差が等差数列(B)になる数列AのN番目=Aのはじめの数+Bの(N-1)番目までの和(例:A4=A1(1)+B1~B3の和(1+4+7=12)=13*B4ではなくB3までなのがポイント!「等差数列の基本は分かったので『階差数列』を学びたい」「階差数列って何?難しそう...」という中学受験生と保護者の方、高校生の方へ。この記事は「階差数列」(正確に言うと階差が等差数列の数列)の解き方を分かりやすく図解します。数列の基本に自信が無い人は「等差数列の基本とN番目の数の出し方」と「等差数列の和の公式と問題の解き方」に目を通す事をオススメします。面倒くさい人は(汗)コレだけは頭に入れて下さい。この記事の最後でプリントが自由にダウンロードできます。良ければ利用して下さい。プリントダウンロードスポンサーリンク差が作る数列(階差数列)に注目するこんにちは!受験図解講師の爽茶そうちゃ@zky_teacher(プロフィール)です。今まで「数列を見たら等差数列と思え!」という勢いで問題を解いてきました。差が等しくない場合はどうしたらよいでしょうか。́;ω;`)ウッ...そういうときは、慌てず騒がず「差を並べて」「差が作る数列」を見てみましょう!例題12,3,5,8,12...という数列がある。以下の問いに答えよ(1)これは等差数列か(2)差はどのような数列になっているか(3)もとの数列(2,3,5,8,12...)をA、階差数列(1,2,3,4)をBとする。__Aの4番目を、Aの「はじめの数」とBの数列を使って表しなさい。(4)Aの10番目の数を求めなさい(5)「80」はAの何番目か小問12,3,5,8,12...という数列がある。なって、等しくないので等差数列ではありません。等差数列ではない小問22,3,5,8,12...という数列がある。これは1ずつ等しく増えているので等差数列です!o(・∀・)o「はじめの数」と「公差」で表現すると、差は「はじめの数」が1「公差」が1の等差数列になっています。答:はじめの数1,公差1の等差数列このように差を並べた数列を「階差数列」と呼びます。「階差数列」が指すもの(タイトルではもとの数列を階差数列のように書いていますが、もとの数列の差を並べたのが階差数列です...(^_^;)小問3もとの数列(2,3,5,8,12...)をA、階差数列(1,2,3,4)をBとする。Aの4番目を、Aのはじめの数とBの数列を使って表しなさい。図解Aのはじめの数「2」から4番目の数「8」まではいくつ増加していますか?答を表示6増加していますねこの増加分の6というのは、Bとどういう関係があるでしょうか?答を表示Bのはじめの数「1」2番めの数「2」3番目の数「3」の合計(和)です。これで、答えが出ますね解答を表示Aの4番目=Aのはじめの数+Bの3番目までの和と表すことができます。Bの4番目までの和ではなく、3番目までの和になることに注意です。次に「Bの9番目までの和」を求めます。B:1,2,3,4...にあてはめましょう。以上の結果を「Aの10番目の数=Aのはじめの数+Bの9番目までの和」に入れると答えですね。47このように「差(階差数列)が等差数列になる数列のN番目の数」は「和の公式」を使ってを求めることが出来ます。何度も言いますが、N番目の数を出すときは(N-1)です。次は、番目を求める問題です。はじめに種明かしをしてしまうと、階差数列の問題では「N番目の数」は計算(公式)で出せますが、「番目(N)」は計算(公式)では出せません。(計算で出せるのは中学3年生から)「出せない」問題を知るある程度勉强したら、「公式(計算)で出せない事柄」を知っておくのも大事です。その事柄が登場した時にも慌てず「この数値は使わないな」とか「別の方法を考えれば良いのかな」と考えることができるからです。小学生が計算で出せない事項として重要なのは「正三角形の『高さ』」「正方形の『対角線の長さ』」等です。そのうち、別記事にまとめようと思います。したがって、数列の基本に戻って手作業で出すことになります。試でも同じように手作業で出しますので面倒臭がってはいけませんよ!小問4で、Aの10番目が「47」と分かりました。「80」はこれより後ろにあるのは確実なので、「47」の次の数字を出してみましょう。そのためには、差が分からないといけませんが、まだ出していませんね...((差が書いていない図))「47」の直後にあるのはBの何番目でしょうか?答を表示10番目ですね。Bの10番目はいくつでしょうか?答を表示Bの10番目は「10」ですね。((図))この続きの図を、Aに「80」が出てくるまで続ければ良いのです。え?面倒くさい?そうですか?(^_^;)「80」と「47」の差は33で、次に足す階差数列Bの10番目は「10」なので、「3回(つまり、あとたった2回)くらい足せば良いな」と考えましょう♪(逆に、差が1000!などなら、さらに別のやり方を考えないといけないので、後回し問題にします。)早速、図の続きを描きましょう。Bを書いてしまいます。((図))それから、Aを確実に出していきます。はい!出ました「80」はAの13番と分かりましたね。以上が階差数列を使った問題の解法です。類題で練習して下さい。類題14,6,11,19,30,44...という数列がある。(1)20番目の数を求めよ(2)「396」は何番目の数か?小問120番目の数を求めよ図解まず20番目を階差数列を使って表すともとの数列をAとします。́;ω;`)が、とりあえず並べます。すると...2,5,8,11,14...という等差数列になっています(^O^)この階差数列をBとします。「はじめの数」=2「公差」=3の等差数列です。((AとBを互い違いに並べた図))ここで公式を用いるとAの20番目の数=Aのはじめの数+Bの19番目までの和になります。最後に答えを出すとこれで答えが出せます。555小問2「396」は何番目の数か解説まず、今まで分かった情報を元に「396」が、どの辺りにあるか予想できないか考えます。設問で「44」が6番目、小問1で「555」が20番目と分かっているので、「396」は「555」から戻るように探すのが良いかな?と検討が付きますね。「555」の直前にあるBの19番を求めると、2+3×(19-1)=56と分かるので図を描きます。((図))計算したことは、この図に書き込んでいきましょう。これで調べる準備が出来ました。はい出ました!「396」はAの17番目と分かりました。なりますねこの階差数列Bは「減る」タイプの等差数列になっています。