大学1年生もバッチリ分かる線形代数入門サイト内検索あらゆるワードの関連記事を検索できます!検索おぐえもん情報系大学院の出身です♪Webサイトやチラシ、冊子などのデザインや、システム開発などの経験があります。フロベニウスの定理を計算例付きで徹底解説2018年11月15日こんにちは、おぐえもん(@oguemon_com)です。前回の記事では、ケーリー・ハミルトンの定理について、勘違いしやすいポイントを交えて解説しました。今回は、ケーリー・ハミルトンの定理と同じく、三角化の概念を用いて成立の理由を追及することができるフロベニウスの定理を解説します!目次(クリックで該当箇所へ移動)フロベニウスの定理とは?ある多項式に行列を代入してできた行列の固有値は、行列の固有値を同じ多項式に代入した時に得られる値だよって旨の定理です。フロベニウスの定理\(n\)次正方行列\(A\)は、\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)を固有値に持つとする。f(\lambda_n)$$である。定理が成り立つ理由この定理は、三角化を利用することで成り立つ理由を確かめることができます。任意の正方行列は三角化できます。次の式が成り立つ適当な行列\(P\)を選ぶことができます。\(\lambda_{n}\)は\(A\)の固有値です。次は、\(P^{-1}f(A)P\)を変形します。f(P^{-1}AP)\end{eqnarray*}$$2行目から3行目にかけて、\(P^{-1}A^nP=(P^{-1}AP)^n\)を用いた変形がなされています。この等式は次のようなイメージで成立を理解できると思います。(P^{-1}AP)^3\end{eqnarray*}$$ところで、三角行列を\(n\)乗したとき、その対角成分は、元の成分の\(n\)乗となります(もちろん右上の成分は全然違う値になります)。実際に計算すると成り立つことがわかります。\underline{\lambda_{n}^n}\end{array}\right]$$多項式は、行列の累乗にスカラー倍したものを色々足し合わせたものにすぎません。ある三角行列\(W\)の対角成分の1つを\(w_i\)とした時、\(W\)を多項式に代入してできた行列\(f(W)\)における同位置の対角成分は\(f(w_i)\)となります。\(\lambda_{n}\)をもつ三角行列です。\(f(\lambda_{n})\)で構成されることがいえます。f(\lambda_{n})\end{array}\right]$$ところで、上で導いた等式\(P^{-1}f(A)P=f(P^{-1}AP)\)から、\(P^{-1}f(A)P\)が三角行列であることがいえます。\(P\)を用いて行列\(f(A)\)を三角化したことに他なりません。三角化に関する記事の中で扱いましたが、三角化により生み出した三角行列の対角成分は元の行列の固有値です。\(f(\lambda_n)\)であることが言えました。一緒に例題を計算しよう!簡単な行列を計算してフロベニウスの定理が実際に成立することを確かめてみましょう。例として、2次正方行列\(A\)と、多項式\(f(X)\)を次のように定めました。多項式に行列を入れてみる多項式に行列\(A\)を入れてできた行列\(f(A)\)を計算しましょう。下準備として\(A^2\)を計算しておきました。14\end{array}\right]$$それでは\(f(A)\)を計算しましょう。25\end{array}\right]\end{eqnarray*}$$これで、\(f(A)\)が求まりました。固有値を比較する行列\(f(A)\)の固有値を求めましょう。(t-9)(t-17)\end{eqnarray*}$$よって、行列\(f(A)\)の固有値は「9」と「17」です!ところで、\(A\)の固有値「2」と「3」をそれぞれ多項式\(f(X)\)に入れたらどうなるのでしょうか。スカラーは1次の行列とみることができます。\(f(2)\)と\(f(3)\)はそれぞれ次のようになります。\underline{17}\end{eqnarray*}$$まあ不思議、この組み合わせは行列\(f(A)\)の固有値と一致するではありませんか。以上から、\(f(A)\)の固有値が、行列\(A\)の固有値を多項式\(f(X)\)に通した時の値であることが分かりました。おわりに今回はフロベニウスの定理を解説しました!これでひとまず【固有値編】はおしまいです。対角化の性質と必ず対角化できる理由2018年11月12日このカテゴリの全ての記事(41件)を見るおぐえもん情報系大学院の出身です♪Webサイトやチラシ、冊子などのデザインや、システム開発などの経験があります。1次独立と1次従属みんなで線形代数を勉強しよう!250人を突破した線形代数のLINEオープンチャット!匿名OK!疑問や発見を語り合い理解を深めよう。