与えられた円に、与えられた三角形と等角な三角形を内接させること。ἐγγράψαι.与えられた円に、与えられた三角形と等角な三角形を内接させること。ABCを与えられた円、DEFを与えられた三角形とする。三角形DEFに等角な三角形を円ABCに内接させることが求められている。点Aで円ABCに接する直線GHを引く。角HACを点Aから直線AH上に角DEFに等しくなるようにとり、角GABを点Aから直線AG上に角DFEに等しくなるようにとる[命題I-23]。直線AHが円ABCに接し、接点Aから円の内部に弦ACが引かれているから、その弦が接線となす角HACは対向する切片内の角に等しい[命題III-32]。HACはDEFに等しいから、角ABCはDEFに等しい。同じ理由で、ACBはDFEに等しい。したがって、残りの角BACも残りの角EDFに等しい[命題I-32]。ゆえに、与えられた円に、与えられた三角形と等角な三角形を内接されることができた。これが求められていたことであった。