小学生の算数教育において、掛け算の順序が論争になっているということを最近知りました。どのような論争かというとウサギには耳が2つあります。←この答えには×をつけるこのような教育方針が是か非か?という論争です。不正解扱いにする教師が存在するということが問題になっています。不思議ですよね?私は最初この指導方法の目的がわかりませんでした。このような教育が行われているのでしょうか?順序が重要?教科書では小学生に掛け算を教える場合に以下のように教えます。3という順番の数式こそがこの教育方針に合致する「正しい順番の数式」と言うことになります。2となってしまい、教師の教え方と逆の計算順序になってしまいます。2という解答は教師が教えたことを正しく理解していない誤った解答ということになります。教育上の方便もちろんこの指導方法は、なんの理由もなく行われているわけではありません。教師は固定の順番で計算した掛け算のみが正しいという指導方法を必要とするのでしょうか?そこには「重要なのは数学の真理ではなく、教育上有効であるか否かである」という意見があるようです。掛け算の順序を生徒に強要することが、実は掛け算を小学生に教える指導方法としては有効であり効果的であるという主張です。本当に有効であるならば、私はこの意見には一考する価値があると思います。仮に一時的に生徒に嘘をつくことになったとしても、結果として算数の学習効果を高められるのであれば、方便としてそのような教育方針を採用するのは価値があると言えるからです。掛け算の順序を強要する教育方針が是か非か?という命題は、それが価値のある方便と言えるのか?という命題に置き換えることができそうです。続けてそれについて考えたいと思います。小学生が算数の文章問題を解くには、与えられた問題の文面を正しく理解して数式に置き換える必要があります。3という数式に置き換える能力は重要です。いう順番で数字を掛け合わせたのでは、単に問題文に出てきた順番で数字を掛けあわせているだけであり、問題の文面を正しく数式に置き換えたとは言えない。従って不正解にするべきというのが順序固定派の考えのようです。驚くには値しませんが、小学校のテストでは生徒をひっかけるために「1つぶん」に相当する数と「いくつぶん」に相当する数の文章の中で登場する順番を入れ替えた問題さえ出すそうです。ぜんぶの数はいずれも正しい式であり、前者を推奨して後者を禁止するのは順序固定派が勝手に作ったルールであるにすぎません。6としても文面を式に置き換えられなかったとは言えず、むしろ隠れた公式を見つけるほどの高度な能力を備えている優秀な生徒であるとも言えそうです。固定派はそこまでして計算順序を固定したいのでしょうか?順序固定派が抱いている危惧その背景には、順序固定派が抱いている危惧があります。掛け算を覚える前の、足し算と引き算しかできない小学生に以下の問題を出したとします。カメが2匹いるとき、足はぜんぶでなん本でしょう?掛け算を覚える前ですから、足し算を正しく理解している生徒ならば以下の数式を立てるはずです。6という誤った数式を立ててしまうそうです。彼らは問題文を正しく解釈して数式を立てているわけではなく、問題文に出てきた順番で数字を単に+記号でつないだだけなのです。いう数式を立てるかもしれません。掛け算の場合では、偶然にも結果としてこれは正解してしまいます。次に教わるのは割り算です。割り算の場合には計算の順番は重要です。割る数という計算順序を厳密に守る必要があります。それまで足し算や掛け算を「数字を文章に登場する順番で計算記号で連結すれば良い」と誤って理解していた生徒には正しい数式を立てることができません。先ほどの生徒が割り算で以下の問題に出会ったとします。カメの足が全部で8本あるときに、亀はぜんぶで何匹でしょう?しかし今度も彼がこれまで行ってきたのと同じように問題文に登場した順番で数字を÷記号で連結してしまうと「4÷8」という式になってしまいます。このようにして実際に多くの生徒が割り算を教わる時期に算数の勉強を挫折してしまうようなのです。ぜんぶの数という数式です。深い考えもないまま問題文に登場する数字を順番通りに×記号で連結させるのではなく、どの数字が1つぶんの数であり、どの数字がいくつぶんの数なのかを考えさせるというステップを間に挟み、それから数式を立てさせるのです。耳6つという式になるはずです。ウサギの耳が「1つぶんの数」、何羽いるかが「いくつ分」ということになります。2という数式を考えた生徒は問題文に登場した数字を単純に×記号で連結しているだけかもしれないと推察することができるようになります。この指導方法ならば、教師は「誤った数式」を立てた生徒が本当に掛け算を理解しているのかを見直すことができるようになり、もし正しく理解していなかった場合は再指導することができるようになるのです。ぜんぶの数という式であっても良いはずです。掛け算では交換法則が成り立つので、○x□でも□x○でも同じ結果が得られるからです。数式を立てる前に「1つぶんの数」と「いくつ分」を考えるステップをはさみたいということと掛け算の順序を固定させたいということの間には、実は本質的な関連性は無いのです。掛け算の計算順序を固定し、一つの計算順序のみを教科書に載せて逆の計算順序は教科書に載せない理由として、混乱防止論があります。数学上では○x□=□x○という交換法則が成り立ちます。教育の初期の段階でそれを教える必要は無く、頭の悪い生徒はむしろ混乱してしまう可能性があります。交換法則を教えることはむしろ学習妨害であり避けなければならない、という論理です。ここまでの整理ここまでを整理すると以下のようになります。問題文に登場する数字を単に×記号で連結するのではなく、正しく数式を立てられる能力を養いたいそれには掛け算の式を立てる前に、何が「1つぶんの数」で何が「いくつ分」かを考えさせるステップを挟むのが良さそうだ「1つぶんの数」x「いくつ分」を逆の順番で計算しても数式としては正しいが、それを教えると頭の悪い生徒は混乱してしまうしたがって教育の初期の段階にあっては混乱を防止するために掛け算の計算順序は固定したほうが良さそうだもし教科書で教えた順番とは別な順番で計算している生徒がいたならば、彼は論理的に正しく計算式を立てたわけではなく、問題文に登場した数字を単に×記号で連結しているだけかもしれない。この指導方法は、計算のイメージを立ててから立式するという算数の訓練になると同時に、掛け算を正しく理解していない生徒を教師が見つけやすくなるという意味においても効果が期待できそうだこれがどうやら掛け算の順序を固定する理由の真相に近いように思われます。順序固定派の、他に注目すべき意見としては、係数と変数の関係を生徒に正しく理解させたいという主張があります。変数とはその名のとおり変わる数、係数とは変数に掛かっている数のことです。ウサギが3びきいます。ウサギには耳が2つあります。3羽という事になります。耳の数の合計という式の変数に代入する数字を変えてやりさえすれば、ウサギが7羽になっても19羽になっても正しい答えを求めることができます。数学においては、係数は左、変数は右に書くことが一般的です。"2a"という記述は数式に良く登場しますが"a2"という記述は特別な理由(その方が計算しやすい、など)が無い限りは登場しません。したがって、係数を左、変数を右とする指導は重要だという考え方です。現実の生活でも、係数は左、変数は右という例は散見されます。1000円と書かれていることは稀です。英語や中国語の文化圏では言語的に変数が最初、係数が後という記述方法も一般的なようです。それに対する順序固定派の反論としては「自身の文化圏に馴染んだ教育方法が妥当」というものがあるようです。順序を固定するべきか?ここまで、順序固定派の主張を分析してきましたが、ここからは反対派の意見を分析したいと思います。反対派の意見には、大きく以下のようなものがあるようです。掛け算の交換法則に反する1つぶんの数を決めつけるのはよくない順序では文章題の意味を理解しているかを判別できない多面的にものを見る力や論理的に考える力を育てることにマイナスまず、最も多い反論が「掛け算の交換法則に反してしまう」という意見です。掛け算では○x□=□x○が成り立ち、これは数学の最も基本的な定理です。計算順序の固定を強要してしまうと数学の常識と矛盾する「迷信」を子供に教えてしまうことになるという指摘です。2つ目に多い反論が「1つぶんの数を決め付けることはよくない」という意見です。最初のウサギの計算では以下のような式を紹介しました。3ここでは「耳2つ」を1つ分の数としているのですが、以下のような考えもできるはずです。2この考えでは「ウサギ3匹に耳を1つ」が1つ分の数として扱われています。これは「トランプ配り」と呼ばれる配布法で、ウサギの耳をまるでトランプのカードのように各ウサギに配布しているイメージになりますが、掛け算としてはこの考え方でも全く問題はありません。他には「順序では文章題の意味を理解しているか判別できない」という意見があります。これについてはこちらのURL(http://blogs.itmedia.co.jp/magic/2011/12/6886-2d5b.html)に、印象的なエピソードが書かれていたので引用して紹介します。「じゃあ・・ウサギには2本の耳がある。「ずつ、が入ってないからどっちが先か分かんない。「ずつ」がある方を先に書く、と覚えている訳です。ここで書かれている少女は「ずつ」の有無で「1つぶんの数」か否かを判断しており、「1つぶんの数」の正しい概念を理解しているわけではないことになります。正直に言えば、私も多くの方と同様、一番最初にこの話を目にしたときは強い戸惑いを覚えました。その気持ちを率直に表現すると「これはカルト宗教的教育ではないか?」という印象を持ったほどです。順序固定派が持つ問題意識をよくよく分析してみると、それは決してカルト宗教的な動機によるものではなく、彼らなりの危機意識を背景とした一つの教育法ではないかと思えてきました。それに、掛け算の順序が自由であっても固定であっても、その指導方法の背後に「小学生に算数の力をつけさせてあげたい!」という教師の真摯な思いがあるのであれば、結局は同じゴールに辿り付くのではないか?そう思えたのです。残念ながら現実はそう美しくは無いように思えます。手段の目的化ここで注目すべきなのは、順序固定派の中に、以下のような意見があることです。授業や教科書では順序に注目して問題を解くように指導している。したがって、その方針に反した解答は問題の前提に反しており、不正解として良い。○x□でも□x○でも正しいというのは数学の定理ですが、社会ではたとえ自分が納得できないことであってもルールに従う必要があります。それにも関わらず教師が教えた順番を守らないというのはルールに反しているので不正解とすべきという意見です。注目すべき点は、順序を固定するというのはあくまで教育の「方便」に過ぎなかったはずなのに、この意見ではいつの間にかその方便が守るべき「目的」にすり替わっていることです。このような事態が発生してしまうのでしょうか?大きな問題として、算数の教科書が順序固定で記述されており、現場教員向けのマニュアルにも特定の順序で表される式のみが正しいと書かれている場合があるため、その指導方針に盲目的に従う教師が発生していることがあります。盲目的に従う教師は、教科書に適合しない答えを不正解とします。この指導方法に否定的な教師であっても、盲目的な教師が採点するテストで生徒が不正解になるのを避けるために、仕方がなくこの指導方法で掛け算を教えてしまいます。その結果、教師自身に深い教育的考慮がなく、単にルール違反という理由で生徒に不正解を与えてしまい、その生徒は不正解の理由を理解していないままとなってしまう。いうケースが発生してしまうようなのです。問題文に登場する数字を単に計算記号で連結するのではなく、どのように計算すべきなのかを考えさせてから式を立てさせたい。その動機には私も異論がありません。問題は生徒の自由な発想を単に阻害するかのような教育が行われていることです。横浜市のサイト(http://cgi.city.yokohama.jp/shimin/kouchou/search/data/25003016.html)にこの問題に関連するQAが記載されていましたので、以下に引用します。<投稿要旨>子供が宿題でやっていた問題が変です。5x2はどちらでしょう?正しい方に○をつけましょう。1)花瓶が2つにそれぞれ花が5本ずつ2)花瓶が5つにそれぞれ花が2本ずつこれはどちらも○です。どちらかを選べとしているのです。40年50年も論争が続いているかけ算に順番があるのかという問題を、未だに誤った教え方で子供に植え込まないでください。<回答>御指摘のとおり、計算の仕方及び答えは、5×2でも2×5でも10ですので、どちらでも構いません。かけ算は、同じ大きさのものがいくつかあるとき、その全体の大きさを求める計算で、同じ数を何回も加えるたし算(累加)の簡潔な表現として用いられるものです。2+2+2+2+2となります。2×5となり、式が異なってきます。小学校では、計算の答えを求めるだけでなく、式の意味を考えることも大切な学習内容となっています。教育委員会といたしましては、国が定めた学習指導要領に基づいて各学校が授業を行うよう指導しておりますので、御理解のほどお願いいたします。横浜市は小学生に5x2は「花瓶が2つにそれぞれ花が5本ずつ」と考えなければならないことを強要しています。私はここまでに順序固定派の意見をある程度擁護してきましたが、私が擁護するのは以下のような教育プロセスです。「1つぶん」x「いくつ分」の式にしてみようつまり生徒が何が1つぶん、何がいくつぶんかを考えて、順序を固定した式を立てさせる。ここまでは多くの人も許容できるのではないでしょうか?けれども、上の横浜市の教育方針はこれとは似て非なるものです。式を正しくイメージすることを目的とするのではなく、「どのように発想すべきか」を強要することを目的としています。2と表現することには、私も違和感は感じません。2を「花瓶が5つにそれぞれ花が2本ずつ」と発想しては「いけない理由」を、私は全く思いつきません。ただの方便であったはずの掛け算の順序固定という教育手段がいつの間にか目的化してしまった一つの例だと言えるでしょう。大工道具の「ノコギリ」は木を切ることが出来る道具です。ノコギリで木を切ること自体は本来の「目的」ではありません。ノコギリを使う本当の目的は家を建てることであったり、椅子や机を作ることにあるはずです。ノコギリは家や椅子、机を作るための「手段」にすぎません。ノコギリよりも便利な道具があるのであればそちらを使っても良いし、レンガ造りの家を建てたいのであればそもそもノコギリを使う必要もないわけです。本来「手段」に過ぎなかったノコギリなのに、ノコギリを使うこと自体を「目的」だと勘違いしてしまい、むやみやたらに木を切ってしまったら、せっかく出来かけていた家を崩してしまうことにもなりかねません。私が違和感を感じるのは、この例え話の「ノコギリ」に過ぎなかった「掛け算の順番を固定する」という「教育手段」が、あたかも「掛け算の順番を固定することこそが目的である」と誤解されているように感じられるからです。本来掛け算には守らねばならないような計算順序はなく、国によっては両方の順番を教える所もあれば、逆の順番で教えている国もあるようです。いくつ分」で計算順序を固定しているのは「最初はとりあえず順序を固定したほうが掛け算の理解を促進できるであろう」という期待を伴った「手段」であるにすぎません。掛け算で交換法則がなりたつのは、理解の早い子供であれば九九を学習している段階で理解することでもあります。そのように掛け算を正しく理解して使いこなしている生徒に対して「掛け算の順序を守りなさい」とばかりに「とりあえずそうしている」にすぎないルールを強要してしまっては、彼に無用な混乱を与えしまうことになるでしょう。「手段」と「目的」を混同してしまった結果、誤った「目的」を達成するための「テクニック」が小学生に指導されているようです。上の記事で「ずつ」の言葉の有無で、数式の先頭に書く数字を決めている女の子を紹介しました。「じゃあ・・ウサギには2本の耳がある。「ずつ、が入ってないからどっちが先か分かんない。実は、小学校では以下のような指導が行われているようです。「ずつ」がつく数を先に書きなさい上記の女の子は、この指導にしたがって問題文のなかから「ずつ」という言葉を捜し、見つからなかったので「わからない」と答えたわけです。似たような指導で、「ずつ」を「答えと同じ単位」に置き換えて指導する場合もあります。ウサギの耳を求める式ならば、答えは「何本」という表現になるため、「本」を先とします。2本という数式を立てたのであれば、答えの単位ではない「羽」を先に書いたので×ということになります。これらはいずれも教師が期待する「1つぶんの数」を数式の先頭に書かせるためのテクニックとして広く流布されている方法です。このような指導が行われるようになった元々の背景には以下のような経緯があったと思われます問題文に登場する数字を機械的に×記号で連結するのではなく、頭でイメージさせてから式を立てさせたい。「ひとつ分の数」を先に書くという指導方法を採用した。問題文の中から「ずつ」や「答えの単位」を探し、それを数式の先頭に書くように指導するという、当初の理念とは似て非なる「テストで◯をもらうためのテクニックを教える指導」が生まれてしまったように思えます。形骸化された「"ずつ"を探す」というテクニックだけが生徒に伝わり、生徒は深い考えもないまま機械的に問題文の中から「ずつ」という言葉を探すようになってしまっている。してそうしなければならないかも理解していない・・・というのが現在の教育現場の現実なのではないでしょうか。算数嫌いを招くのでは?私が最も危惧するのは、この教育方法が生徒の算数嫌いを招くのではないか?ということです。2を「花瓶が5つにそれぞれ花が2本ずつ」と考えても、何も問題が無い。かかわらず、テストで生徒は不正解をもらうことになります。