思考のゴミ箱この広告は、90日以上更新していないブログに表示しています。2017-02-24放物線座標さすがに体重計のあれはふざけたので、ちゃんとしたことを書かないといけない気がしている。二月はコンスタントにアクセスが記録されているので、なんか真面目なことを書かないといけない義務感に襲われているのである。昔は良かった、アクセスがほとんど0だから好き勝手できた。(あんまりしてないけど)(とりあえずありがとうございます)Landauのセクション48に、放物線座標によってHamilton-Jacobiの方程式の変数分離できるバージョンを解いてみる、というコーナーがある。変換は、公式によって行われる。Landau先生は頭がいいのでこういうことをさらっと言及するのだが、放物線座標に馴染みのない自分は「why.」としか思わなかったわけである。大学図書館にあるベクトル解析の本の「曲線座標」の項目を漁っても、似たような言い回ししかしない。結局、自分で考えることになった。その日の力学の進捗を潰して考えた結果なぜこう変換するのかわかったので、めも。前者は、上に凸、下に凸のもの、合わせて2つの回転放物面を用意して、その二つの面の交点の集合を持ってくる。指定する、というやり方である。後者も説明しておこう。これは、z=constの平面内における放物面をz方向に重ねると放物柱ができる。これの上に凸、下に凸のものをそれぞれ持ってきて、交点の集合を持ってくる。最後に、zを指定してあげる、という方法である(と解釈した)。今回は回転放物面座標の話である。この時、数式は、eの値により変わるものの二次曲線を表す。(原点が焦点だったはず)この表式はケプラー問題で天体の軌跡を導出する際の積分の結果でもあるが、この積分の途中でみたいな表式が出てくるはずである。ここで積分のための変数変換(しなくてもいいんだろうが)を施すととなる。どちらをとってもいいはずである。逆余弦関数の定義域は-1以上1以下なので、適当な定数の元では大丈夫。(なはず)つまり、この積分からは、だけでなくも現れる。よって、この式の中で任意に動かすことのできるパラメータはpである。以上からという球座標から回転放物面座標への変換式が導出できた。この式は球座標からの変換なので、円筒座標に書き換えることはそんなに難しくない。適宜式変形すると最初に示したLandau先生の言っている式が示される。回転放物面座標は、量子力学でCoulomb散乱をやるときにCoulomb波動関数を計算する際に導入するらしい。