\end{cases}$$が得られます(ただし$D$は判別式)。0$について調べます。\tag*{・・・2}$$と書き直すことができます。この不等式は初等的に解くことができないので、「$b$は整数」であることを思い出し、評価することにしましょう。\tag*{・・・3}$$となります。ここで「$a,b$は$a<b$を満たす整数」と定めてあり、上述の通り$a=0$が確定しているので、$b$は正の整数となります。11$を得ます(実際$b=11$とすると、3の左辺は$11^4=14641$、右辺は$\dfrac{43319}{3}=14439.6...$となり確かに成立しています)。\end{align}$$が言えますから、2を満たす最小の正の整数$b$は$11$であることが分かります。(n+10)^3$$が得られます。長い道のりでしたが、ここまで来れば後は単純作業です。計$11$個の二次方程式をサクサク解いて$n=1,0,-1,-8,-27$を得ます。(コメント&反省)仮に$n$が「自然数」であれば、$$n^3<n^3+8n^2-n<(n+3)^3$$と候補が少なくなり、「$=(n+1)^2$」のときと「$=(n+2)^2$」のときを調べて「$n=1$」、というように簡単に答えられるのですが、「整数」としたことで絞り込みが非常に面倒になってしまいました。必要条件から$n$の候補を削減できないか、検討してみましょう。与式$n^3+8n^2-n$が任意の整数$n$について偶数になることに気付きます。\end{align}$$なので偶数です。偶数であり、かつ立方数になるということは、これが$8$の倍数であるということを意味しています。$(n-1)n(n+1)+8n^2$が$8$の倍数でなければならないので、少なくとも$(n-1)n(n+1)$が$8$の倍数となることが必要です。これより、$n$は「奇数」または「$8$の倍数」に絞られることが分かります。これだけでは$(n+\text{何か})^3$の部分まで候補を絞れずなかなか活かせなさそうです。結局のところ$11$個の方程式を黙々と解いた方が下手なことをするよりも速そうです。本問の主眼は、大抵の1元3次式は$(n+\text{何か})^3$の式で挟み込める、ということに尽きます。係数が穏やかでなければその限りではありませんが、恐らくそんな問題は出ないでしょう・・・。本問のように$$n^3+8n^2-n=m^3$$などと置いてもなかなか進展しない問題に遭遇したときは、同次式による挟み込みで処理できないか疑ってみるようにしましょう。\end{cases}$$を得ます。素人の手に負える値ではありませんね(笑)。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。