一つの直線が二つの直線と交わっていて、それらが作る同位角が等しいとき、あるいは内角の和が二直角に等しいとき、その二つの直線は平行である。εὐθεῖαι.一つの直線が二つの直線と交わっていて、それらが作る同位角が等しいとき、あるいは内角の和が二直角に等しいとき、その二つの直線は平行である。直線EFが直線ABとCDと交わっており、同位角EGBとGHDが等しいとき、あるいは内角BGHとGHDの和が二直角であるとき、ABとCDが平行であると主張する。前者の場合、EGBはGHDに等しい。ここでEGBはAGHとも等しいから[命題I-15]、AGHはGHDに等しい。これらは錯角であるから、ABはCDと平行である[命題I-27]。後者の場合、BGHとGHDの和は二直角に等しい。ここでAGHとBGHの和は二直角に等しいから[命題I-13]、AGHとBGHの和はBGHとGHDの和に等しく、両方からBGHを引くことによって、残ったAGHとGHDが等しいことがわかる。これらは錯角であるから、ABはCDと平行である[命題I-27]。ゆえに、一つの直線が二つの直線と交わっていて、それらが作る同位角が等しいとき、あるいは内角の和が二直角に等しいとき、その二つの直線は平行である。これが証明すべきことであった。