ここで、Lは対角成分が1の下三角行列、Dは対角行列、Uは上三角行列となります。対角成分が1の直交上三角行列)となります。行列式を計算してみます。直交行列が行列式の値を変化させない変換であることを利用しています。ここからは、LDU分解のメリットから首座小行列について考えます。すれば、が成り立つことです。これは、LDUの積のi行j列の要素はL,D,U全て行列のi行以内j列以内の要素の積のみで構成されるためです。実際に計算してみれば容易に確認できます。あるため、となります。証明したいことは、正値対称行列であることは、Aの首座小行列式が全て正であることでした。正値対称行列であるというのは、固有値が全て正であるということです。成り立つためには、なのは最初の条件からわかっているので、が成り立てばよいことが分かります。成り立つためには、なのはこれまでの条件からわかっているので、が条件であることが分かります。これを続けていくと...条件は、となります。ここで思い出してみると、でした。いうことは、先ほどの条件を書き換えると、となります。負値対称行列についても同様です。対称行列Aの性質からもこれは証明できます。Uを直交行列とすれば、2次形式を用いて、よって、直交行列Uはノルムを変えない変換であることが分かります。対称行列Aは直交行列Uを用いて対角化できるので、ここからわかることは、元の行列式を計算しても対角化した行列の行列式を計算しても同じ結果になるということです。感想いやー、疲れました。2次ですら証明に時間がかかってしまいました。負)を判定できるため、極値判定法として用いられます。様々な本やサイトを読みましたが、「シルベスタの定理はこうです」といきなり提示されて、「じゃあこれを使って極値をとるか調べましょう」というケースが多いようですが、これでは納得できませんでした。証明できてよかったと思います。