サンプルの数値から平均を引くので0-10=-1010-10=020-10=10となります。この数値を偏差と呼びます。次にこれらを2乗します。-10^2=1000^2=010^2=100(^2は2乗を意味しています)この数値を偏差平方といいます。100+0+100=200この数値を偏差平方和といいます。サンプル数が3(人)なので200を3で割ります。200÷3≒66.6となります。(ここでは四捨五入ではなく切り捨てしています。)つまりこの時の分散は約66.6です。平均10で分散を計算すると1となります。導き出された1と66.6はデータのばらつきの差がある事を表しています。分散は66.6の様に数値がかなり大きくなってしまうため、直感的にどれだけのばらつきがあるか理解しにくいです。その問題を解決するのが次に出てくる標準偏差です。標準偏差の前に平均同様分散も文字式で表してみます。見、複雑そうですが、さっきの平均値の式に2箇所付け足しただけなのでかなりシンプルです。あるデータ(xi)から平均を引いてそれを2乗(^2)しなさいという意味です。Σの下にはi=1、Σの上にはnがあるので、i=1(最初の数値)からn(最後の数値)までを(xi-mean)^2してΣ(全て足し)し、1/n(サンプル数で割り)しなさい。標準偏差とは?標準偏差は分散と同じようにばらつきを表しますが、分散よりも数値の大きさが小さいためわかりやすいです。deviationといい、SDと表記されます。mean(SD)=10(2)と表記されていれば、平均は10で標準偏差は2となります。標準偏差はシンプルで分散の平方根です。分散では各データを2乗していたので、単にそれを平方根で数値の大きさを戻しただけです。文字式はこうなります。分散66.6だったので、この66の平方根、√66.6≒8.2となります。そのためA,B,Cさんのストレッチによる可動域の上昇はmean(SD)=10(8.2)となります。可動域は10度向上するけど8度くらいはばらつきますよ!という意味になります。言い方を変えると平均からのばらつきの平均が標準偏差ともいえます。中央値が「数値を並べたときに真ん中にくるもの」となります。身長を例にしてみます。ここでは大雑把に日本人の平均身長を170cmとします。身長170cmの人が多く、170cmから離れた身長の人が少なくなります。平均から+30cmある200cmの人は多くはみかけないですし、反対に平均から-30cmの140cmの人もあまりみかけません。そのため、人数と身長の関係をグラフに表すとこのようにベル🔔のような形になります。そのためこのような曲線をベルカーブと呼びます。この場合の最頻値はどこでしょうか?もっとも数が多いのは170cmなので最頻値も平均とイコールになります。中央値はどうでしょうか?後後詳しく説明する(正規分布のところで)ことになりますが、この様なベルカーブの時、最低身長から最高身長まで並べた場合、身長では真ん中くるのは170cmになるため、平均とイコールになります。身長で考えれば平均値も最頻値も中央値もイコールの関係になります。イコールにならないものもあります。挙げられる例は年収です。平均年収は大体400万くらいですが、全員の中心となる人の年収、つまり中央値は350万ほどです。数が多い年収、つまり最頻値は300万ほどです。こんな差が生まれるかは、身長同様にグラフをみればわかります。身長はベルカーブを描く平均値から左右非対称の綺麗な曲線でしたが、年収は歪んだ曲線になります。年収グラフの場合は高収入の人の年収が平均から離れすぎていて、平均年収を釣り上げてしまっています。そのため、平均年収を一般的なサラリーマンの年収だと勘違いすると、平均年収高すぎ!となるわけです。医療論文ではどんな時に中央値が使われるのでしょう。(最頻値はあまり使われません)中央値の使いどき中央値が使われるのは、ベルカーブが歪められるような極端な数値が含まれる時です。ある研究で、参加者の年齢が10代が多く、90歳の高齢者が混じっていたとします。この研究で参加者の平均年齢を記載すると、場合によっては平均年齢30歳や40歳のように、中央値からかなり外れてしまうことになります。この高齢者のように他の数値から極端に離れているものを「外れ値」といいます。外れ値がある場合やベルカーブ(後々解説する正規分布)でない場合、平均値を使うことが不適切になります。平均値は外れ値に左右されますが、中央値は外れ値に左右されないため、このような場合に中央値が用いられます。四分位範囲と四分位偏差ここまでタイトルの四分位範囲(しぶんいはんい)について全く触れてきませんでした。平均値の時は、ばらつきを表すときに標準偏差を用いていました。中央値でばらつきを表すときは四分位範囲/四分位偏差を用います。標準偏差より簡単な概念だと思います。四分という名前が付く通りサンプルを4分割します。中央値がサンプルを小さい順に並べた真ん中の値です。中央値でサンプルを半分に分け、その半分になったサンプルをさらに半分に分けます。これで4分割されます。(中央値)、第三四分位数といいます。四分位偏差は四分位範囲を1/2することで求められます。10,20,30,40,50,60,70のデータの場合中央値は真ん中の40になります。中央値を中心に左右を半分に分けると、第一分位数が20、第三分位数が60となります。四分位範囲は60-20で40となります。四分位偏差はさらに2で割り20となります。度数分布表とは?度数分布表はデータを表にまとめる方法の1つです。この後解説するヒストグラムは度数分布表をもとに作られます。ざっくばらんにいえば、度数分布表はある範囲にどれだけ(何人)データがあるかを表しています。言葉だと分かりにくいので実際に表を書くと↓なります。前回に引き続き、ストレッチによる可動域の変化を例にします。ここでは1-5°,6-10°,11-15°,16-20°と範囲を決め(表の左)、そこに何人分布するか(表の右)記入しています。ヒストグラムとは?この度数分布表を棒グラフに表したのがヒストグラムです。ヒストグラムによりどの範囲にどれだけ密集しているかが見てわかります。どれだけばらつきがあるかもわかります。確率分布とは?さて、ヒストグラムが分かったところで、次に確率分布に応用します。確率分布はある値をとる確率を示したものです。先程のヒストグラムは大雑把なものですが、これをどんどん細分化していくとこの様になるのが分かると思います。(雑な図ですが)これを確率分布といい、どのくらいの確率でその数値が出るかを面積で表しています。正規分布とは確率分布の中には正規分布と呼ばれるものがあります。ストレッチによる可動域の変化が正規分布だと仮定します。正規分布はこの様な形をしています。正規分布は必ず左右対称です。正規分布では平均値と中央値と最頻値が一致します。この図の少しの誤差はスルーして下さい。正規分布では平均(標準偏差)の間にデータの約68.3%が含まれます。mean(2SD)の間にデータの約95.4%が含まれます。mean(3SD)の間にデータの約99.7%が含まれます。医学論文を読むとよくこの「p値」が出てきます。p値は重要度がかなり高い言葉で、統計を見る上ではかかせません。この概念も中々厄介です。p値を学ぼうとすると帰無仮説やら棄却やら対立仮説やらと難しい言葉の羅列でさらにこんがらがります。簡単に理解すれば良いと私は思います。統計を取った時に、それが偶然か否かは重要なことです。p値はこの、偶然、たまたまを検出するのに使われます。「ストレッチ」と「ストレッチのフリ(シャム)」で効果を比べて、ストレッチの方が効果があれば、ストレッチに効果ありと分かりますが、このストレッチとストレッチのフリの効果の違いは、偶然起こったのかどうかを確かめなければなりません。効果が高く出たのたらストレッチに効果があるとはいえないですよね。ここで2つ仮説を立てます。ストレッチとストレッチのフリには効果に差がない差がある(証明したいこと)それで、「差がない」確率が低いのなら「差がある」と言えますよね。このような回りくどいようなことをしていくので、統計は難しいです。それでp値というのは、ここでいう「差がない」という仮説と実際の実験結果がどれだけ不一致かを表しています。p値が低いほど、「差がない」といえないので、「差がある」可能性が高いと言えるのです。それで、じゃあどれだけp値が低ければ良いの?となりますよね。0.1?0.05?0.01?これを統計を取る前に予め決めておきます。この基準を有意水準といいます。有意水準はαで表されます。0.05、つまりp値がα=0.05より低ければ、効果あり(有意差あり)とされます。実は0.05にする決まりはなく、数値が小さければ問題はないのですが、習慣的に0.05か0.01にされます。その名の通り有意水準は有意であるための水準です。因みに論文の中ではわかりやすいように有意差がある数値には*がついていることが多いです。「この結果(差がない)を再現できる確率は5%未満」、つまり「差がない」となるのは5%未満であるのだから「差がある」可能性があるとなるのです。してみるとp<0.05の問題点も分かると思います。「差がない」が5%未満の確率ということは20回やったら19回は「差がある」、1回は「差がない」になるのです。0.05を基準にするのは確実性が高いとはいいきれないですよね。有意差があるとはいっても信頼しきれない理由はこれによります。そのため有意水準を0.05ではなく、0.01に設定する人もいます。一つ、有意差だけで判断してはならない理由があります。研究のサンプル数が少ないほど、有意差は出にくく、サンプル数が多いほど有意差は出やすくなります。サンプル数が多いと臨床で使えないレベルの差でも有意差ありとなってしまうのです。そのため有意差があるかどうかの情報では臨床に使うことはできません。関係をまとめると、p値が有意水準未満なら有意差ありと判断します。最初に帰無仮説と対立仮説という名前を出しました。実は帰無仮説と対立仮説はすでに上記しています。ここでいうと「差がない」は帰無仮説で「差がある」が対立仮説です。対立仮説の方が証明したいことで、帰無仮説はその反対です。ここでは証明したいことの逆である帰無仮説を否定する(棄却)することで対立仮説の正当性を確かめています。高齢者の腰痛のリスクマネジメントLINE@記事の更新通知やセミナー情報の通知はこちらからLINEオープンチャット400人以上が参加する医療従事者のコミュニティはこちら有料記事Youtube鍼灸師・スポーツトレーナータム現在のフィットネスや徒手療法業界に「検証されてないのに習慣的に正しいとされてることが多過ぎないか?」と疑問を持ち情報発信を始めました。痛みとは?最新の痛み治療モデル「5Es」を簡単に図解する!2019年痛みの定義が変わります。疼痛治療学習サイト「インプ。