今回は固有値と固有ベクトルというものについて学んでいくよ!学生はい!がんばります!さて、今回は固有値と固有ベクトルについて見ていきます。大学の線形代数でも終盤に学ぶ内容ですが、実はそこまで難しい内容ではないんです。何かわかりやすく解説してみる!そして、線形写像とは1変数同士または多変数同士を対応付けることでしたね。その知識を踏まえて次のような線形変換を考えてみます。\\\end{array}\right],y=Ax$$ただし\(x,y\)はそれぞれこのような列ベクトルとします。\\\end{array}\right]$$この\(Ax\)を展開するとこのようになりますね。\\\end{array}\right]$$この\(x_1,x_2\)に\(x_1=1,x_2=1\)を代入してみます。\\\end{array}\right]$$先生これを図で理解してみるとどうなるかな?では変換する前のベクトルと変換したあとのベクトルを図示してみます。線形変換によってベクトルが回転し、長さも拡大していることがよくわかりますね。このように線形写像は「ベクトルを回転し拡大または縮小させること」と言うこともできるんです。学生なるほど!これが線形写像の図形的な理解です。ここで1つ特殊な場合を考えてみます。次の行列の線形変換を考えてみます。\\\end{array}\right]$$学生もとのベクトルの5倍になった!実はこれが固有値と固有ベクトルなんです!つまり、ある行列\(A\)にベクトル\(x\)をかけた結果としてその定数倍になる場合,そのベクトル\(x\)を固有ベクトル,定数倍の値を固有値と呼ぶということ。今の例では5が固有値でベクトル(1,1)が固有ベクトルということになります。これを図で見てみると確かにベクトルが回転せずに大きさのみ変わっている(定数倍されている)ということがわかりますね!固有値と固有ベクトル行列\(A\)で線形変換してもベクトル\(x\)は回転せず、大きさのみ変わっているこのときの定数倍の値を固有値、元のベクトル\(x\)を固有ベクトルと呼ぶ(ただし\(x\)は0ベクトル以外)固有値を求めてみよう!ではここからは実際に固有値を求めてみましょう。先ほどの固有値の意味から、固有値を\(λ\)とするとこのような等式が成り立つことはわかりますか?\[Ax=λx\]ベクトル\(x\)に行列\(A\)をかけるともとのベクトルの固有値倍になるということですね。この等式を\(λ\)について解くことができれば固有値を求めることが出来ます。この等式を変形してみると、、、ここまで落とし込むことが出来ました!では\(λE-A\)に逆行列が存在しないという条件をどのように表現すればいいでしょうか?ここで以前勉強した逆行列を余因子行列と行列式で求める公式を思い出してみてください。このような公式で与えられるのでした。この式を見てみると分母に行列式がありますね。この行列式が0でない場合に逆行列が存在するということ。いうことは行列式が0ならば逆行列は存在しないことになります。先生この等式を解けば固有値を求められることがわかるね!これが固有値を求めるための公式になります。固有値を求める公式\[|λE-A|=0\]では具体的に固有値を求めてみましょう!今回はこの行列\(A\)の固有値を求めてみます。\\\end{array}\right]$$これで固有値が求まりました!始めの例で出てきた固有値5が確かに求まっていますね。最後にこれらの固有値に対応する固有ベクトルを求めてみましょう!固有ベクトルを求めてみよう固有値が\(λ=-1,5\)と2つの値を取るので場合分けして考えます。固有ベクトルを求めるには先ほどのこの式に固有値を代入して\(x\)について解くことによって求まります。以下の式に固有値を代入して\(x\)について解く。先生これで固有ベクトルが求まったね!始めの例で出てきた固有ベクトルは\(c=1\)の場合に対応していることが確認出来ますね。一つの固有値についても固有ベクトルを求めてみましょう。具体例で見てみると簡単さて、今回は固有値と固有ベクトルについて具体例をたくさん使いながら見てきました。今回の内容をもう一度振り返っておきましょう!今回のまとめある行列\(A\)において、その行列にベクトル\(x\)をかけた結果としてその定数倍になる場合,そのベクトル\(x\)を固有ベクトル、その値を固有値と呼ぶ。(ただし、xは0ベクトル以外)固有値は行列式\(|λE-A|\)=0を解くことで求める。固有ベクトルは固有値を代入した\((λE-A)x=0\)を\(x\)について解く。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト対角化ってなに?実際に計算しながら説明していくよ!線形写像とは何かをわかりやすく解説してみる!RECOMMENDこちらの記事も人気です。