Spline法は、各Pillarの値を、区間毎に3次関数で繫ぐ方法です。Rateに期間をかけた値を繫ぐ方法もあります。Bootstrappingのアルゴリズムにより既に判っているとします。(注:実際には、一定の推定値を置いて、Interpolation法のアルゴリズムと組合せ、Solverにより求める。\]この式の両辺をtで、1階、2階、3階、それぞれ微分すると以下のようになります。4点の値が判れば、その4点を通る3次式として一意に特定できます。この3次式を、真ん中の区間[τ_i,τ_(i+1)]にのみ使い、Pillarをひとつずつずらして行けば、最初と最後の区間を除いたすべての区間について連続な3次式で結んでいけそうです。最初と最後の区間も、一定の境界条件を決めれば3次式を特定でき、イールドカーブ全体の曲線が出来そうです。この方法をイールドカーブ構築に使うと、各Pillarで連続ではあるものの微分不可能になります。最初に述べた“好ましい性質”という点で局所性は優れているものの、フォワードカーブの形状で劣ります。決め方に工夫を加える訳ですが、その方法にいくつかのバリエーションがあります。イールドカーブの望ましい形状から、いくつかの制約条件が考えられます。Fitしなければなりません。Factorを使って、原データとなるベンチマーク商品の現在価値を計算すると、それが市場価格と完全に一致する必要があります。\]カーブは各Pillar間で連続でなければなりません。\]カーブは各Pillarにおいて、導関数も連続であって欲しい。Rateに期間をかけた値を期間で微分した値になります。Rateとは異なる3次関数の経路を取ります。以上の制約条件で、未知数が4n−4個(n-1個の区間にそれぞれ対応する3次式を特定するには、係数が4個ずつ、合計4n−4個必要になる)に対し、方程式が3n−4本、用意できました。そこで必要な式を、追加の制約条件を課すことによって補充しますが、その方法が幾つか発表されています。Splineなどの方法が紹介されています。Spline)も紹介されています。差分法を使って外生的に与える事で不足している式の数を足します。アルゴリズムは比較的簡単で、局所性も確保できますが、瞬間フォワードカーブがPillarにおいて(連続ではあるものの)微分不可能になります。(ii)の方法は、2階微分可能とすることで、瞬間フォワードカーブも滑らか(微分可能)になりますが、不自然な波が発生する可能性が高くなります。Rateが各係数に影響を及ぼす為、局所性で劣ります。(ii)の欠点を修正するような方法ですが、かなり技巧的で、アルゴリズムが相当複雑になります。Spline法、を紹介します。1983)が詳しいので、それを参照して下さい。Spline法が、Hagan-Westの論文で紹介されており、そちらの方を詳しく、1.1.6以降で紹介したいと思います。Rateの3次スプライン関数(1.1.5式)のPillarにおける傾きを外生的に与える事で、連立方程式で不足する式の数を補充します。差分で求めて、外生的に与える方法が考えられます。両側のPillarを直線で結び、その傾きで求める方法です。\]但し、左端と、右端は、それぞれ前進差分と後退差分を使って計算します。情報だけを使って、下記のような行列形式で表現できます。補充すれば、すべての区間において補間関数が特定できます。3点を通る2次関数の傾きで求める方法を紹介しています。求めた結果だけを示します。下記式で導出できます。\]こうすると、比較的簡単なアルゴリズムで、3次スプライン関数の係数行列が求まります。RateのSpline関数を求めると、そこから導出される瞬間フォワードカーブは、各Pillarで連続ではあるものの、微分不可能で、角のあるカーブになります。Spline法より優れています。構築される3次スプライン関数が、各Pillarにおいて2階微分可能になるという制約条件をかけます。すると、各Pillarにおいて、1階導関数が連続になるので、次の様な式が導出できます。\]これで、新たにn-2本の方程式が立てられます。(1.1.6)~(1.1.9)の制約条件の式と加えて、4n―6本の方程式が用意できました。未知数の数4n−4個に対して、まだ足りない2本は、カーブの両端の境界条件を決めて、補充します。その境界条件の決め方として、次の様な方法があります。Spline)前者は、カーブの右端での2階微分を0とするので、イールドカーブをExtrapolationする際、若干問題になります。Rateを、右端の区間の傾きの直線をそのまま伸ばす事になり、傾きが正であれば無限遠で+∞になり、傾きが負なら−∞になってしまいます。後者は、右端だけ1階微分を0にするので、右端のRateが、その値のまま無限遠までExtrapolationされます。金融で使われる方法としては、後者の方がより自然と考えられます。して、外生的に与えられるので、最初から既知数として扱い、未知数が3n-3、式の数が3n-3の連立方程式として、行列形式で表示してみます。Matrix(帯行列)の形にしたアルゴリズムが使え、比較的高速で解(Interpolatorの係数)が求まります。Spline法と比較して、瞬間フォワードカーブを滑らかにする事ができます。convexity/concavity)”が発生したりします。Sensitivitiesを計算する際に、局所性でも劣ります。していても、この区間のどこかで、局所的な最大値や最小値が発生し、単調性が失われる事があります。すると経済現象として、やや不自然な感があり、これを修正して単調性を失わないようにする方法が提案されています。1983)で紹介され、Hagan-Westの論文でもそれを若干修正した方法が解説されています。一定の範囲内に押し込めるような調整をします。その導出過程の詳細については、Hymanの論文が詳しいので、それを参考にして下さい。ここでは、簡単に結論だけ説明します。