pencil創作整数問題#24解法&創作整数問題#25突然ですが、今年の十五夜は10月4日です。十五夜というのは旧暦8月15日のことを指し、9月下旬から10月上旬にかけて空気がよく澄んで月が綺麗に見えることから、この時期の満月は「中秋の名月」と呼ばれます。十五夜=満月というイメージがありますが、新月と満月の周期は15日程度であり、実は毎年の十五夜に必ず満月が見られるとは限りません(因みに次の満月は10月6日です)。月見を楽しみたいものです。表せる整数をすべて求めよ。(創作問題)整数問題の演習に手頃な問題だと思います。平方数となるような自然数$n$をすべて求めよ。2^n=(m-24)(m+24)$$と変形できます。=2^s(2^{t-s}-1)$$を得ます。なり、$$s=4、t=6$$を得るので、$$n=10$$と求められます。このとき$$2^6+2^9+2^{10}=1600=40^2$$となり、確かに平方数となっているため、求める自然数$n$は$$\color{red}{n=10}$$となります。自然数解に持つことが背景になっています。このことを利用すれば、例えば次のような問題を無数に作ることができるという訳です。場合は解を持たないようですが、証明するのは面倒くさそうです(私が解を持つような組を発見できていないだけかもしれませんが・・・)。様、コメントありがとうございます。(僭越ながら上記のコメントを修正させて頂きました。知りましたが、管理者でないと再編集できない仕様になっているようです。)考察して頂きありがとうございます。$k$という変数だけで解が無数に生み出せるのですね。興味深い結果だと思います。余計なことかもしれませんが、左辺が平方数であることから、$\bmod{3}$に着目すれば$n$が偶数に限ることは直ちに了解できます。この場合は素因数$2$の個数に着目するのが普通だと思います。結局のところ、$$2^{2k}+2^{2k+3}+2^{2k+4}$$或いは$$2^{2l}+2^{2l+5}+2^{2l+8}$$と構成すればこれらの値は平方数になるようですね。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。