集団が無限に近い大きさのときは、連鎖不平衡が存在するためにはかなり強力なエピスタシスが染色体の短い距離の位置で作用すると考えざるを得なかった。本当にこのようなことが自然集団で生じているのであろうか。集団が有限であれば機会的浮動が起こり、連鎖不平衡も起こると考える方がより自然ではなかろうか。有限集団でもDの平均値はエピスタシスがないかぎり0であるが、機会的浮動により世代によってプラスになったりマイナスになったりと変動するのが現実であろう。したがって、Dのばらつき、すなわち分散の評価が重要となる。平均値は0であるから、分散は2次のモーメントで表わされる。有限集団における連鎖平衡値D第1の座位で対立遺伝子A1、A2が分離しており、それぞれの頻度がp、1-pであるとし、第2の座位では対立遺伝子B1、B2が、それぞれq、1-qの頻度で分離しているものとしよう。4種類の染色体A1B1、A1B2、A2B1、A2B2の頻度をそれぞれX1、X2、X3、X4とする。連鎖不平衡の値はD=X1X4-X2X3と定義する。集団の(分散による)有効な大きさをNeとする。14章で示したように、無限大の集団では、任意交配で2座位の適応度が相加的でエピスタシスがないとき、世代の経過と共にDの値は0に近づく。集団の大きさが有限であると、十分な世代数でDの予測値は0となるが、特定の世代についてはゼロとは違う値をとり、しかも世代ごとにゆらぐ。集団の大きさNeが小さいと、その効果は顕著で集団構造に大きな影響をもたらす。平均値、E(Dt):任意交配で選択がないと第t世代の連鎖平衡値Dtは前の世代の値Dt-1にくらべて乗換率cの大きさで減少する(第6回講座、4.3.2.3節)。Dt=(1-c)Dt-1一方、有限集団ではヘテロ接合性は毎世代1/(2Ne)減少する。組換えが無いと染色体を1ユニットとみて、X1X4とX2X3はともにこの割合で減少する。=(1-c){1-1/(2Ne)}Dt-1≒{1-(2Nec+1)/(2Ne)}Dt-1すなわちDt≒D0exp[{-(2Nec+1)/(2Ne)}t]Dの下付き添字0は第0世代、すなわち最初の世代での連鎖不平衡の値をあらわす。Robertson(1968)で、乗換率c=0の場合であった。P=exp{-t/(2Ne)}である。下付き添字0は第0世代、最初の世代での遺伝子頻度の値である。モンテカルロ法によるシュミレーションにで2座位に2対立遺伝子が分離しているなら、次の統計量r2がある一定の値に近づくことを見出した。r2=D2/{p(1-p)q(1-q)}またこの性質はほぼ(Nec)の値で決まり、中立でも超優性があっても同様であることがわかった。r2の平均値E(r2)はNecが十分大きいと、1/(4Nec)に近づくこともわかった。Kimura(1969a,b)は染色体頻度の確率分布にコロモゴロフの後向きの方程式を適用して、有限集団における連鎖不平衡の問題を解くことに貢献した。浮動による連鎖不平衡(c=0):次の三つの統計量を考えることにする。z=D2演算子Eは{*}の変数の期待値をあらわす。x,y,zはコロモゴロフの後向きの方程式の解である確率密度φ=φ(p,q,D,x,y,z;T)の変数である。確率密度が求まればX,Y,Zはその平均値として得られる。そのうち連鎖不平衡値の分散は近似的にZ=E{D2}∝exp{-λ1(t/Ne)}と表わすことができる。ここにλ1は次の3次方程式を満たす根で絶対値が最小のものである。λ3+{5+3(Nec)}λ2+{(27/4)+(19/2)(Nec)+2(Nec)2}λ+{(9/4)+(13/2)(Nec)+2(Nec)2}=0Necの0から4.0までのいくつかの値についてのλ1の絶対値はたとえば次のようになる。1969a)も得られている。λ1=(1/3)cos(θ/3)√{19+6(Nec)+12(Nec)2}-Nec-(5/3)ただしθ=cos-1[-{28+63(Nec)-90(Nec)2}/√{19+6(Nec)+12(Nec)3}]2座位それぞれが遺伝的浮動で分離しているとき、両座位を考慮したときの異型接合性や分離性の減少率を考察する際には|λ1|/Neが重要となる。連鎖不平衡を計るパラメータDは遺伝子頻度に大きく依存するという性質がある。その二乗値D2もしかりである。残念ながら数学的扱いの上ではr2の方がD2より面倒である。そこでr2統計量とよく似た次の統計量σd2を考察することにする。σd2=Z/X=E(D2)/E{pq(1-p)(1-q)}これはいわばE(D2)を標準化あるいは正規化した統計量となっている。σd2とE(r2)は多くの場合数値的におおよそあまり違わないことがモンテカルロ実験で示されている。したがってほぼσd2〜E(r2)の近似は十分満足する結果が得られる。世代が経過して変化が一定の状態、すなわちNec≫1でλ1がほぼ1に近いときにはσd2〜1/{(4Nec+1)-3/(4Nec+1.5)}が成り立つ。この式はNec>1ならほぼ実務的に使える。Necが十分大きな値ならσd2〜1/(4Nec)は十分よい近似である。興味深いことには、遺伝的浮動と再起突然変異の作用が定常状態となった集団についてもσd2と(4Nec)との間に同様の関係が成り立つのである。浮動と再起突然変異の作用と連鎖不平衡:これまでのモデルに次のような再起突然変異をも考慮したときの様子を考えてみよう。Kimura(1969b)によればσd2=1/[3+4Ne(c+k)-2/{2.5+Ne(c+2k)}]ここにk=u1+u2+v1+v2は2座位での1世代あたりの総突然変異率の合計である。大きな4Necについて、c≫k、乗換率が総突然変異率より値が十分大きければ、σd2〜1/(4Nec)が成り立つことがわかる。超優性座位と中立座位との連鎖不平衡:選択作用がない限り、個々の遺伝子は他の座位の別の遺伝子の作用による影響はない。選択作用を考慮にいれると、遺伝子が適応度に関して互いに作用することになるから、連鎖不平衡の問題が生じる。ここで一つ簡単なモデルを紹介しよう。対立遺伝子B1とB2は選択について中立とし、A1とA2は超優性であるとしよう。A座位ではヘテロ接合A1A2に対して、ホモ接合A1A1とA2A2はそれぞれs1,s2選択値が小さくなる。効果を強調するため、A座位はほぼ定常状態であるとする。A1の頻度はp=s2/(s1+s2)とする。Kimura(1970)によれば、標準化した連鎖偏差の2乗はσd2=1/{1+4Ne(c+k)+M}ただしM=[(1-2p)2/{p(1-p)}]・[{Ne(c+2k)}/{1+Ne(c+2k)}]この結果から4Necが十分大きければ、σd2〜1/(4Nec)が成り立つことがわかる。A座位、B座位のどちらもが超優性で平衡状態であると、やはりこの近似が成立することが示される。この節で示したことをまとめると次のようになる。Necがかなり大きければ、遺伝的浮動による遺伝子頻度の相関係数の2乗は選択あるいは突然変異があろうとなかろうと、平衡状態あるいは減少が一定の定常の状態でおよそ1/(4Nec)となる。大部分の自然集団では有効な大きさNeが十分大きいと考えられるから、4Nec≫1という条件は成立するものとみられる。実験集団ではこの条件は必ずしも成り立っているとは限らないから、データの解釈には注意が必要である。中立な遺伝子座の遺伝的変異のどの位が、選択のある遺伝子座と連鎖不平衡を生じるのであろうか。