与えられた円に、与えられた三角形と等角な三角形を外接させること。περιγράψαι.与えられた円に、与えられた三角形と等角な三角形を外接させること。ABCを与えられた円、DEFを与えられた三角形とする。三角形DEFに等角な三角形を円ABCに外接させることが求められている。EFを両方向へ点GとHまで延長する。円ABCの中心をKとする[命題III-1]。KBを円周と交わるように引く。角BKAは角DEGと、角BKCは角DFHとそれぞれ等しくなるように点KからKB上に作図する[命題I-23]。LAM、MBN、NCLをそれぞれA、B、Cにおいて円ABCに接するように引く。LM、MN、NLは円ABCに点A、B、Cで接しており、中心Kから点A、B、Cへ引かれたKA、KB、KCは点A、B、Cで垂直に接線に交わっている[命題III-18]。四辺形は二つの三角形に分割できるから、四辺形AMBKの四角の和は四直角である[命題I-32]。角KAMとKBMは直角であるから、残りのAKBとAMBの和は二直角である。DEGとDEFの和も二直角である[命題I-13]。したがって、AKBとAMBの和はDEGとDEFの和に等しい。AKBはDEGに等しいから、残りのAMBはDEFに等しい。同じようにして、LNBがDFEに等しいことを示すことができるので、残りのMLNもEDFに等しい[命題I-32]。よって、三角形LMNは三角形DEFと等角で、円ABCに外接している。ゆえに、与えられた円に、与えられた三角形と等角な三角形を外接させることができた。これが求められていたことであった。