級数に和の値が結び付けられているとき、しばしば便宜的に「級数の和の値」の意味で「級数」という言葉を用いることがある(和の値を単に和と呼ぶことがあるのと同様である)。これらは厳密に言えば異なる概念であるが、いずれの意味であるのかは文脈から明らかなはずである。}という級数の値という意味である。いう値がこの数列の項としては現われない。捉えているものと解釈することができる。現れるはずだ(から等しくは無い)ということになる。級数の収束性[編集]自然数によって項が添字づけられている場合には絶対収束と条件収束とのふたつの収束性の概念を定義することができる。最初の有限個の項の絶対値をそれぞれ足して得られる数の列がコーシー列になっているようなとき、およびそのときに限り絶対収束が成り立っている。収束していると言われる。)}絶対収束している級数は条件収束している。「絶対収束でない収束」の意味で単に「条件収束」と呼ぶことがある。条件収束級数の和の値は一般に数列の項の並びに依存して決まる。絶対収束級数は無条件収束する。無条件収束でない(実数項の)収束級数は、適当な置換を選んで並べ替えることにより、任意の(実数)値に収束または発散させることができる。関しても以下のように収束性の概念を定めることができる。絶対収束していると言われる。各項が実数で正の級数を正項級数という。正項級数は有限項までの和が常にある一定の上界Mを持つならば収束する。(これはもちろん絶対収束する級数でもある)。条件を弱めて各項を非負としても良い。各項が実で符号が毎回反転する級数を交代級数という。交代級数は項が0に収束するならば収束する。収束するならば収束する。絶対収束し、逆にこの量が1より大きければ発散する。連続する項の比の絶対値が1より小さな極限を持つ級数は絶対収束し、逆に1より大きな極限を持つ級数は発散する。優級数が収束するならば劣級数は絶対収束する。(対偶により)劣級数が発散すれば優級数も発散する。)などでは欠かすことのできない手順である[2]。交代級数の打切り誤差(剰余項)[編集]ライプニッツの収束判定法が適用できるとき、打切り誤差(剰余項)を厳密に評価できる[1][3]。この技法はベッセル関数にも適用できる[4]。_{m=0}^{n}a_{m}}とする。{a_{n+1}^{2}}{a_{n+1}-a_{n+2}}}}と評価できる[5]。テイラー級数の打切り誤差(剰余項)[編集]テイラーの定理はテイラー級数の打切り誤差(剰余項)を与える定理である[1][3]。数学関数の精度保証付き数値計算で重宝する[2]。知られている[6][7][8]。(b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}の打切り誤差(剰余項)を評価することができる[9]。級数の例[編集]以下に重要な級数の例を挙げる。等比級数(幾何級数)は収束する級数の典型的な例である。冪級数は各項を単項式とする級数である。アーベルの定理は、数列級数の収束と、その母関数である正則関数の値の収束値との間の関係を与えている。ローラン級数は単項式の次数として負の自然数を許した二方向への無限和であり、自然数と異なる添字集合によって項が与えられる例になっている。テイラー級数は滑らかな関数の、冪級数としての表現を与えている。フーリエ級数は各項を三角関数とする級数による関数の表示を与えている。調和級数はよく知られた収束しない級数の例である。調和級数が発散する現象はオイラーによる素数の無限性の証明にも利用されている。ディリクレ級数は調和級数型の級数を特殊値とするような、各項が特定の指数関数からなる級数である。