基点を持つ多くの代数系では、構造は等質性をもち、それゆえにこの第二の定義による核は第一の定義における核の定める同値関係と同じ関係を定義する。核が第二の定義の意味で自明であれば第一の定義の意味でも自明であり、核が自明な準同型は単射となる。このような意味で、第二の定義は第一の定義の特別な場合である、あるいは逆に第二の定義の一般化として第一の定義があるということができる。第一の定義においてはそれが同値関係を定めること、第二の定義においてはそれが始域や終域におけると同様の構造をもつ集合であること、がそれぞれに扱いやすい特性を示している。f(g)=e_{H}\}}となる。部分群、とくに正規部分群になることが確かめられる。なるとき、かつそのときに限るものと定義する。部分群ゆえ同値関係を与える。f(g_{1})=f(g_{2})\}}の定める関係と同じものであることが確かめられる。定める関係としても自明である。f(r)=0_{S}\}}となる。環を加法についてみれば可換群であるから、群準同型について述べたことは加法についてはそのまま通用する。単射であることとは同値である。