†[定義]群Gと群G'が同型であるとは、同型写像f:G→G'が少なくとも1つ存在することである。[定理]G1とG2を共に群とする。この定理は当たり前に思えるが、そう単純ではない。同型写像f:G1→G2が少なくとも1つ存在するということである。同型写像g:G2→G1が少なくとも1つ存在するということである。この2つが明らかに同じこととはいえない。[証明の方針]同型写像f:G1→G2が少なくとも1つ存在することだから、このfを使って、同型写像g:G2→G1を1つ作ってしまえばよい。[証明][1]gが存在することを示すG2の元x2を任意に1つ取る。(x∈G1)の形に表されるので、次のように書ける(同型写像の3番目の条件)。x1≠x1'」は成り立たない。よって、x2=f(x1)を満たすG1の元x1は、(x2に対して)ただ1つしかないので、それをg(x2)を書く。これで、g:G2→G1が定義された。[2]後は、このgが同型写像であることを示せればよい。xSUB{1},y1∈G1と書ける。(∵fは準同型写像だから)よって、次が成り立つため、gは準同型写像である。(∵f(x2)=x1,f(y2)=y1)(�)G2の異なる元がgによって同じ元に移されることはないことを示すx2とy2がG2の元で、g(x2)=g(y2)となる。(x∈G2)の形に表されることを示すx1をG1の任意の元とすると、x2=f(x1)はG2の元で、g(x2)=x1となる。したがって、g:G1→G2は同型写像である。□2つの群が同型のとき、それらは群として同じ構造を持つ。群G1と群G2が同型であるとする。f:G1→G2を同型写像の1つとする。このとき、G1の元とG2の元とは1対1対応している。G1の元xはfによって、G2の元f(x)に移されるが、逆にG2の元f(x)から見て、G1の元でfによってf(x)に移されるものはxだけしかないから、f(x)にxを対応させることができる。G2の元はすべてf(x)の形(x∈G1)に表されるから、G1の元とG2の元とが1対1対応していることがわかる。[定理]群Gと群G'が同型ならば、|G|=|G'|である。[証明]群Gと群G'が同型ならば、Gの元とG'の元は1対1に対応する。元が1対1に対応するので、元の個数は一致する。『群論なんかこわくない。