解説\((x,y)\)は、座標平面上の点を表すものであるから、\(x\)と\(y\)は実数である。したがって、与えられた方程式は、次のように\(y\)に関する方程式と見ると、実解を持つ。\[3y^2+(4x+5)y+2x^2+4x-4=0\]したがって、この方程式に対し、判別式は、次のようになる。0\]この不等式を解くと、以下のようになる。注これが答で良いのか、違和感を持つ人も多いだろう。\(x\)がこの範囲外にあるとき、\(y\)は、実数でない。他方、\(x\)がこの範囲内にあるとき、方程式を満たす実数の組\((x,y)\)が存在する。直線CDまず、直線CDの方程式を求める。直線ACの傾きは、以下の式で表される。}\]したがって、次のようになる。\]直線CDの傾きは、次の式で表される。}\]したがって、直線CDは、次の方程式で表される。直線ABの方程式は、次のものである。\)座標は、以下の方程式の解である。\]これを解くと、次のようになる。2t:1-t\)に内分する。よって、次のようになる。したがって、相加・相乗平均の不等式から、次のようになる。}\)この等号が成立するのは、次の場合である。したがって、求める値は、次のものである。試しに球を動かしてみて、規則を発見する。数回目と奇数回目で場合分けできることが分かる。求める確率を\(q_n\)とする。Qの左に2つ目の部屋をRとする。次のようになる\(n\)が奇数のときP、Q、R以外の部屋にある。\(n\)が偶数のときP、Q、Rにある。このことを数学的帰納法によって証明する。\(k\)を\(1\)以上の奇数とする。\(n=1\)のとき、球は、Pの隣の部屋にあるから、\(P,Q,R\)以外の部屋にある。\(n=k\)のとき、球がP、Q、R以外の部屋にあるものとする。\(n=k+1\)のとき、球は、P、Q、Rにある。P、Q、Rのとき、球は、\(P,Q,R\)以外の部屋にある。したがって、上記の命題は、真であると証明された。\(n\)が奇数であるとき\(n\)が奇数のとき、\(q_n=0\)となる。\(n\)が偶数であるとき\(n\)を\(0\)以上の偶数とする。数列\(q_n\)に関する漸化式を求め、それを解くこととする。球が\(n\)秒後にPにある確率は、\(1-2q_n\)である。したがって、次のようになる。\]まとめよって、求める確率は、次のようになる。\(n\)が奇数であるならば、\(0\)である。第4問(1)点\((s,t)\)を通る傾き\(m\)(実数)の直線は、次の方程式で表される。\[y=m(x-s)+t\]これが放物線Cに接するとき、以下の方程式は、重解を持つ。x^2-mx+ms-t+1=0\]したがって、判別式は、次のようになる。\[m^2-4sm+4t-1=0\]\(m\)についてこれを解く。2\sqrt{s^2-t+1}\]よって、求める方程式は、次のようになる。\sqrt{s^2-t+1}\)である。これの小さい方を\(p\),大きい方を\(q\)とする。問題の面積は、以下の通りとなる。\frac{2}{3}(s^2-t+1)^{\frac{3}{2}}\]したがって、\(t\)は、次のように表される。したがって、\(s,t\)は存在しない。\frac{2}{3}\)のとき、次のようになる。郡山市若葉町お申込みメニュ。