古典幾何を基礎とするハミルトン流の四元数論をなるべく忠実に再現する。ハミルトンの記法にはやや違和感があるが、演算子を被演算子の前に記述するいわゆるポーランド記法であり、プログラミング言語で扱いやすいためそのまま踏襲する。四元数の定義アフィン空間(U,V3)、V3の正規直交基底(i,j,k)、アフィン標構(O;i,j,k)が与えられているとして議論を進める。R⊕V3について考える。quaternionと呼び、a,b,cのように太字の英小文字で表す。scalarと呼び、x,y,zのように標準の英小文字で表す。vectorと呼び、α,β,γのようにギリシャ小文字で表す。任意の四元数qをスカラーとベクトルの組として次のように表現する。自然な射影S,Vが次のように定義される。conjugateKを次のように定義する。z2で定義することにより、Hはノルム空間となる。tensorTと呼ぶ。versorUを次のように定義する。α∈V3について次が成り立つ。V3について、その四元数としての積を次のように定義する。βこれは射影演算子を使うと次のように表現できる。内積は対称性をもち、ベクトル積は交代性をもつことから次が成り立つ。Vβαこれは次のように式変形できる。1が成り立つことから、積に関する逆元は次のようなベクトルになる。α,β,γ∈V3について次が成り立つ。四元数の積ベクトル空間V3の正規直交基底間の積は次の性質を満たす。j一般の四元数の積は分配律が成り立つように定義する。(Ta)2によりaの逆元が求まる。四元数HはR上の多元環であり、0でない元は単元である。結合律を満たすが、可換律は満たさない。四元数a,bについて、次が成り立つ。積のテンソル四元数a,bについて、次が成り立つ。αとして幾何学的な意味をもっている。ここではこれに関する幾何学的考察を行なう。あることに注意しなければならない。ベクトル比の合成を計算するにあたっては通常の算術的直感を排除する必要がある。α∦βが与えられたとき、二つのベクトルを原点Oを始点とする有向線分で描き、αからβへ反時計回りに向う角度θがπより小さくなるように、α,βによって生成される平面を紙面と一致させる。αここで、UVβ/αは紙面垂直上方に向うベルソルであり、β/αの軸と呼ばれる。最後の極形式表現により、ベクトル比はこの軸と角度θ、線長比Tβ/Tαによってのみ定まることがわかる。proportionすることは、各ベクトル比を構成する二つのベクトルが生成する三角形が、同一平面上にあり向きを含めて相似であることと同等である。次にベクトル比が引き起こす変換について考える。α∦βが与えられたとき、βαβ-1はα,βによって生成されるV3内の平面上、αのβを含む直線に関する鏡像になっている。2Sαβ-1より、βαβ-1はα,βによって生成される平面上にあり、Sβαβ-1β=Sβα=Sαβより、βに対する角度が等しいことから結論が従う。α∦βが与えられたとき、その比β:αはα,βによって生成されるV3内の平面上のαをβに写す線形変換を引き起こす。γはベクトルにはならない。ν)垂直上方向の軸νに垂直な平面上の任意のベクトルγにそのベクトル比を左から作用させる。νγ)νγはνを軸としてγを90度回転させたものであるから、この作用はγを軸νに関して反時計回りにθだけ回転させてr倍の伸縮を行なう、この平面上の向きを変えない相似変換である。ベクトル比の左からの作用ベクトル比の左からの作用は、その軸νに垂直な平面上で反時計回りにθの回転とr倍の伸縮の向きを変えない相似変換を引き起こす。軸νに垂直な平面上の任意のベクトルγにそのベクトル比を右から作用させる。νγであるから、回転が時計回りになる。ベクトル比の右からの作用ベクトル比の右からの作用は、その軸νに垂直な平面上で時計回りにθの回転とr倍の伸縮の向きを変えない相似変換を引き起こす。-νγ)となり右からの作用と同じ変換になる。ベクトル比の共役の左からの作用ベクトル比の共役の左からの作用は、その軸νに垂直な平面上で時計回りにθの回転とr倍の伸縮の向きを変えない相似変換を引き起こす。共役の右からの作用は左からの作用と同じ変換になる。ベクトル比の共役の右からの作用ベクトル比の共役の右からの作用は、その軸νに垂直な平面上で反時計回りにθの回転とr倍の伸縮の向きを変えない相似変換を引き起こす。最後に任意の零でなくスカラーでもない四元数qがベクトル比として表されることを示す。TqUqここで、ベルソルUqを次のように書くことができる。UVqはbを正にする条件により一意的に定まる。sin∠qUVqと書くことができる。sin∠qUVq)と極形式に表現することができる。formで一意的に表現することができる。αと書くことができる。零でないスカラーを平行なベクトル比と考えれば次のように主張することができる。零でない四元数はベクトル比である。