ファイバー束を定める。通常の作用として与えられることを示すものである。持つならば、対応するベクトル束が存在する。このことを以ってベクトル束の定義とすることもある。対であって、以下の条件を満たすものである。ベクトル空間の線型写像である。よって完全に決定される。ベクトル束全体の成す類に束射を考え合わせたものは圏をなす。ベクトル束を空間が可微分多様体で束射影が滑らかなものに制限し、束の射も滑らかなもののみに制限すると、滑らかなベクトル束の圏を得る。束(として)同型であるという。ベクトル束の定義より、任意のベクトル束は局所的に自明である。上のすべてのベクトル束の圏を考えることもできる。上の写像が恒等写像になるベクトル束の射を取る。以下の図式を可換にする束の射である。X-射(この圏はアーベル圏ではない。ベクトル束の射と見ることもできる。normal.png曲面上の各点にその法ベクトルを対応させる写像は切断と考えることができる。付随するベクトル空間のベクトルが乗ったものである。各点で、それに付随するベクトル空間のベクトルを連続的に対応させることを意味する。可微分多様体の接束の切断とは、その多様体上のベクトル場に他ならない。上の切断全体の集合とする。section)と呼ばれる一つの要素を含む。それ自体が実ベクトル空間になる。上のベクトル空間の層をなす。上で定義された実数値連続関数環の上の加群と見なすことができる。加群の層でも、ベクトル束からこの方法で得られるというわけではなく、局所自由であるものに限られる。組として表されるからである。加群の層の圏に圏同値である。加群の層の圏に含まれていると考えることができる。後者はアーベル圏であり、それによってベクトル束の射の核や余核をその中でならば計算することができる。個の線型独立な大域切断を持つことであることに注意。ベクトル束の演算ベクトル空間に対する演算の多くは、それをファイバーごとに行うことによってベクトル束の演算に拡張することができる。全体の成す集合として定義できる。局所的自明化だから、双対束は局所的に自明である。これには双対ベクトル空間を取る操作が関手的であること(ここでは双対をとることと同型写像とが可換ということ)が鍵になっている。対に直接的に拡張することができる。なるものとして定義される。ファイバーごとにベクトル空間のテンソル積を用いることによって定義できる。書かれる)であるようなベクトル束である。上のベクトル束の準同型」とが同一視できるためである。構成することができる。