_{n=0}^{N}f_{n}(x)}の極限は数列の和の意味での級数である。上で各点収束するという。(各点収束の意味での)極限関数という。連続関数の一様収束極限はふたたび連続であるから、連続関数を項に持つ関数項級数の一様収束極限もやはり連続関数となる。_{E}f_{n}(x)\,dx}である。滑らかな関数を項に持つ関数項級数の一様収束極限に対する項別微分可能性も同様である。収束冪級数の収束はその収束域において一様で、各項の冪関数は可積分かつ連続的微分可能であるから、収束冪級数は項別積分可能かつ項別微分可能であり、その原始関数および導関数はもとの冪級数と同じ収束域もつ冪級数として得られる。関数列の収束性と同じく、関数項級数の他の収束性として分布収束(法則収束)や平均収束なども考えることができる。歴史[編集]古代ギリシャでは、幾何級数にもとづく取り尽くし法によって四角錐の体積(エウドクサス)、放物線と直線で囲まれた部分の面積(アルキメデス)などを求める方法が開発された[11]。関数を級数によって表す方法論は、14世紀インドのマーダヴァによる逆正接関数のテイラー級数の研究が知られているうちで最古のものである。マーダヴァは同時にこの級数の収束する条件についても述べているが、これは収束性の議論という意味でも初めての研究になっている[12]。条件収束の概念は1823年のポアソンの研究に初めて現れる。テイラー級数の一般論はブルック・テイラーによって1715年に発表された。フーリエ級数は1822年のフーリエの研究に、ディリクレ級数は1839年のディリクレの研究ではじめて定義された[12]。x+y+z+...を表した)である。この記号はすぐには広まらなかった[13]。一般化[編集]漸近級数[編集]ある種の関数の漸近級数あるいは漸近展開とは、定義域内の点における部分和がその関数のよい近似を与えるような無限級数をいう。漸近級数は、一般には必ずしも収束しないが、近似列として見れば有効であり、任意の有限項で打ち切った和の値があるべき「真の値」に近いものを与える。真の値がそのまま得られる収束級数とは異なり、漸近級数を利用するにはきちんと誤差を評価する必要がある。事実として典型的な漸近級数では、ある程度多くの項を加えて初めて「最適」な近似が得られるようになり、また一方で加える項の数が多くなりすぎると近似の精度が悪くなるという特徴が見られる。「通常の意味」での和が収束しないような級数に対して、何らかの意味で和と呼ぶにふさわしい極限値を割り当てることができるというような状況はたくさんある。総和法はそのような、古典的な意味での収束の概念を完全に拡張して、発散級数全体の成す集合の特定の部分集合に対して値を割り当てる方法である。k)-総和法(k-次のチェザロ総和法)、アーベル総和法、ボレル総和法などがある。特徴付けるものである。ため計算などには向かない。位相代数系における級数[編集]級数の概念をバナッハ空間の元の列に対するものに拡張するのは容易である。一般に、任意の位相アーベル群(分離位相群を成す可換群)における収束級数の概念を定義することができる。収束することを以って定める。対する和を定義することもできる。通常の級数の概念に対して、大きく二つの異なる一般化の方向性があり、ひとつは添字集合に特定の順序が定められていない場合であり、もうひとつは添字集合が非可算無限集合となる場合である。]}によって定義することができる。