円において、同じ弧を底とする中心角は円周角の二倍である。γωνίαι.円において、同じ弧を底とする中心角は円周角の二倍である。ABCを円、BECを中心角、BACを円周角とする。これらは同じ弧BCを底にしている。このとき、角BECは角BACの二倍であると主張する。AEを結び、Fまで延長する。EAはEBに等しいから、角EABと角EBAは等しい[命題I-5]。したがって、角EABとEBAの和はEABの二倍である。BEFはEABとEBAの和に等しいから[命題I-32]、BEFはまたEABの二倍である。同じ理由で、FECもEACの二倍になる。したがって、それらを合わせるとBECはBACの二倍になる。別の円周角BDCがあったとき、DEを結び、Gまで延長する。同じようにして、角GECがEDCの二倍であり、GEBがEDBの二倍であることを示すことができる。したがって、それらの差をとった残りのBECはBDCの二倍である。ゆえに、円において、同じ弧を底とする中心角は円周角の二倍である。これが証明すべきことであった。