微分不要!グラフの概形を簡単に予測する面白くて便利な方法とは??|のたらぼ。x\)のグラフの描き方の話は衝撃的だったよー。今までなんて適当にグラフを描いてたんだろう・・・って感じ。黒豆:ちょっと数学の問題を解いてるんだ~。いっても、簡単な三角関...のた:お役に立てたならよかった~。x\)とかのグラフが正確に描けるようになったし!もっといろんなグラフの描き方も考えてみたいな~。x\)とかのグラフを描いてみよう。「関数全体を微分して極大点や極小点、変曲点を求めるという面倒な過程を飛ばして、グラフの概形をある程度程度予測してみる」ってことだよ!黒豆:えっ?そんなことできるの?グラフって微分しないと描けないと思ってたけど・・・。:正確性を求める場合はもちろん微分するのが一番だけど、微分しなくても概形を予測できる場合もあるんだよ。x\)を含む関数を考えるんだったよね。x\)という2つの関数の積だ。x\)のグラフの形はわざわざ微分しなくてもある程度予測できると思わない?黒豆:ああ~、確かになんか描けそうな気がせんでもない・・・。「基本的な関数のグラフの形が正確に分かっていれば、それらの関数の積や和のグラフの概形をある程度予測することができる」ことが多いんだ。基本的な関数の形を利用してより複雑な関数の形を予測するんだね!のた:その通り!!グラフの概形を予測することのメリットは?のた:グラフを正確に描くには確かに微分が必要だ。グラフをどこまで正確に描く必要があるかは状況に応じて異なるよね。問題によっては、グラフの形がそこまで正確に分からなくても、\(x>0\)だとか\(x\)が単調増加しているとかその程度の情報が分かればよい場合もある。いう場合にわざわざ微分までするのは、手間がかかるだけで正直無駄だ。黒豆:つまり、グラフの概形だけ分かればいいって場合に余計な手間をかけないために、概形を予測する方法を使うといいってことだね。グラフを正確に描く必要がある場合であっても、最初にグラフの概形を大まかに予測してから微分する方が効率がよいこともあるしね。確かに、森を見てから木を見る方がよいこともありそうだよね。x\)のグラフの概形を予測してみようのた:じゃあ、早速実際にやってみようか。x\)について、とりあえず1周期分(\(x=0~2π\))のグラフを描くことにする。これ以降は\(0≦x≦2π\)という前提で議論するよ。x\)のグラフを参考にするんだったね。x\)のグラフを見てみよう。x\)のグラフを描く上でのヒントが見つからないか考える。x\)のグラフの特徴って何?黒豆:特徴かぁ・・・。思いつくのはこんな感じかなあ。\frac{3}{2}π\)で極小点をとるのた:うん、大体こんな感じだよね。x≦1\)」から考えるまず特徴1について。x≦x\)ってことだ。x\)のグラフは必ず\(y=-x\)と\(y=x\)のグラフの間にあるってことだよね。x=-1\)のときには\(y=-x\)になる。x\)は\(y=-x\)上の点を通るってことが分かる。x\)のグラフの特徴2:周期は\(2π\)」から考えるのた:次に特徴2について検討しよう。x\)の周期が\(2π\)だって話だったね。x\)のグラフには周期がある(つまり振動する)。x\)と同じく周期\(2π\)で振動するってことだ。黒豆:え?そうなの??今のところよく分からなかった。x\)のグラフは周期的にx軸を通過するってことでしょ?つまり、周期的に\(y=0\)になるってことだよね。x\)のグラフも\(x\)軸を通過するはずだ。x\)=0になるからね。x\)は同じタイミングで\(x\)軸を通過する=周期が同じ、ってことになるんだよ。x\)のグラフは以下のような形になりそうだね。黒豆:おお、なんとなくグラフのイメージが沸いてきたね~。:そうでしょ?グラフの概形を掴むだけならこれくらいで十分だと思うよ。位置」から考えるのた:次は特徴3だね。位置に関する話だった。x\)の周期は同じ\(2π\)だ。x\)の場合も\(0≦x≦2π\)の間に極大点と極小点があるはずだね。x\)の極大点・極小点は同じなのかな??黒豆:うーん、この概形を見る感じだと少しずれてる気がするけど・・・。x\)の極大点・極小点よりもx軸の正の方向に少しずれた位置にあるんだ!例えば極大点について考えてみよう。\frac{π}{2}\)のときに\(y=x\)上の点を通り、\(x=π\)のときに\(y=0\)を通るんだったね。\frac{π}{2}\)より少し\(x\)軸の正の方向にならざるを得ないんだ。x\)のグラフの一部が\(y=x\)のグラフより上に出ちゃうからね。黒豆:おお、確かに・・・!!こういう細かいことも予測できちゃうんだね。x\)のグラフの概形は\(0≦x≦2π\)の範囲で以下のようになると考えられるね。x\)と同じ\(2π\)周期で振動しているようなグラフになるんだね~。ちなみに\(0≦x≦2π\)以外の範囲のグラフの形も簡単に予測できるよ。x\)という奇関数(原点に対して点対称な関数)同士の積だよね。x\)は偶関数(y軸に対して線対象な関数)になる。x\)のグラフの周期は\(2π\)で変わらないけど、\(y=x\)と\(y=-x\)のグラフは原点から離れるにつれて上下方向に広がるよね。x\)のグラフは原点から離れるに従ってよりシャープな形で振動するはずだ。x\)の全体像がよく分かるね!のた:そうだね。ここまで描いた上で、細かい部分、例えば\(0≦x≦π/2\)部分がどうカーブしているのかなどを知りたい場合は微分してみるといいね。x\))をグラフ描画サービスで正確に描画してみたよ。x\)と同じように予測することが可能だよ。予測結果はこんな感じになるね。x\)の場合の\(y=x\)が\(y=x^2\)に置き換わっただけだから、\(y=x^2\)と\(y=-x^2\)の間を周期\(2π\)で振動してるグラフってことになるんだね。x\)は偶関数と奇関数の積で奇関数になるってことくらいかな。x\)のグラフの概形はどれも同じように予測することができるんだ。黒豆:一般化が可能ってことだね!のた:その通り!具体的には以下の手順で描くことができるよ。x\)のグラフを伸縮させながら描く手順2のグラフを\(0≦x≦2π\)以外の範囲に拡張する。x\)のグラフの予測過程を一度自分で考えた後だから、上の手順も納得できるね~!のた:そうでしょ。最初に自分で具体例を考えてみてから、それを一般化できるか考える方が頭に残るよね。x\)の場合について説明したけど、他の場合でも「基本的な関数のグラフの形が正確に分かっていれば、それらの関数の積や和のグラフの概形をある程度予測することができる」ことはあるよ。色々な関数に関して、どこまでグラフの概形を予測することができるか自分で試してみるのも面白いね。notalaboのたらぼ。notalaboのたらぼ。メモリがなくてもグラフを正確に描くには??sin\(x\)を例に、面白く...ヒモ付きヘリウム風船のヒモに着目!ヒモが付いている場合の力のつり合いを微...のた大学・大学院で物理を専攻してきたアラサー男子。初対面の人からは大抵苦手と思われちゃうタイプ。