満たすような環である[2][3]。ベクトル空間としての次元である。書かれることもある[4]。正則局所環は代数幾何学において代数多様体の非特異点に対応するため中心的な役割を占める[5]。ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。例[編集]以下ではクルル次元のことを単に次元と呼ぶ。すべての体は0次元の正則局所環であり、0次元の正則局所環は体である。すべての離散付値環は1次元の正則局所環であり、1次元の正則局所環は離散付値環である[6]。1次元の正則局所環である。次元の正則局所環である。有理素数とすれば、p進整数環は離散付値環ゆえ正則局所環であり、体を含まない。2次元正則局所環で体を含まない。次元正則局所環で体を含むものはある体上の形式的冪級数環である。ついて、次は同値である[7][8]。