与えられた直線角を一つの角とし、与えられた三角形と同じ面積をもつ平行四辺形を作図すること。εὐθυγράμμῳ.与えられた直線角を一つの角とし、与えられた三角形と同じ面積をもつ平行四辺形を作図すること。ABCを与えられた三角形、Dを与えられた直線角とする。三角形ABCと同じ面積をもち、直線角Dを一つの角とする平行四辺形を作図することが求められている。BCを二等分する点をEとし[命題I-10]、AEを結ぶ。EC上のEから角Dに等しい角CEFを作図する[命題I-23]。AからECに平行な直線AGを引く[命題I-31]。CGをCからEFと平行になるように引く[命題I-31]。FECGは平行四辺形でBEとECは等しいから、三角形ABEの面積はAECの面積に等しい。底辺BEとECが等しく、同じ平行線BCとAGに挟まれているからである[命題I-38]。したがって、三角形ABCの面積は、三角形AECの面積の二倍である。平行四辺形FECGもまた、三角形AECの面積の二倍である。底辺を共有し、同じ平行線に挟まれているからである[命題I-41]。したがって、平行四辺形FECGの面積と三角形ABCの面積は等しく、角CEFは角Dに等しい。ゆえに、平行四辺形FECGは与えられた三角形ABCと同じ面積をもち、角CEFは角Dに等しい。これが求められていたことであった。