daily-events.この広告は、90日以上更新していないブログに表示しています。今回は「シルベスタの定理」の証明を行います。負値対称行列であることの必要十分条件は、Aの首座小行列式が全て0よりも小さい値を持つことである。この定理は、日本語Webサイトではなかなか正確な証明が出てきません。そこで、自分なりの証明をしてみようと思います。独自の証明になりますので、厳密性には欠けるかもしれませんが、何かアドバイスがあればぜひお願いします。正値対称行列とは固有値が全て正である行列のことである。負値対称行列とは固有値が全て負である行列のことである。対称行列の固有値は全て実数解を持つ。エルミート行列の対角化行列は直交行列である。直交行列は行列式の値を変化させない変換である。前提と書きましたが、6つ目の直交行列の性質については最後に証明しようと思います。証明へのステップシルベスタの証明を行うために3つに分けて証明していきたいと思います。元の行列式と対角行列式の値が一致することの証明(直交行列変換はノルム不変の証明から証明)2次における証明は一般化に必要ありませんが、手計算でもできる身近な方法なので紹介します。貪欲に固有方程式を解いて導きます。すると、固有方程式は、となります。正値対称行列は固有値が全て正であればよいので、条件は、となります。正の値であることから、が1つ目の条件となる。したがって、これが2つ目の条件となる。2つ目の条件から、なので、aとcが同符号でなくてはならない。よって、1つ目の条件は、と書き換えられる。よって、2次正方行列が正値対称行列である条件は、となる。