対称変換群を群論的作図法で可視化する。我々がある平面図形が対称であるという場合、通常、その図形を平面内のある点を中心として回転させると元の図形に一致する点対称と、図形内を通るをある直線を軸として空間内を180度回転させると元の図形に一致する線対称の2種類を思い浮かべます。これはその図形が平面あるいは空間内の合同変換により不変であると言い換えることができます。群論の観点からは、図形の対称性は次のように定義されます。正多角形のような有界な図形の場合、対称変換は直交変換となりますが、結晶の対称性を考える場合は平行移動が対称変換になります。多角形の合同変換は、その頂点の置換を引き起こすことから、対称変換群は、紛らわしい用語ですが頂点集合の置換全体から成る対称群に埋め込むことができます。ここでは対称群について簡単に復習しておきます。上段と下段は並べ替えの前と後に対応します。groupSnといいます。ordern!の有限群です。transpositionとは二つの数を入れ替える置換のことです。すべての置換は有限個の互換の積で表現することができます。この表現は一意ではありませんが、その表現を構成する互換の数が奇数か偶数かということは表現によらずに定まります。permutationといいます。:=1σが偶置換のとき-1σが奇置換のときと定めます。}はSnの正規部分群となります。groupといいます。交代群Anは位数n!/2です。平面あるいは空間上の合同変換群の有限部分群をGとしましょう。平面あるいは空間上に原点Oと原点と異なる任意の点Pを定めます。この重心をCとします。OPnnと書くことができます。GPはG不変ですから、その重心CもG不変であり、GはCを固定する合同変換群、すなわちCを中心とする回転から成る群です。Cを原点とする正規直交座標系をとれば、Gは直交群の部分群と考えることができます。θの部分群となることがわかります。平面の合同変換群の有限部分群は、正二面体群の部分群である。正n角形の対称変換群は、正二面体群Dnである。正方形の対称変換群D4を図示します。対称変換群D5を図示します。