語句:並進,ベクトル,アフィン平面,並進群,推移的,等質空間,アフィン空間,アフィン標構,アフィン座標,正規直交基底,余弦定理,内積,クロネッカーのデルタ,外積,ベクトル積,法線ベクトル有向量に関する用語と記号を整理する。ベクトル平面あるいは空間上の有向線分は、平面あるいは空間上の平行移動を定める。translationと呼ぶ。二つの有向線分が同じ並進を定めるとき同値であるとすると、平面あるいは空間上の有向線分全体をこの同値関係で分類することができる。ベクトルとは平面あるいは空間上の並進を定めるものと考えてよい。始点と終点が一致するものも有向線分と考え、これにより生成されるベクトルを0すると、ベクトル全体の集合であるベクトル空間は実数R上の線形空間となる。平面を点集合Eで表わす。平面E上のベクトル全体、すなわち平面E上の並進全体をV2と書くことにする。aと定めることによりベクトル空間V2は加法群として平面Eに右から作用する。V2が成り立つように定義されている。Qとすることができる。spaceと呼ばれる。アフィン平面(E,V2)において、平面Eは並進群V2の等質空間である。空間を点集合Uで表わす。空間U上のベクトル全体、すなわち空間U上の並進全体をV3と書くことにする。aと定めることによりベクトル空間V3は並進群として空間Uに右から作用する。アフィン空間(U,V3)において、空間Uは並進群V3の等質空間である。アフィン座標アフィン平面(E,V2)に付随するベクトル空間V2は二次元実線形空間であり、基底となるベクトルの組(e1,e2)により、次のように表すことができる。λ2)は実線形空間としての同型を与える。frame(O;e1,e2)が定まる。Rと表現することができる。coordinatesと呼ぶ。e3と表すことができる。λ3)は実線形空間としての同型を与える。Uの原点Oを与えることにより、アフィン標構(O;e1,e2,e3)が定まる。Rと表現することができる。λ3)を点Pのアフィン座標と呼ぶ。平面ベクトルのノルム平面ベクトルのノルムはベクトルの長さとして自然に定義することができる。V2は平面上に二点P,Qをとり、有向線分の同値類a=[PQ]と表わすことができる。aa:=PQuによって、ノルムを定める。V2はこれによりノルム空間となる。