埋め込みは一意ではなく、それぞれの埋め込みごとにその無限遠点となる点は変わってくる。なる形の点が無限遠点と見なされる。それ自身への可逆な写像であって、直線を直線に写すものをいう。y=Mx}と書くことができる。二つの行列が同じ射影変換を定めるのは、一方が他方の定数倍であるときに限る。従って、射影変換全体の成す群は一般線型群の剰余群である。高次元化[編集]いくつか線型代数学的な定義を挙げたが、いずれもより高次元の場合に拡張するのは容易である。原点を通る平面に対応する。射影空間の概念はさらにグラスマン空間の概念へ一般化することができる。呼ばれる以下のような性質を持つ関係を備えるものである。任意の異なる二点に対し、それらを接続する直線がただ一つ存在する。任意の異なる二直線に対し、それらのいずれとも接続する点がただ一つ存在する。平面上の四点で、そのうちの二点よりも多くに接続するような直線は一つも存在しない、というものが存在する。条件2は平行線が存在しないことを意味する。条件3は退化する場合(後述)を除くためだけにある。性質[編集]射影平面においては、それが含む直線の数と点の数とが同じであることを示すことができる(有限でも無限でも)。呼ばれる整数である(有限幾何学も参照)。前節に述べたような線型代数学的定義から生じる射影平面はどれも、本節に言う組合せ論的な定義に基づく射影平面として記述することができる。射影平面を与えることができる。平面上の「点」は黒丸、平面上の「直線」は線分または円として示される。ファノ平面は二元体から生じる射影平面である。これは最小の射影平面で、わずか七つの点と七つの直線から成る。右図では、七つの「点」を小さな黒丸で表し、七つの「直線」は六本の線分と一つの円で表したものだが、射影平面の双対性により(点と直線とを互いに入れ替えたものもやはり射影平面となるから)、黒丸を「直線」、線分と円を「点」と思うこともできる。この七つの点に対して置換を施すと、共線点(同一直線上にある点)を共線点へ移す変換を引き起こす。このことを以って、ファノ平面は「対称」であるという。一般化された座標[編集]組合せ論的に定義される任意の射影平面に対して、平面三項環と呼ばれる座標「環」(ただし、本当に環となっているとは限らない)を対応させることができる。平面三項環は体または斜体になっている必要はなく、また斜体から構成することができない射影平面というものも多く存在する。そのような射影平面は非デザルグ的な射影平面と呼ばれ、未だ活発な研究の成されている研究対象である。この平面三項環が持つ代数的性質は、それに対応して平面が持つ幾何学的な接続関係の性質に読み替えることができる。デザルグの定理に対応するのは座標環が斜体から得られるということであり、またパップスの定理が対応するのは座標環が可換体から得られるということである。(たとえば八元数体のように)必ずしも結合的でない交代的な可除代数から得られるようなものにはムーファン平面が対応する。有限射影平面においてデザルグの定理がパップスの定理を含むという純粋に幾何学的な主張の、しかし唯一知られている証明は、斜体に成分を持つ座標をとってウェダーバーンの定理(有限可除環は必ず可換体である)を用いるという代数的な方法によってなされる(逆にパップスの定理がデザルグの定理を含むことは、(有限とは限らない)任意の射影平面において真であり、しかもこれは幾何学的に証明することができる)。有限体上の線型代数学的構成を用いて構成することができる。以下のようにしても構成できる。