正規直交基底により、二つのベクトルa,bが次のように座標表現されているとする。e2より、外積は次のように表現される。平面に付随するベクトル空間V2上の外積は双線形かつ交代である。アフィン標構の向き空間内の平面上にアフィン標構(O;e1,e2)を定め、それに垂直な基底ベクトルe3を決めるときに、その決め方は二通りある。それは平面によって空間が二つの領域に分割されるからである。そのどちらに原点を始点とする有向線分が属するかということを二つのベクトルの外積を利用して表現する。e2が定める平行四辺形が表になる方向を正の方向、裏になる方向を負の方向と定める。e2の正の方向にあるとき、アフィン標構(O;e1,e2,e3)あるいは基底(e1,e2,e3)は右手系であるといい、負の方向にあるとき左手系であるという。空間ベクトルのノルム空間ベクトルのノルムもベクトルの長さとして定義することができる。V3は空間内に二点P,Qをとり、有向線分の同値類a=[PQ]と表わすことができる。aa:=PQuによって、ノルムを定める。V3はこれによりノルム空間となる。ξ2と求めることができる。空間内の二点P,Qの距離をノルムを使って次のように定義することができる。[OQ]これにより空間は距離空間となる。空間内の二つのベクトルa,bの内積は、それらが同一平面上にあることから平面ベクトルの内積と同様に定義することができる。θa⊗b正規直交基底(e1,e2,e3)を定めたときの内積の座標表現を求める。二つのベクトルa,bが次のように座標表現されているとする。=λ2μ2ξ2このとき余弦定理から次の公式が導かれる。u)-1を合成すると次のようになる。ξ1ξ2命題1.2.8.2空間に付随するベクトル空間V3上の内積は双線形かつ対称、正値である。内積とノルム(I)空間内の任意のベクトルaについて、次が成り立つ。内積とノルム(II)空間内の任意のベクトルa,bについて、次が成り立つ。空間内の任意のベクトルa,bについて、次が成り立つ。空間に付随するベクトル空間V3上の正規直交基底(e1,e2,e3)について、次が成り立つ。bは平面ベクトルの外積を利用して定義する。正規直交基底(e1,e2,e3)により、二つのベクトルa,bが次のように座標表現されているとする。=λ2μ2ξ2三つの基底ベクトルの二つから生成される座標平面を考える。V3二つのベクトルa,bのこれらの座標平面への射影を次のように記す。e2各座標平面への射影の外積を計算する。e2これらの面積量はそれぞれ意味が異なるので別の種類の量と考える。空間ベクトルの外積を次のように定義する。b12座標展開すると次のようになる。e2命題1.2.9.2空間に付随するベクトル空間V3上の二つのベクトルの外積は双線形かつ交代である。V3空間内の二つのベクトルaとbが張る平行四辺形の面積量はaからbへ反時計回りに向かう角度をθとすると次のように表すことができる。θa⊗bこれを座標表現で計算する。bは二つのベクトルa,bを含む平面上でaとbが張る平行四辺形の面積量に一致する。bはaとbが張る平行四辺形の面積量である。空間ベクトルの二項外積は座標系に依存するが、そのノルムは座標系に依存しない。productと呼ぶ。vectorになっている。bは、これらのベクトルが張る向き付けられた平行四辺形に直交し、正方向にある。その単位線長比は平行四辺形の単位面積比に一致する。bは、向き付けられた平行四辺形の法線方向と面積とを同時に表現する空間的量になっている。命題1.2.10.4空間に付随するベクトル空間V3上のベクトル積について次が成り立つ。V3ベクトル積は結合的ではないが、次の性質によりベクトル空間V3はLie環になる。Grassmann空間に付随するベクトル空間V3上のベクトル積について次が成り立つ。Jacobi空間に付随するベクトル空間V3上のベクトル積について次が成り立つ。cはそれらが張る平行六面体の有向体積量として定義される。次の同値な三条件が満たされるときに正方向とし、そうでないときに負方向と定める。cの正方向にaがある。aの正方向にbがある。bの正方向にcがある。この定義により次の性質が成り立つ。cは多重線形かつ交代であり、右手系の正規直交基底(e1,e2,e3)を定めるとき、その単位をuとすれば次が成り立つ。u三つのベクトルa,b,cが次のように座標表現されているとする。uと書くことができる。(a,b,c)が定まる。これは向きを変えない正規直交標構の座標変換に関して不変である。二項外積とベクトルとの外積を多重線形かつ交代となるように自然に拡張すると、例えば次のような計算ができる。c関数detは(3,3)行列に対する行列式を定める。R,a11a12a13a21a22a23a31a32a33a11a12a13a21a22a23a31a32a33行列式は乗法群としての準同型写像になっている。