pencil静岡大学2017年前期文系第4問2つの平方数の和から成る整数の集合が閉じていることに関する出題です。過去にも色々な大学で出題されています。《問題》(※要旨のみ)2つの平方数の和で表される整数全体の集合を$A$とする。(1)整数$a,b,x,y$に対して、等式$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$$が成り立つことを示せ。は$A$の要素であることを示せ。(3)$25$、$50$、$1250$のそれぞれが$A$の要素であることを示せ。前期文系第4問)《考え方》(1)はいわゆる「ブラーマグプタのの二平方恒等式」と呼ばれる恒等式で、2平方数の和から成る整数の集合では必ずと言って良いほど登場します。ちなみにこの恒等式はベクトルや複素数平面の内容からも証明できます。等式$$(a^2+b^2)(x^2+y^2)=(ax+by)^2+(ay-bx)^2$$の左辺と右辺を展開すればともに$$a^2x^2+b^2x^2+a^2y^2+b^2y^2$$となるので等式が成り立つことが示されます。(2)はこの恒等式を利用するだけです。x^2+y^2$と置けます。$A$の要素となります。このことを用いて(3)を解きましょう。\end{align}$$となり、$A$の要素となることが言えます。\end{align}$$となるので$A$の要素となることが言えます。(コメント)2つの平方数の和として表わされる整数の集合に関する問題は、過去に鹿児島大(2001)、島根大(2007)、熊本大(2011)などで出題されています。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。