医学部に合格するためには、国公立でも私大でも配点が高く、本番での得点差がつきやすい数学を得意科目にすることが合格可能性を大きく高めることは事実です。数学を得意科目にする、数学で確実に安定して高得点を獲得する実力をつけるのは一般的な予備校さんや塾さんの指導では非常に難しいのです。的確なものを受験生が得られない状況にあるからです。それがなぜ世の中にはほとんど存在せずに一部の人しか得られていないのかについてもこのコンテンツを読むことで実感していただければと思います。当塾指導は、マンツーマンの初回指導における年間計画の策定で各自の状況に応じて、各自が学校で使用している、またはそれまで使用してきた問題集や参考書をできるだけ活かす形で計画を立てます。したがって、質問回答している教材は、市販の問題集・参考書のほとんど、過去問に至っては全国のほとんどの大学の問題に及びます。一日で数百という数の問題の質問回答がたまります。掲載できるのはごくごく一部ですが、優れた数学の個別指導の威力を十分体感していただけると思います。該当の問題の全文の画像がありますが、ここでは割愛させていただきます。注意2ここに掲載する回答は、毎日受講生から頂く多くのご質問に対するごくごく一部をご紹介するものです。1人の受講生が1日に数問~10問程度の質問、1日トータルで百~数百問、1か月で数千~数万問、1年で数万~数十万問、数年で数十万~数百万問という膨大な数の質問回答の中からランダムに1問ずつ取り上げて掲載するものです。成り立つとき、正の定数a、bの満たす条件を求めよ。いう条件を座標平面上に落とし込んで考えることです。問題文を噛み砕いて考えて見ましょう。x^2+y^2<a^2の内部の点全体です。|x+y|+|x-y|<b...2が示す領域を図示すると下の図の様になります。以上を合わせて考えると、問題文の条件は「1が示す円の内部の点全てが2の領域にあればいい」という条件に言い換えられます。これをさらに言い換えると、「1の円が2の領域の中にある。」...(条件A)ということになり、これがぎりぎり成り立つのは下の図の様になるとき、つまりb/2=aとなるときであり、bがそれ以上大きくなる分には2の正方形が大きくなるだけで条件Aは成り立つので、求めるべきa,bの条件はb/2>=a、つまりb>=2aという風になります。条件を次々に言い換えていって考えやすい条件、単純な条件にする、ということはどの問題でも最も大切な考え方の一つになります。方程式⇄座標の置き換えは、非常によく使う考え方なので、方程式が出てきたら座標ではどうなるのか考え、逆に座標平面でグラフが出てきたら、方程式で攻められないかと考えてみることは、常に意識するといいと思います。断面での面積を求めて、それを積分する」という2つの手順を踏めばOKです。この問題でも、まずは「適切な軸」を探すところから始めましょう。「適切」というのは、後の手順が楽になるような、という意味です。断面がわかりやすかったり、面積を求めやすかったりするような軸のことです。回転体の体積では、回転軸を「適切な軸」に設定すれば、断面が必ず円になり、簡単な計算で断面積を求められます。この問題での「適切な軸」は、x軸に当たります。x軸に垂直な平面で立体を切ると、断面が正三角形になって容易に面積を求められるからです。あとはこの断面積をx軸に沿って(=xで)積分すると体積が出てきます。受講生の質問Xyz空間において、動点P(0,0,(1-s)**2),Q(s**2,1,0)がある。Sと平面x=yが囲む部分の体積をVとする。この問題の図が知覚的に捉えられませんでした。黒木の回答まず今回の問題を最初から説明していくのですが、sという字を用いて直線を表してこれとx=y平面との囲まれる体積を求めよとの問題です。具体的な直線の移動などは分かりませんが、わかりやすい数値s=-1,0,1などを代入してなんとなくの形だけはわからないか試してみましょう。Sを動かしてなんとなく直線の動き方を考えるとx=yという平面が基準となっていたことが分かります。最初に問題を読んだときはx=yという珍しい切り方をしていたので一瞬ヒヤッとしますがこの平面で切っていた理由が分かりました。ここからが問題で具体的な図の形は見えないので、わかりやすい平面で切って平面図形として考えようという方針に持っていきます。どの平面で切れば良いかについては後述しますが今回の問題ではy=tという平面で切ると計算がしやすくなります。この平面でsの値を変化させていくと曲線が描けます。あとはこの平面において囲まれている部分がどこかを見つけてあげて、底の部分の面積を求め、tを動かして積分すればいいといういつもの方針になります。囲まれている部分がどこかという話ですが今回はx=yと囲まれている部分をそもそも考えていて、y=tで切っているのでx=tで囲まれている部分を求めればいいです。最後に切る平面の選び方ですが、切った平面と動く直線との交点の座標が表しやすいかどうかで決めます。交点の座標をベクトルを使って表すと計算がしやすく、その計算が簡単になるような切り方を選んで上げましょう。どの平面で切っても最終的な計算は合うはずではありますが、計算の複雑さや計算量には大きな差が出ます。実はこのやり方はけっこう有名なので、使えたほうがいいと思います。実際、k(k+1)=k^2+kと展開してk^2のシグマとkのシグマを求めて足すより計算量は少ないので実践的に見ても優れたやり方です。これは、シグマの中身を「1個先のやつから1個前のやつを引く」形にするという解法の1形態です。Σ[k=1~n](1/(k+1)-1/k)という和を具体的に書き下してみると「(1/(n+1)-1/n)+(1/n-1/(n-1))+.......+(1/3-1/2)+(1/2-1/1)」となり、間が全て打ち消し合い、最初と最後の「1/(n+1)-1/1」だけ残るというやつです。今回の変形も、「1個先のやつから1個前のやつを引く」形になっていますよね。答えがラクに(少ない計算で)求まるというわけです。一般的に、いくつかの連続した整数の積(今回でいうと2つ)がシグマの中身に来ているときは、それらのなかで1番大きい数より1大きい数をつけくわえたものから1番小さい数より1小さい数を付け加えたものを引く形に変形すると、シグマの中が「1個先のやつから1個前のやつを引く」形になって、バァーっと間が消えていって最初と最後だけ残るパターンに持ち込めます。シグマの中身が(k-1)k(k+1)(k+2)(これは連続する4つの整数の積ですよね)とかだったら、(k-1)k(k+1)(k+2)=1/5・{(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-2)(k-1)k(k+1)(k+2)}と変形でき、間が消えていくパターンに持ち込めます。数学の逆像法について質問です。y=x*2+ax+a*2の通過する領域を図示せよ。逆像法の考え方の難しいところです。メールで送ってくださった問題を具体的に考えていきます。0≦a≦1のaが少なくとも1つある」ということと同じです。⇔「y=x**2+ax+a**2をaについての2次方程式と見た時に0≦a≦1の範囲で少なくとも実数解を一つ持つ」とも言えます。具体的な点を見てみて、点(1,2)を考えます。2=1+a+a**2を解くと0≦a≦1のaが一つあるので求める領域の中に点(1,2)はあります。点(-1,1)があると言えます。どちらの場合でも条件は満たすのですがaの範囲にあるaの個数は異なります。結局、少なくとも一個aが存在すればいいというのが2つの場合を考えている理由です。△ABCの辺AB,AC上にそれぞれ点P,Qが存在するこの時、次のことが成り立つただし、3の逆は成り立たない。図をまず見てください。AP:AB=PQ:BCが成り立つとき、図のPQについては、確かにPQ//BCが成り立ちます。なるような別の点Q'を取ることが出来るのです。成り立っていませんね。このように反例があるため、逆は成り立たないのです。]となり、極限が1/(1-1)=1/0になってしまい、置き換えた場合と解答(-1/2)と異なってしまいます。非常にいい質問であり、とても多くの受験生が間違えるところであります。以上の式変形をしていただいたのだと思いますが、どこが誤りなのでしょうか。]ここまでは何の問題もありません。