「組合せ」は、例えば、こんな問題です。4人の生徒の中から3人を選ぶ選び方は何通りあるか。「順列」で考えてみます。4人から3人を選んで並べる順列は?樹形図をイメージして、4・3・2・1=24という式で求めることができます。組合せは、順番は関係ありません。上の式で求める答えは、同じ選び方で順番が異なるものを何度も繰り返しカウントすることになります。それは、3人を並べる順列の数だけ繰り返しカウントしているでしょう。わかりにくいと思うので、4人に記号を与えましょう。A君、B君、C君、D君の4人です。上の24通りを全て書きだしてみましょう。(A、B、C)、(A、C、B)、(B、A、C)、(B、C、A)、(C、A、B)、(C、B、A)(A、B、D)、(A、D、B)、(B、A、D)、(B、D、A)、(D、A、B)、(D、B、A)(A、C、D)、(A、D、C)、(C、A、D)、(C、D、A)、(D、A、C)、(D、C、A)(B、C、D)、(B、D、C)、(C、B、D)、(C、D、B)、(D、B、C)、(D、C、B)順列としては、上の24通りですが、よく見ると、選び方としては、横に1列になっているものは、全て同じ選び方ではないでしょうか。選ぶだけなら、順番はどうでも良いのですから、同じ選び方です。同じ選び方を横一列、それぞれ6回カウントしていることがわかります。3×2×1で割れば、組合せの数が計算できるのでは?4・3・23・2・1=4答えは4通りです。一般化するならば、n個のものからr個を選ぶ組み合わせの個数は、n(n-1)(n-2)×・・・×(n-r+1)r!これが、組合せの公式です。)にだけ着目していくと、(A、B、C)は、Dを選んでいないもの。(A、B、D)は、Cを選んでいないもの。(A、C、D)は、Bを選んでいないもの。(B、C、D)は、Aを選んでいないもの。と見ることもできます。何を選んだかということは、何を選ばなかったかということと同じこと。したがって、選ばないものは4通りあるので、答えは4通り。そのように考えることもできます。数字を大きくしてみると、この考え方はとても便利だとわかります。15人から12人を選ぶ選び方は何通りあるか。×7×6×5×4×3×2×1この2行は、上が分子、下が分母の分数だと思ってください。これ、分母と分子に同じ数が多いので、かなり約分できますね。1あれ?この式は、15個のものから3個を選ぶ組み合わせの式と同じなのでは?そうです。15個から12個を選ぶ組合せと、15個から3個を選ぶ組合せは、同じ数となります。これは数字上のことだけではなく、意味の上からもそうなります。15個から12個を選ぶということは、15個から3個を選ばないということ。その選ばない3個を「選ぶ」と考えても、同じことである。ここは授業が停滞しやすいところです。ここがわかりにくいのは、数字上の問題ではなく、表現上の問題なのかもしれません。「15個から12個を選ぶ」ことを「15個から3個を選ぶ」ことにすり替える。それが、同じことであるはずがない。「わからない」と言う子が多いのかもしれません。意味上は、同じことではないのです。「15個から12個を選ぶ」ことと「15個から3個を選ばない」ことは同じこと。選ばない3個を先に選んで除外しましょうということなのです。15人にうち、特定の5人から3人だけを選び、特定の5人以外の10人から9人を選ぶ方法は何通りあるか。うーむ、何だこのえこひいきは?いや、そもそも15人から12人を選ぶこと自体がおかしい。12人選ぶくらいなら、もう全員にすればいいのに。ツッコみながら、楽しく解いていきましょう。特定の5人から3人を選ぶ組合せを考えます。これは公式を使って簡単に解いていけますね。ちなみに、組合せは「コンビネーション」の頭文字Cを用いて、5C3と表します。5C3で、5個から3個を選ぶ組合せ、という意味です。次に、残る10人から9人を選びます。この2つをどうするのか?足すのか?かけるのか?この2つは同時に起こる事柄です。5人から3人を選んだ組合せの1つ1つに対して、10人から9人を選んだ組合せが対応します。これを「積の法則」と呼びます。5C3・10C1=100100通りが、この問題の答えです。15人のうち、特定の2人を含まずに12人を選ぶ選び方は何通りあるか。含まないのですから、特定の2人は最初から除外しましょう。15人から12人を選ぶのではなく、13人から12人を選ぶのです。「その特定の2人を選ぶ方法を考えなくていいんですか?」と高校生によく質問されます。問題に「特定の2人」と書いてあるとき、その時点でその特定の2人は確定しているので、問題を解く我々がその2人が誰であるかを選ぶ必要はないのです。いう説明が、これまで高校生にこのことを説明してきて、まだしも理解しやすい説明だと思います。それでも納得してくれない子とは、延々と不毛な論争をすることになります。いう子の論理は循環して、トリックアートのようになっています。階段を下りているつもりがいつの間にか登っている、有名な絵画のようなものですね。そこに切り込んで、循環した論理を粉砕するのは意外に難しいです。本来存在しない論理の筋道が本人の頭の中だけではつながっているので、何を言われても自分の誤解に気づけなくなるようなのです。「場合の数と確率」という単元は、その人の思考の癖や文章の読み取りの癖が出やすい単元です。「自分の考え方の何が悪いのか」を突き詰めようとしても、もうそれが見つからず、教えてくれる人が何を言っているのかもわからなくなったときは、答えを全て書きだす作業を1度行うと良いと思います。少なくとも、正解が自分の出した答えとは異なることは納得できるはずです。自分の考え方のほうが正しいのではないかという思いを捨てきれないから、間違った循環から脱出できない場合もあるでしょう。自分の答えが明らかに正解ではないと理解することができれば、一歩先に進めます。「正しい考え方はどういう構造のものであるのか」を学ぼうとできると思うんです。15人から12人を選ぶとき、特定の2人のうち少なくとも1人を選ぶ選び方は何通りあるか。これが一番の難問です。計算自体は非常に楽なのですが。問題文に「少なくとも」と書かれているときは、その反対を考えると楽に解けることが多いです。確率で言う「余事象」というものです。「特定の2人のうち少なくとも1人を選ぶ」ことの反対とは何か?それは、「特定の2人を選ばない」ことになります。具体的に考えてみましょうか。ここで特定の2人をAさんとBさんと名付けましょう。この2人の選び方は、以下の4通りあります。