property)を満たす。Yが一意に存在して、次の図を可換にする。φ)が「過度に一般的ではない」事を表している。上述の定義で全ての射を逆向きにすることで、圏論的な双対を考えることができる。φ)で表され、かつ以下の普遍性を満たす。一意に存在して、次の図を可換にする。property)と呼ぶ場合もある事に注意されたい。どちらがどちらかはその人次第である。数量を定義することがその存在を保障することにはならない。X)の普遍射は、存在するかもしれないし、存在しないかもしれない。存在すれば、一意な同型射を除いて一意的である。置き換えることで容易に確かめられる。普遍射の定義は様々な方法で置き換えることができる。このとき、以下は全て同値である。これらと双対な以下の定義もまたそれぞれに同値である。