とき、次の不等式を証明せよ。全体の集合を$G$とする。$1$より大きい$G$の元のうち最小のものを$u$とする。(1)$u$を求めよ。(2)整数$n$と$G$の元$g$に対し、$gu^n$は$G$の元であることを示せ。$(n=1,2,3,\cdots)$で与えられている。(1)$x_n$、$y_n$を$3$で割ったときの余りをそれぞれ求めよ。(2)$x_n$を$n$の式で表せ。(n=1,2,3,\cdots)$に対して$(1+\sqrt{3})^n$を越えない最大の整数を$z_n$とする。$z_n$を$3$で割ったときの余りを求めよ。$(n=1,2,3,\cdots)$で定めるとき、次の問に答えよ。(1)$x_n$を$3$で割ったときの余りを求めよ。(2)$x_n$を$n$の式で表せ。(3)$n$を正の整数とするとき、$(1+\sqrt{3})^n$を越えない最大の整数を$3$で割ったときの余りを求めよ。(1988年/第1問)正の整数$n$に対して正の整数$a_n$、$b_n$を次の式で定める。\sqrt{3}$$であることを示せ。(2)$(2+\sqrt{3})^n$の小数展開の整数部分が奇数であることを示せ。筑波大学(1992年/文理共通第2問)自然数からなる数列$\{a_n\}$、$\{b_n\}$が次の式で与えられている。\sqrt{2}$$が成り立つことを示せ。\sqrt{2})-1<\dfrac{1}{5^{2n}}$$が成り立つことを示せ。広島大学(1993年/理系第3問)東京工業大学(1994年/後期第2問)※京都大学(1988年/理科系第3問)も参照のこと。(1996年/(医)第3問)金沢大学(1997年/後期第2問)お茶の水女子大学(1998年/後期第?問)(1)等式$$(x^2-ny^2)(z^2-nt^2)=(xz+nyt)^2-n(xt+yz)^2$$を示せ。(1998年/第3問)※ペル型数列の小数部分に関する問題です。大阪大学(2000年/後期理系第1問)滋賀医科大学(2001年/前期第3問)京都大学(2002年/後期理系第5問)慶応義塾大学(2002年/(経済)第6問)東京大学(2003年/前期理系第4問/文系第3問)東京大学(2003年/後期理系第2問)大阪市立大学(2003年/前期理系第3問)$p、q$は正の有理数で、$\sqrt{q}$は無理数であるとする。\sqrt{q}$$によって定める。\sqrt{q}$を示せ。広島大学(2003年/文系第3問)※数列の問題ではありません。\sqrt{2}$$を満たす自然数とする。このとき、以下の問いに答えよ。とき、$a_n$および$b_n$を$a_{n-1}$と$b_{n-1}$を用いて表せ。(3)(2)を用いて、$\sqrt{2}$を誤差$\dfrac{1}{10000}$未満で近似する有理数を1つ求めよ。$a_n$、$b_n$の公約数に関する問題。(著作権の関係で問題文の掲載は控えさせて頂きます)横浜市立大学(2008年/(医)第3問)北里大学(2008年/(理)第3問)芝浦工業大学(2009年/前期第2問)数列$\{a_n\}$の一般項が$$a_n=(2+\sqrt{2})^{n-1}+(2-\sqrt{2})^{n-1}$$で与えられている。(1)$a_3$、$a_4$を求めよ。(2)$a_{18}$を$17$で割った余りを求めよ。京都大学(2009年/理系乙第6問)$a$と$b$を互いに素、すなわち$1$以外の公約数を持たない正の整数とし、さらに$a$は奇数とする。\sqrt{2}$$を満たすように定めるとき、次の(1)、(2)を示せ。$\sqrt{2}$が無理数であることは証明なしに用いてよい。(1)$a_2$は奇数であり、$a_2$と$b_2$は互いに素である。(2)すべての$n$に対して$a_n$は奇数であり、$a_n$と$b_n$は互いに素である。b_{n}}\end{cases}$$を満たしている。