山と数学、そして英語。山と数学、そして英語。本日は、十分条件と必要条件について。「pならばqである」という命題が真であるとき、pをqであるための十分条件、qをpであるための必要条件という。それだけのことなのですが、実際に問題を解いてみると、高校生の多くの答えは逆転していて、何だか全然わからないと愚痴を言います。いう言葉が似ていて覚えにくいからなのでしょう。どっちがどっちでも、同じような意味に感じるのだと思います。「犬であるならば動物である」という命題があるとします。「犬であること」は、「動物である」ための十分条件。「動物であること」は、「犬である」ための必要条件です。「え?逆じゃね?逆のほうが正しいっぽくね?」そんな疑念が生じて、ごちゃごちゃになってしまう子がいます。私の記憶違いでなければ、私の頃の教育課程では、これは中学3年生のときに学習しました。そのときの先生の解説が明解で、今でもよく覚えています。使われた命題も、この「犬であるならば動物である」でした。集合で考えるならば、犬の集合は、動物の集合の部分集合です。ベン図で言えば、動物の集合の輪の中に犬の集合がすっぽり入っています。目の前にポチという名の生き物がいたとして、その生き物が犬であるならば、その生き物が動物であることは、言うまでもないことです。「犬である」という条件を満たせば、「動物である」ということは十分に満たす。「犬である」ことは、「動物である」ための十分条件です。「動物である」ことは「犬である」ための必要条件。こちらのほうが、ちょっとわかりにくいのかもしれません。これは否定して考えるとわかります。目の前のポチが動物ではないのなら。ポチが動物でないのなら、犬であるはずがない。動物であることは、犬であるために必要なこと。「動物であること」は、「犬である」ための必要条件です。いえ、この解説、聞いたときは「ほおなるほど」と思っても、またすぐ忘れてしまうらしいです。して、また混乱し、わからないわからないと言い出す高校生が多いです。いいから、50音順で「十分条件」の「じ」のほうが「必要条件」の「ひ」より先に出てくるから、pのほうが「十分条件」とこじつけて覚えなさいと言っています。定義と、実際の問題との構造が違うせいもあるでしょうか。「pならばqである」という命題が真であるとき、pをqであるための十分条件、qをpであるための必要条件という。このように、定義ではpとqを逆にして説明しますが、実際の問題では、pとqの配置は固定されています。それで、わからなくなる子も多いです。いずれかの語句を補充せよ。y≧0である」という命題の真偽をまず考えます。y=0であるためのの十分条件ではありません。y≧0ならば、xy≧0である」これは、真です。y≧0であるための必要条件です。よって、例題の空所を埋める語句は「必要」となります。え、え、え?今のどういうこと?という声が聞こえてきそうです。(^_^;)これ、地図を読むような感覚なのかもしれないと思います。方向感覚が狂いやすい人は、この逆転が理解しづらいのかもしれません。これは慣れることで習得できます。慣れてしまえば、単純作業です。