山と数学、そして英語。山と数学、そして英語。今回は、「不定方程式」の学習に進みます。不定方程式とは、何か?解が明確には定まらない方程式のことです。3x-4y=0この方程式1本では、x、yの値は定まりません。y=3/4xと変形してみるとわかりやすいですが、これは比例の式ですから、xとyの値の組は無数に存在します。不定方程式は、「解は無数に存在する」で終わらせるのかいうと、もう少し範囲を狭めて、何か情報を伝えたいものです。不定方程式の問題は、「x、yの整数解を求めよ」となっているのも特徴です。無数に存在する中で、xもyも整数である解を求めなさいというのです。いやいや、それだって無数に存在するのですが、何か解の性質のようなものを伝えて、それを答えとしたい。いう方向で解いていくことになります。3x-4y=0とりあえず、yを移項します。3x=4yこうすることで、xとyの整数解の関係が見やすくなりました。3と4は、最大公約数が1。それ以外に整数の共通因数を持ちません。成り立っているということは、xには4の因数が含まれているということです。yには3の因数が含まれている。xは4の倍数で、yは3の倍数です。なければ、この等式は成立しません。(kは整数)これが、この不定方程式の整数解となります。1つに特定することはできないけれど、xは4の倍数ですし、yは3の倍数ですよ。kに整数を代入すれば、個々の解は全て出てきますよ。この解答が伝えていることは、そういうことです。これが、不定方程式の解です。「何だか解いた気がしない」と言う高校生もいます。数学は答えが1つに決まるものだと思っていたのに、この答えは中途半端だ。今までの方程式と何か違うので、やりにくい。頑固なタイプの生徒ですと、違和感を抱き、反発心も強く、なかなか定着しないことがあります。納得できない内容は、頭に入らないですよね。「数学とはこうでなければならない」という固定観念の強い人ほど、この先の数学で実感的に納得できる内容は少なくなっていきます。この先の内容で納得できないことがあっても、そんな考え方もあるのかと受け流すといいよと話しています。不定方程式をもう1問。3x+5y=1これは、どう解きましょうか?右辺が0なら、上の問題のようにxとyの関係を見ることができますが、右辺が1なのでやりにくいです。右辺を0にしましょう。やって?上の方程式が成立するxとyの整数解を1組、とにかく見つけますもっと複雑になると見つけ方の計算方法もありますが、今のところ問題がシンプルなので、暗算で見つけることができますね。x=1のときは、yは整数解はありません。これは成立します!そこで、与式から、今作った式を引きます。3(x-2)+5(y+1)=0上のように共通因数でくくり、扱いやすくしておきます。これで右辺は0になり、xとyの関係が見やすくなりました。・・・・13と5は互いに素ですから、x-2は5の倍数だとわかります。(kは整数)最初に見つけた整数解によって、この解答は見た目が少し違ってきます。表しているものの関係は変わりません。模範解答と異なるものでも正解はあります。(kは整数)という解を導くことができます。不定方程式は単なる計算問題なので、解法の過程が重視される問題ではありません。慣れたら、いきなり跳んでも構いません。どのように解いているのか、その痕跡がノートに残らないため、時間が経つと解き方を忘れてしまい、不定方程式が解けなくなってしまう高校生がいます。いう根拠でそのように解けるのか、納得できないとペンが進まない。その一方、一応理解できると、自分で計算するときにはやたらと省略してしまう。時間が経つと根拠を忘れ、解き方がわからなくなる。中学生の頃から、例えば関数の式を求める際にも、同じ失敗をしてきていなかったでしょうか。解き方がわかっているときにはやたらと省略し、何もかも一度に代入して計算する。時間が経つと、解き方を忘れ、全くわからなくなる。ノートを見直しても、全てを一気に代入した謎の計算式が残っているだけなので、自分が何をどうしたのか、よくわからない・・・。それを反省点として、後で見直してもよくわかるノートを作っておくことをお薦めします。記憶なんて、そんなに長持ちしません。「どう解いたの?」と私が尋ねると、答えに詰まって絶句する人は多いです。そのときは確かにわかっていた。そんなことにならないように解き方をノートに残しておきましょう。高校数II「式と証明」。剰余の定理と組立除法。14:14)数II「式と証明」2次方程式の解の範囲。難問を解いてみましょう。11:49)数II「式と証明」2次方程式の解の範囲。アクティブラーニング的に。11:33)絵に描いたような失敗。13:10)高校数II「式と証明」。2次方程式の解の正負。11:28)新指導要領に思う。※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。名前:メール:URL:情報を記憶:コメント:上の画像に書かれている文字を入力して下さい<ご注意>書き込まれた内容は公開され、ブログの持ち主だけが削除できます。