今回は線形代数の重要項目について総まとめしていくよ!学生お!総復習できるってことだね!今回の記事では線形代数で非常に重要になってくる内容を各項目ごとにまとめていきます。詳細な解説については関連記事を貼っていくので、そちらも参考にしてみてくださいね。行列・行列の計算について行列とは簡単に言えば数字が羅列された箱のようなもの。次のようなものが行列です。\\\end{array}\right]$$この行列は横が2行、縦が2列なので2行2列の行列または2×2行列と言います。こちらの行列は横が3行、縦が4列なので3行4列の行列または3×4行列と言います。\\\end{array}\right]$$2×2や3×4のような行列の大きさを行列の型と言い、行列の中にある数字1つ1つを行列の成分と言います。行列は型が同じであれば数字と同じように足し算引き算をすることが出来ます。次の2つの行列はどちらも3×3行列で型が同じなので足し算と引き算が出来るわけですね。行列はかけ算も出来るんだよ!例えば行列\(A\)と行列\(B\)において、\(A\)の列の個数と\(B\)の行の個数が等しい場合かけ算をすることができます。次の2つの行列をかけ算してみましょう。\\\end{array}\right]$$まずは\(A\)の1行目、\(B\)の1列目について計算していきます。これで\(A\)の1行目、\(B\)の1列目の計算は完了です!続いて\(A\)の1行目、\(B\)の2列目について計算していきましょう。この計算を2行1列目、2行2列目も同様に行っていくと最終的に\(AB\)は以下のようになります。掃き出し法の手順・簡約化の流れ・行列のランク行列や連立方程式において重要になってくるのが掃き出し法。連立方程式を解くときには掃き出し法は基本になってきます。掃き出し法とは?基本変形を使って連立一次方程式を解く方法を掃き出し法と言い、基本変形は以下の3つの変形を言う。1つの式を何倍かする(ただし0倍は含まない)2つの式を入れ替える1つの式に他の式の何倍かを加えるでは次の連立方程式を掃き出し法を使って解いてみましょう。\]掃き出し法を使って解くことが出来ました!今の例では連立方程式のまま解きましたが、実は行列として表現して解くこともできるんです。行列と連立方程式の関係についてはこちらの記事を参考にしてみてくださいね。行列と連立方程式の関係は!?具体例を使って解説!連立方程式を解く時の流れを行列に当てはめてみよう先ほどの連立方程式を行列で表現するとこのようになります。\\\end{array}\right]$$この連立方程式を表した行列を拡大係数行列と言います。これを先ほどの基本変形を使って変形していきましょう。このように連立方程式の変形と行の変形が対応しているのが分かりますね。変形された行列は左側が単位行列、右側が連立方程式の解になっていることが分かります。この行列を連立方程式に戻してみると、このように解が求まった形で式が出てきます。\]このように連立方程式は拡大係数行列を用意して基本変形を使って単純な形に変形し、それに対応する連立方程式を考えることによって解くことが出来るというわけですね!さて、続いては行列の簡約化。簡約化とは行列をスッキリ簡単な形にすること。具体的に簡約な行列とは次のような行列のことを言います。先頭の1の成分は右下がりに並んでいる簡約化の手順は簡単で行列の基本変形を使うだけです。行列の簡約化についてわかりやすく解説する行列の簡約化を使って色々な行列を解いてみよう!最後は行列のランク。ランクは逆行列や1次独立などと深い関係があり、非常に重要な概念です。行列のランクは簡約化を使えばすぐに求めることが可能。ランクに関する詳しい解説はこちらの記事を参考にしてみてください。行列式は線形代数でもよく出てくるものですが、正方行列に対して定義される量と理解しておくと良いと思います。計算方法としてはたすき掛けをイメージすると分かりやすいです。こちらの行列の行列式を求めてみましょう。\\\end{array}\right]$$3×3行列も同様にたすき掛けをイメージしますが、こちらは少し複雑。こちらの行列を例に見ていきましょう。逆行列を求めるには掃き出し法を使う方法と余因子を使う方法の2つがあります。掃き出し法を使った方法を解説します。次の行列の逆行列を求めてみましょう。\\\end{array}\right]$$まずは行列\(A\)の隣に単位行列を並べます。この単位行列を並べてできた行列を簡約化していきます。これで右側に現れた行列が逆行列になります。0\end{array}\right]$$では次に余因子行列を使って逆行列を求めてみます。その際には余因子行列と行列式を使ったこちらの公式を用います。例としてこちらの行列の逆行列を求めてみましょう。1次独立・1次従属・ベクトルの内積1次独立、1次従属は線形代数においても重要な概念。このような方程式を考えてみると、1次独立、1次従属は次のように定義されます。\[c_1\textbf{u}_1+c_2\textbf{u}_2+c_3\textbf{u}_3=0\]1次独立と1次従属1次独立とは、上記の方程式を満たす\(c_1,c_2,c_3\)が\(c_1=c_2=c_3=0\)に限るとき\(\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\)は1次独立であると言います。1次従属とは、上記の方程式を満たす\(c_1,c_2,c_3\)が\(c_1=c_2=c_3=0\)意外に存在するとき\(\textbf{u}_1,\textbf{u}_2,\textbf{u}_3\)は1次従属であると言います。先生じゃあ簡単な具体例を使って理解を深めていこう!1次従属についても見ていきます。おける1次独立と1次従属についてわかりやすく解説する続いてベクトルの内積ですが、高校の時に勉強した方も多いと思います。高校での内積の定義はこのように表されるのでした。高校での内積の定義\[(\textbf{a}\cdot\textbf{b})=(\textbf{a},\textbf{b})=|\textbf{a}||\textbf{b}|\cos\theta\]大学生での線形代数の内積の定義を厳密に解説するとかなり複雑になるのですが、ここではよく出てくる標準内積について紹介します。標準内積\[(\textbf{a}\cdot\textbf{b})=\textbf{a}^{\mathrm{T}}\textbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n\]では実際に標準内積を計算してみましょう。固有値を求める手順まず固有値と固有ベクトルが何なのかというところから確認しておきましょう。固有値と固有ベクトルベクトル\(x\)を行列\(A\)で線形変換した結果ベクトル\(x\)の定数倍になるとき、その定数を固有値、元のベクトル\(x\)を固有ベクトルという。(ただし\(x\)は0ベクトル以外)例えば以下のベクトルを行列\(A\)で線形変換してみることを考えます。その結果元のベクトルの5倍のベクトルが出てきますが、この時の5を固有値、元のベクトル\(x\)を固有ベクトルというわけですね。\right]$$図解してみるとこのようになります。ベクトルは回転せずに大きさだけ変わっているということが分かりますね。実際に固有値を求めてみましょう。固有値を求めるにはこちらの公式を用います。固有ベクトルの求め方を解説!今回はこの行列の固有値を求めてみます。対角化と聞くとなんだか難しそうですがやっていることは至って単純。対角化ってなに?実際に計算しながら説明していくよ!対角化をするにはこの3つのステップを踏むだけ。行列\(A\)の固有ベクトルを並べた行列\(P\)を作る逆行列\(P^{\mathrm{-1}}\)を求める\(P^{\mathrm{-1}}AP\)を求めるでは実際に計算してみましょう。今回はこちらの行列を対角化してみます。\right]$$これで対角化することが出来ました!対角行列を見てみると行列\(A\)の固有値が対角成分になっていること分かります。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイトトップページへ線形代数における基底ってなに?RECOMMENDこちらの記事も人気です。