然数とするとき、$2^n$の数字根として得られる値をすべて求めよ。(創作問題)「数字根」という単語はあまり見慣れないかもしれませんが、$9$の倍数の判定法などで、皆さんも知らず知らずのうちに恩恵を受けているはずですよ。あることに気付けば楽勝な問題ですね。閉じる創作整数問題#19(解き方)ある整数の$3$乗となる数を立方数という。立方数となるような整数$n$をすべて求めよ。(前の投稿のコメントに関して)元々は「整数」ではなく「自然数」とする予定でしたが、何故か問題文が「整数」という表記になってしまっていたので、やや絞り込みが煩雑ですが、ここでは$n$を「整数」として解いていくことにします。作問の経緯から解説していきましょう。今年の北大理系数学で「$n^2+n+14$が平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ」という問題が(誘導付きで)出題されました(文系の問題だと「$n^2+n+7$」)。これは$$n^2<n^2+n+14<(n+4)^2$$という不等関係から答を導くことができるという仕組みになっています。\end{cases}$$の3つの場合しかあり得ないことが分かります。2.不等式の利用」の項でも取り扱っています)。これと同様の問題を立方数で作ってみた、というのが今回の問題#19です。実際、例えば2001年の一橋大学後期に、「正の整数」という限定付きではありますが、次のような立方数をテーマとする問題が出題されています。(参考問題)$m$を正の整数とする。$m^3+3m^2+2m+6$はある整数の$3$乗である。(2001年一橋大学(後期第1問))一方で本問の場合は単に「整数」としかないので、負の立方数まで考慮する必要があり、候補の数が倍増(場合によっては倍以上!)してしまいます。これを何とかして不等条件で処理していきます。以下、解答のアウトラインです。\tag*{・・・1}$$というように挟み込めそうです(ただし$a,b$は$a<b$を満たす整数)。そこで次に2次以下の$8n^2-n$の部分に注目します。8n^2-n$となり確かに成立)。