下記の通りであり、これが成立すると仮定する。成立することが分かる。数学的帰納法の原理を説明する前に、まず前述した直観的説明のどこにギャップがあったのかを説明する。結論づけるには100ステップの推論が必要となる。成り立つ」という数学的帰納法の結論について有限の長さの証明が与えられたとはいえない。これが前述した直観的説明におけるギャップである。そこで、ペアノ算術などの形式的な体系では、数学的帰納法を証明に用いてよいことが公理として仮定されるのが普通である。形式的には、自然数の性質から数学的帰納法の正しさが証明できるのではなく、逆に自然数の本質的な性質を与える推論規則として数学的帰納法が仮定される、ということになる。集合論の枠組みでは、数学的帰納法の原理を次のように表すことができる[1]。属する最小の自然数が存在する。この原理からもともとの形の数学的帰納法が導かれることは,次のようにして示せる。