直線が円に接し、接点から円の内部に弦が引かれているとき、その弦が接線となす角は対向する切片内の角に等しい。γωνίαις.直線が円に接し、接点から円の内部に弦が引かれているとき、その弦が接線となす角は対向する切片内の角に等しい。直線EFが円ABCDに点Bで接し、弦BDが点Bから円ABCDの内部へ引かれているとする。このとき、BDがEFとなす角は対向する切片内の角に等しいと主張する。角FBDは切片BAD内の角に等しく、角EBDは切片DCB内の角に等しい。BAをBからEFに垂直に立てる[命題I-11]。点Cを弧BD上の任意の点とする。AD、DC、CBを結ぶ。直線EFは点Bで円ABCDに接しているから、BAは接点から接線に対して垂直であり、円ABCDの中心はBA上にある[命題III-19]。したがって、BAは円ABCDの直径であり、半円内の角ADBは直角であり、[命題III-31]、三角形ADBの残りの角BADとABDの和は直角である[命題I-32]。ABFも直角であるから、ABFはBADとABDの和に等しい。両方からABDを取り去った残りの角DBFは対向する切片内の角BADに等しい。ABCDは円に内接する四辺形であるから、その対角との和は二直角に等しい[命題III-22]。DBFとDBEの和も二直角に等しい[命題I-13]。したがって、DBFとDBEの和はBADとBCDの和に等しく、BADはDBFに等しいから、残りの角DBEは対向する切片DCB内の角DCBに等しい。ゆえに、直線が円に接し、接点から円の内部に弦が引かれているとき、その弦が接線となす角は対向する切片内の角に等しい。これが証明すべきことであった。