Primzahlsatz)とは自然数の中に素数がどのくらいの「割合」で含まれているかを述べる定理である。整数論において素数が自然数の中にどのように分布しているのかという問題は基本的な関心事である。分布を数学的に証明することは極めて難しく、解明されていない部分が多い。この定理はその問題について重要な情報を与える。外部リンク歴史[編集]この定理は、18世紀末にカール・フリードリヒ・ガウスやアドリアン=マリ・ルジャンドルによって予想された(ガウス自身の言によればそれは1792年のガウス15歳のときである)。実際にはルジャンドルが初めて自身の著『数の理論』で公表し、少年ガウスがそれを知っていたことはガウスの死後の1863年に全集が出るまでは知られず、ガウス自身は素数定理については友人エンケに一度だけ手紙(1849年)で触れただけであった。その後パフヌティ・チェビシェフによる部分的な結果(1850年頃)や、ベルンハルト・リーマンによる新たな解析的方法が発表された[1]が、最終的には1896年にシャルル=ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン(フランス語版)とジャック・アダマールがそれぞれ独立に証明した。当初与えられた証明はゼータ関数と複素関数論を用いる高度なものであったが、1949年にアトル・セルバーグとポール・エルデシュは独立に初等的な証明を与えた。上に零点を持たないこと」との同値性がすでに確立されていたために、この初等的な証明は大きな驚きをもって迎えられた。定理の内容[編集]具体的には、この定理は次の式で表される。(x)}}=1}ということである。以下の素数の個数を表す。x)^{2}}}\right)}となる。ランダウの記号である。このことから、定理を次のように述べることもできる。近似できるということを意味する。こちらのほうが近似精度は少し悪くなるが計算上扱い易い。近似できることが分かる。小さくても比較的正確である(以下の表を参照)。2つの近似と比較している。以下における隣り合う素数の差の平均である。値はもともとリーマン予想を仮定して計算されたが[2]、その後無条件で証明された[3]。以下の自然数の個数を表す。この漸近公式はルジャンドルやペーター・グスタフ・ディリクレによって予想されていたが、これもド・ラ・ヴァレー・プーサンによって証明された。より、より初等的な証明が発見された。誤差評価[編集]より詳しくは、現今最良の近似の誤差は次の結果である(ヴィノグラードフの素数定理)。1901年にヘルゲ・フォン・コッホは、もしリーマン予想が正しければ次のように誤差評価を改善できることを証明した。x\right)}逆に、上記の評価式が成り立てばリーマン予想が成り立つことも知られている。x}が成り立っている。成り立つであろうと、ガウスやリーマンさえも予想していたが、これが正しくないことは1914年にジョン・エデンサー・リトルウッドが初めて示した。スキューズ数というが、具体的な値はほとんど分かっていない。大きくなるにつれて、無限に符号を変える。関する以下の公式を与えた。