手で完全に解けるわけだが、練習のためにこれを数値計算でやってみた。ここでは、モンテカルロ法を使う。これは、Young図を確率$e^{-\beta|Y|}/Z$で次々に生成していき、その生成したYoung図でいろんな量の平均をとる。このYoung図の生成をどうやるかという部分について、いろいろな方法が考案されている。私がやってみたのはメトロポリス法というものである。下の動画では、何もないYoung図から始めて、次々とYoung図を生成している。赤い角があったものからYoung図が抜けたという図示の仕方をしている。弦理論をはじめとして様々な場面に現れる。実際私も行列模型を用いた論文をいくつか書いている。私のやっているような行列模型は手で解けるものばかりではあるが、今回練習のために数値計算でどれくらいのものが出るかをやってみた。Juliaという速くて書きやすい言語があることを知ったので、その練習も兼ねている。簡単な行列模型はガウス型行列模型である。この固有値分布が$N\to\infty$の極限で半円則を満たすことが知られている。この固有値分布を数値的に求めてみた。Juliaの関数でガウス分布の乱数を発生させるものがあるのでそれを使ってエルミート行列を成分ごとにガウス分布にしたがって発生させる。Juliaには行列の固有値を求める関数があるのでそれを使う。して固有値の分布をプロットしたのが下の図である。非常にきれいに半円則を見ることが出来る。別の方法も試してみた。すると分配関数は固有値の積分に書ける。この積分をモンテカルロ法でやると考えて、固有値の配位をメトロポリス法で生成したもののプロットが下の図である。なんとか半円則になっているような気がする。計算時間としては、上のjuliaのライブラリを使ったものより長くかかっている。結局のところJuliaのガウス分布の乱数の生成が非常に素晴らしく、しかも速く固有値を求める関数があるのが効いている。それに比べて私の書いたモンテカルロ法の部分がへぼいのがこの差になったといえよう。ガウス型行列模型を少し変形したChern-Simons型行列模型というものがある。これは最近研究で使ったので馴染みになった。\infty$の極限をとると、原点を中心とする、ある範囲で定数の固有値密度、それ以外の部分では固有値密度が0となる。これをやはりモンテカルロ法で計算してみると下のようになる。それほど良くはないものの解析的に得られた結果を再現することができた。時は流れ、juliaも進化しいろいろ便利になった。linewidth=2)とやると(結構時間はかかるかもしれないが)以下のような半円の分布の絵が描ける。ヒストグラムが、3000×3000の一個の行列をガウス分布で生成し、その固有値の分布をある正規化でヒストグラムを描いたもの。赤い線が理論的に計算される半円分布。非常によく合っていることが分かる。Yamaguchi.。