ニャンちゅう現役東大生による世界一詳しい東大理系数学の対策と勉強法の全てはじめに理系にとって数学が重要であるのは言うまでもありません。それは受験にとっても然りで、東大入試でも、3割弱を数学が占めています。今あなたが数学が苦手だからと言って、むやみに弱気になる必要はありません。相手を正しく知り、正しく恐れることで、正しい対処法をとることができます。今回は、現役東大生である筆者の経験をベースに東大理系数学について解説し、みなさんが数学で戦っていくための一助となるような情報をお伝えしていきたいと思います。全部で6つの大問に分かれています。出題範囲は数学I・II・IIIとA・B。数学Bは数列とベクトルのみから出題されます。試験時間は150分間です。大問ごと、小問ごとの配点は公表されていませんが、模試の採点では、全問平等に20点満点ずつとなっています。個人で得点の算段をつけるときもこの配点で考えておけばよいでしょう。存在領域・微積分の分野が頻出と言えそうです。?当面は2問完答を目指しましょう。余った時間で残りの問題を解きます。完答はできなくても部分点を稼ぎ、60点くらいとれるとひとまず許容ラインです。科目別の合格者平均点は公表されていませんが、合計点では毎年およそ6割くらいになっているので、数学も6割取れると十分合格射程圏内と言えるでしょう。入試は総合得点での勝負ですから、数学の成績が振るわなくても、ほかの科目の成績次第で合格点に達するというのも十分にあり得ます。実は筆者も数学は50点で合格しています。2017年度の入試は例外で、数学が極端に易化したため合格者平均が80点を超えるほどだったのだとか。おすすめの解く順番まずは全問に目を通しましょう。解けそうな問題から解いていくことが大切です。日本最難関である東大の入試問題ですから、受験生の多くが手も足も出ないという問題が出題されてもおかしくはありません。そんな問題に直面したとき、わかりもしない問題に延々悩み続けるよりは、いっそその問題はあきらめて、別の問題を解くほうが合格に近づけます。初見でどういう解法をとればいいかわからない問題よりは、計算を頑張れば解けそうな問題から解いてみる方がいいでしょう。おすすめの時間配分は?150分で6問解くのですから1問あたりは25分ということになるでしょう。いえ、もちろん律儀に25分ずつかけなければいけないわけではないですから、解けそうな問題になるべく時間をかけて、点数を稼ぐようにしましょう。いっても、出題分野は毎年違いますし、問題の組み合わせ、各問題や全体の難易度もバラバラです。「東大数学の頻出分野、確率の対策を完璧にしたぞ!」と息巻いていても、確率の問題が出題されなければどうしようもありません。実際、2018年度は確率の問題は出題されていません。特定の分野だけの対策をするのでは効果がないのです。いろんな分野がまんべんなく出題されている東大数学ならなおさらです。特定の分野に特化した勉強よりは、苦手な分野をなくすような勉強のほうが良いでしょう。先に挙げた頻出分野の整数・確率・軌跡と存在領域・微積分が苦手という人は、もう一度基本から勉強しなおして、苦手をつぶしておきましょう。先に述べた通り、東大数学対策と呼べるような勉強はありません。どんな問題にも通用する、東大数学を解く上での基本はあります。ここではそれを紹介することにしましょう。部分点を稼ごう東大数学は難しいですが、もちろん全問完答しなければ受からないというわけではありません。完答が難しそうな問題では、部分点を稼ぐことを心がけましょう。答案を白紙で提出すると間違いなく0点ですが、何か書けば、2点3点くらいもらえるかもしれません。いえ、でたらめなことを書いても部分点は望めませんから、根拠があること、数学的に正しいこと、何が言いたいか採点者に伝わるように書くことを意識しましょう。}\)と定めますよね。直線をベクトル方程式で表現して、方向ベクトルの内積が\(0\)とする人もいるかもしれません。このように文章で与えられた条件を数式で表現することは、問題を解くための第一歩です。条件を式にした後どうするか全くわからなくても、この作業は必ずしてください。部分点を稼ぐことにもつながります。わかりやすい説明をつけよう突然ですが、私たちは採点者に対して、答案について口頭で弁解することができません。採点者は答案を読むことによってのみ、答案を採点します。そのため受験生は、読むだけで、自分の意図したことが全て伝わるような答案を作るよう心掛けないといけないのです。書いただけでは不十分です。文字を含む式を分母にするときは、必ず分母が\(0\)出ないことを確認しなければなりません。自分が問題を解きながら当たり前のように思っているからといって、答案を書くときに飛ばすのはNGです。採点者から見れば、\(p\)が\(0\)であることを確認していない不完全な答案です。解答者は分かっていないのだな、と判断されても仕方ありません。\(p\)は\(0\)でない実数とする。明記して、分かっているんだぞとアピールしてください。答案が数式ばかりになってしまうのはあまり感心しません。自分が何を計算しているのか、なぜその計算で答えを導けるのかをちゃんと説明しましょう。楽な方法を模索しよう問題を解き始めるとき、どんな方法で解くか、頭の中にいくつかの選択肢が思い浮かべます。いくつか思い浮かんだ選択肢の中から、最も計算が楽な方法を模索しましょう。東大の問題は、解法の選択によってはとんでもない計算を強いられることもあります。問題を解きながら、常に今とっている解法が最適なのかどうかを考えてください。初めにいくつか計算を試してみるのもいいかもしれませんね。普段の勉強用として多くの学校で採用されているのが青チャートです。青チャートの練習問題は一通り解いて、問題のレベルに関わらず全部できるようにしておきたいです。青チャートはその情報の多さからして、解法辞典のように使うことも出来ます。過去問などで問題演習をしているときに、「この分野の知識がちょっと抜けているな」と気づくことがあるでしょう。そんなときは青チャートの該当箇所に戻るといいです。青チャートでは、各分野の問題の基本的な取扱い方がほぼ網羅されています。該当箇所に目を通すだけで十分な復習ができるでしょう。読んだだけで出来るつもりになるのは危険です。参照箇所は自分で解答を再現できるように、手を動かして覚えてください。入試本番に青チャートを持ち込むことはできませんから、本番までに自分の頭の中に解法辞典を作っておくのがいいと思います。要は分野ごとに主要な解法を整理して覚えておき、問題をみてどの解法が最適かを判断するという解き方ができるようにしておくのがいいということです。これについては後ほど詳しく書こうと思います。1点でも多くとる方法(理系編)』おそらく最も受験生の立場に立って編集されている参考書が「東大数学で一点でも多くとる方法」です。東大の過去問の解説をしながら、問題を解く上での定石を紹介したり、入試本番で1点でも多く得点するにはどういう解法をとるべきかを論じています。こちらは東大志望を志望する多くの受験生の支持を集めている参考書で、筆者も過去問を解く際はお世話になりました。過去問を扱っているとあって内容は演習向けと言っていいと思います。普段の勉強用、または基礎固めの参考書は別のものを見つけて使ったほうが良いでしょう。取り扱いについて過去問はいつから解くのがよいのか、と受験生だれもが疑問を抱くとは思いますが、過去問の解答を読んで理解できるくらいになればすぐにでも始めるのが良いでしょう。いうのも、言ってしまえば過去問と全く同じ問題はほぼ確実に本番の入試では出ないのです。それほどありがたがって温存することに意味はないはずだからです。過去問は受験生のほとんどが解きますから、受験生ならみんなが知っていて解けると想定されます。過去問をおろそかにすると、過去問に似た問題に出会ったとき、自分だけ解けないなんてことにもなりかねません。ならないために、早めに過去問を知っておく方が賢明なのです。本番レベル、本番形式の演習はどうするのか、と思う方がいらっしゃるかもしれません。そこで、模試を活用してほしいです。模試の問題は、受験者を選別するための試験である入試の問題と異なり、受験生が問題を通して何かを学び取ることを期して作られており、学習効果が高いのです。これを活用しない手はありません。模試は毎回全力で受けること、必ず復習、解きなおしすることを心がけましょう。過去の模試問題を入手すればそれも本番形式の練習用として使えます。東大理系数学の勉強法・対策法まとめ青チャートの解説のところに書きましたが、筆者のおすすめの数学の勉強法は解法の暗記です。これは、「勉強は知識を蓄える過程」だとする考えから来ていて、一度解いた問題は類題も含めて必ず次解けるようにするようにして演習をたくさん積むことで、対応できる問題を増やしていった結果、数学ができるようになる、という形を理想としています。数学ができる人は「センスがある」とよく言われますが、いわゆる「センスがある」人の多くが、かなりの演習量を積んでおり、知識が豊富です。数学におけるセンスは、この知識量の多さからくるものだと思われます。今、「センスがなくて数学ができない......。」という人も、諦めずに、地道に解法を覚えていくと必ず成長できます。ここで、東大数学で頻出の分野、整数について、問題を解くときの典型的な解法を体系的にまとめてみました。先ほど述べた筆者の頭の中の解法辞典を書き起こしたものです。ここにあるものがすべてではありませんが、整数問題に出会ったときこれらの方針はすぐに思い浮かんで試してほしい、という大事なものばかりですので、必ず頭に入れておきましょう。他の分野でも、このように、問題を解くときの方針を整理して頭の中にストックしておけるといいです。何も方針が浮かばず、パニックになることがなくなります。ここでは整数分野しか紹介できませんので、他の分野のまとめはぜひ自分でやってみてください!例題1:余りで分類する\(n\)を自然数とする。\(n\)^\(2\)が\(12\)で割り切れるときの\(n\)の条件を求めよ。例題1の解答・解説:その1★\(12\)で割り切れるときの条件を知りたいので、まずは\(n\)を\(12\)で割った余りで分類してみます。0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11)\)とする。k^2\)であるから、\(n^2\)を\(12\)で割った余りは\(k^2\)を\(12\)で割った余りに等しい。\(n^2\)が\(12\)で割り切れる条件は\(k^2\)が\(12\)で割り切れる条件ということ。0,6\)のとき\(k^2\)は\(12\)で割り切れる。とき(終)例題1の解答・解説:その2★\(n\)を\(12\)で割った商と余りで表現して、\(n^2\)の\(12\)でくくれる部分をくくり、残った部分を調べます。上の計算を見ると、\(12m\)は\(6m\)でも\(k^2\)だけがくくった残りになることがわかります。次に\(n\)を\(6\)で割った余りで分類してみます。0,1,2,3,4,5)\)とする。\(n^2\)が\(12\)で割り切れるには\(k^2\)が\(12\)で割り切れればよい。とき(終)例題1の解答・解説:その3★\(k\)が6通りになって計算量が減りました。\(k^2\)を考えるだけなので、\(k\)の符号は\(±\)両方でも大丈夫なんです。0,1,2)\)とする。\(n^2\)が\(12\)で割り切れるには\(k^2\)が\(12\)で割り切れればよい。とき(終)★おそらくこれが、一番計算量の少ない簡潔な解答です。例題2:不等式で絞りこむ\(a,b,c\)は自然数とする。)\)の組をすべて求めよ。解答を書き始める前に簡単な数字で実験をするというのが常套手段です。問題によってはちょっと工夫することで、答えになりえる数字を絞り込むことができます。その工夫が、不等式の利用です。この問題では、自分で文字に大小を設定することで、調べる数字の数を一気に減らします。0\)を満たす\(b,c\)はない。2\)のとき\(c\)は存在しない。)\)(終)例題3:分数にする\(n,p\)はともに自然数とする。)\)の組をすべて答えよ。★\(p\)は自然数なので、左辺の分数には、「少なくとも(分母)≦(分子)」という条件が付きます。それを利用して\(n\)の範囲を絞り込むことができます。(解答)右辺は自然数なので、左辺も自然数である。2\)のとき\(2\)になる。)\)(終)例題4:因数分解する(隣り合う2つの整数は必ず互いに素)\(n\)は\(2\)以上\(9999\)以下の自然数とする。n\)が\(10000\)の倍数になる\(n\)をすべて答えよ。文字式が与えられたら、因数分解を疑ってみるといいです。因数分解したら、「隣り合う2整数は互いに素」「連続する3整数のうち必ず1つは3の倍数」などの事柄を使って問題を解いていきます。(\(k\)は整数)とする。1\)または\(n\)の因数である。\((i)5^4\)が\(n\)の因数のとき\(n=625p\)(\(p\)は整数)と表せる。