kaztastudy【二次関数の決定】式の求め方をパターン別に解説!ツイートシェアはてブGoogle+Pocket今回は、高校数学Iで学習する二次関数の式の作り方について、パターン別に解説していきます!二次関数の式は、問題に与えられている情報によって式の形を使い分けていく必要があります。この記事を通して、どの式を使えばよいのかを見極めれるようになりましょう!今回取り上げる問題はこちら!次の条件を満たす放物線をグラフにもつ二次関数を求めなさい。(1)頂点が\((2,3)\)で、\((3,6)\)を通る。(2,-3)\)を通る。(3,9)\)を通る。(-3,0)\)を通る。(5)放物線\(y=x^2-3x+1\)を平行移動したもので、点\((2,3)\)を通り、その頂点は直線\(y=3x-1\)上にある。(6)\(x=1\)のとき最小値\(2\)をとり、\(x=3\)のとき\(y=6\)となる。二次関数の表し方は以下のようになります。$$y=a(x-α)(x-β)$$こちらの分解形は、使う頻度は低めです。覚えておくと便利なことも多いから是非覚えておこう!こちらの分解形は、\(x\)軸との交点の座標が与えられたときに活用します。二次関数の決定、問題解説!それでは、それぞれの問題の解き方について解説していきます。(1)頂点パターン(1)頂点が\((2,3)\)で、\((3,6)\)を通る。問題文に頂点の情報が与えられているので$$y=a(x-p)^2+q$$標準形の形を活用していきます。q\)にそれぞれ代入すると$$y=a(x-2)^2+3$$という形が作れます。あとは、\(a\)の値が分かれば式が完成します。y=6\)を\(y=a(x-2)^2+3\)に代入してやります。$$6=a(3-2)^2+3$$$$6=a+3$$$$a=3$$よって、\(a\)の値が分かったので二次関数の式は$$y=3(x-2)^2+3$$となります。頂点が与えられている問題では、標準形を活用して頂点の座標を代入。次に\(a\)の値を求めるため、通る座標を代入。(2,-3)\)を通る。問題文に軸の情報が与えられているので$$y=a(x-p)^2+q$$標準形の形を活用していきます。軸が\(x=-1\)ということなので、標準形の\(p\)部分に\(-1\)を代入。$$y=a(x+1)^2+q$$一旦、ここまで式を作ることができます。(2,-3)\)を通るのでそれぞれの値を式に代入して、式を2本作ります。q\)の2つの文字が残った2本の式が出来上がります。q=6$$となるので、二次関数の式は$$y=-(x+1)^2+6$$となります。軸が与えられているときは、標準形を使い軸を代入。次に通る2点の座標を代入し、連立方程式を解く。(3,9)\)を通る。問題文に与えられている情報が3点の座標のみだから$$y=ax^2+bx+c$$一般形の形を活用していきます。3点の座標を一般形の式に代入して、3本の式を作ります。\end{eqnarray}$$このように3つの文字に関する連立方程式ができあがります。c=3$$となるので、二次関数の式は$$y=x^2-x+3$$となります。与えられた情報が3点の座標のみの場合、一般形の形を活用して連立方程式を解くことで二次関数の式を求めることができます。(-3,0)\)を通る。問題文から\(x\)軸との交点が与えられているので$$y=a(x-α)(x-β)$$分解形の形を活用していきましょう。押さえておきたいポイントがありますね。『放物線\(y=2x^2\)を平行移動した』とありますが、ここから今から求める二次関数の式は\(a=2\)であることが読み取れます。平行移動した場合、\(x^2\)の係数は同じになるんでしたね!以上より、分解形にそれぞれの情報を当てはめると$$y=2(x-1)(x+3)$$$$=2x^2+4x-6$$となります。この問題は、一般形を使っても解くことはできますが分解形を活用した方が圧倒的に楽です!そのため、分解形の出番は少ないのですが覚えておいたほうがお得ですね(^^)(5)頂点が直線上にあるパターン(5)放物線\(y=x^2-3x+1\)を平行移動したもので、点\((2,3)\)を通り、その頂点は直線\(y=3x-1\)上にある。ここからは、応用編になっていきます。問題分に頂点に関する情報が含まれているので$$y=a(x-p)^2+q$$標準形の形を活用していきます。頂点の座標が具体的に分かっていないので、標準形の式に代入することができなくて困っちゃいますね(^^;ということで、頂点の座標を自分で作ってしまいます!!『頂点は直線\(y=3x-1\)上にある』ということから、頂点の\(x\)座標を\(p\)とすると頂点の\(y\)座標は、\(p\)を\(y=3x-1\)に代入して\(y=3p-1\)と表すことができます。3p-1)$$と、自分で作ってやることができます。『放物線\(y=x^2-3x+1\)を平行移動』ということから、\(a=1\)であることも読み取れます。これらの情報を、標準形の形に代入すると$$y=(x-p)^2+3p-1$$と、式を作ることができます。この式は点\((2,3)\)を通るので$$3=(2-p)^2+3p-1$$という式が作れます。あとは、この方程式を解くことで\(p\)の値を求めます。1$$よって、二次関数の式は$$y=x^2-1$$$$y=x^2-2x+3$$となります。頂点が直線上にあるという問題では、頂点を自分で作ってしまいましょう!!(6)最大・最小値パターン(6)\(x=1\)のとき最小値\(2\)をとり、\(x=3\)のとき\(y=6\)となる。最小値が与えられたことからこの二次関数は下に凸で、頂点は\((1,2)\)であることが読み取れます。よって、頂点が分かるので$$y=a(x-p)^2+q$$標準形の形を活用していきます。頂点は\((1,2)\)で、\(x=3\)のとき\(y=6\)となることから$$y=a(x-1)^2+2$$$$6=4a+2$$$$4=4a$$$$a=1$$よって、二次関数の式は$$y=(x-1)^2+2$$$$=x^2-2x+3$$となります。まとめお疲れ様でした!二次関数の式の決定では、問題文に与えられて情報からどの形の式を使うか判断する必要があります。最後に確認して、終わりにしておきましょう。【分解形】\(y=a(x-p)^2+q\)スポンサーリンク効率よく学習を進めていきたい方は必見!この記事を通して、学習していただいた方の中にはもっといろんな単元の学習を進めていきたい!という素晴らしい学習意欲を持っておられる方もいる事でしょう。どこの単元を学習すればよいのだろうか。何を使って学習すればよいのだろうか。何をしたらよいか悩んでしまって手が止まってしまう...そんなお悩みをお持ちの方もおられるのではないでしょうか。そんなあなたにはスタディサプリを使うことをおススメします。何を解けばよいのかそういった悩みを全て解決することができます。スタディサプリでは学習レベルに合わせて授業を進めることが出来るほか、たくさんの問題演習も行えるようになっています。スタディサプリが提供するカリキュラム通りに学習を進めていくことで何をしたらよいのか分からない...といったムダな悩みに時間を割くことなくひたすら学習に打ち込むことができるようになります(^^)また、スタディサプリにはこのようなたくさんのメリットがあります。7つのメリット費用が安い!月額1980円で全教科全講義が見放題です。基礎から応用まで各レベルに合わせた講義が受けれる教科書に対応!それぞれの教科に沿って学習を進めることができるいつでもどこでも受講できる。時間や場所を選ばず受講できます。プロ講師の授業はていねいで分かりやすい!都道府県別の受験対策もバッチリ!合わないと感じれば、すぐに解約できる。スタディサプリを活用することによって今までの悩みを解決し、効率よく学習を進めていきましょう。スタディサプリを活用してみてください。スタディサプリでは、14日間の無料体験を受けることができます。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。森一郎】古い?今でも評価される理由とは?【三乗の展開公式】(a+b)3乗の計算方法は?問題を使って解説!RECOMMENDこちらの記事も人気です。