1)」が成り立つ事を示す。成り立つ事を結論づける。上で1と2から3を結論づける所が数学的帰納法に当たる。自然数に関するペアノの公理の中に、ほぼ等価なものが含まれている。いう名前がつけられているが、数学的帰納法を用いた証明は帰納ではなく、純粋に自然数の構造に依存した演繹論理の一種である。より次々と命題の正しさが"伝播"されていき、任意の自然数に対して命題が証明されていく様子が帰納のように見えるためこのような名前がつけられた。教科書等の初等的な解説書ではドミノ倒しに例えて数学的帰納法を説明しているものも多い。枚目のドミノが倒れる」の意味だとすれば、上の論法は以下のようになる:1枚目のドミノが倒れる事を示す。枚目のドミノが倒れる」ことを示す。以上の議論から全てのドミノが倒れる事が結論づけられる。数学的帰納法が成り立つ直観的理由は以下の通りである。P(1)が正しい事が分かる。P(3),...が分かる。成り立つが結論づけられる。間にはギャップがある。成り立つことを数学的帰納法の原理といい、数学的帰納法の原理は成り立つことは以下のようにペアノの公理を用いて証明される。自然数の集合をNとし、命題Pnが成り立つnの集合をMとする。M∈{n|Pn}数学的帰納法による証明の手順より、1はMの要素である。自然数rがMの要素であるとすると、Mの定義によってPrが正しい。数学的帰納法の手順より、P(r+1)も正しい。rの後者r+1もMの要素である。従ってペアノの公理Vによって、MはNに一致し、よって命題Pnがすべての自然数において成り立つ。数学的帰納法には次のようなバリエーションもあり、場合によってはこれらを用いる必要がある。これらのバリエーションの正しさは、上で述べた標準的な形の数学的帰納法を用いて示すことができる。いう範囲でもよいことになる。あれば、全ての正の偶数で証明できる。正の奇数を証明し、よって全ての自然数で成立するという証明方法もある。両方証明し、全ての整数で成立することを証明するというのもある。すべて(もしくは一部)を用いる。induction)という。