こっちの(3,3)と、あっちの(3,3)は、違う(3,3)じゃないですか」と言うのです。1つの(3,3)の幻影が見えている様子です。一度この幻影が見えてしまった子は、なかなか説得できません。「場合の数と確率」という単元は、こういう思考上の幻影が見えてしまうのも1つの特徴なのかもしれません。高校数学になると、順列も組合せも公式を用いて計算するようになりますが、上のような幻影はさらに濃くなり、多くの人を翻弄します。数年前、高校生に組み合わせの計算を少し簡単にする方法を指導したときのことです。問題12人の生徒を7人のAグループと5人のBグループに分ける方法は何通りあるか。その子は、まず、12C7という式を立てました。(12や7は、実際にはCより小さく書きます)そこで私は、少し計算が楽になる助言をしました。「・・・・・・え?」その子の驚き方があまりに大きかったので、逆に私が驚いたくらいだったのですが、この話、その後が長くなりました。「・・・・・・たまたまじゃなくて、当然そうなるよ。「いや、見捨ててないよ。自分のわかるやり方でいいよ」それともう1つ。これほど理解できないということは、彼女は何か他に誤解していることがあると感じたのです。それを見極めれば、その子が理解できる説明があるかもしれません。その子は、首を傾げながら、再びその問題を解き始めました。彼女が書き終えた式は、12C7+12C5というものでした。「・・・・・12C7・12C5なら、まだわかる。いや、それも誤解なんだけれど、まだ意味がわかる。何でですか?」12人から7人を選べば、5人が残ります。残った5人が自動的にBグループになるので、それを計算する必要はありません。Aグループに入る人を選んだ後で、さらにBグループに入る人をわざわざ選ぶ必要はないのです。足すこともかけることも不要です。12人からBグループの5人のほうを先に選んでもいい。選ばれなかった7人が残ります。その人たちが自動的にAグループになります。人数の少ないBグループを計算するほうが少し楽なんです。誤解し、思考がねじれてしまっている子が、上の話を理解してくれる可能性は低いのです。「場合の数と確率」の単元で、生徒が見てしまった幻影を消すのは大仕事です。例えるならそれは、シャツのアイロンかけをするとき、普通の洗濯じわなら簡単にまっすぐに伸びるのに、アイロンで誤って作ってしまったアイロンじわはなかなか取れないようなものでしょうか。上の話は理解してもらえなくても、理解してもらえる別の説明の仕方があります。12人から7人を選ぶ選び方は12C7。そのそれぞれに対して、Bグループは残った5人から5人を選ぶから、5C5。式は、12C7・5C5。5C5=1なので、わざわざ書かなくてもいいですね。約分するとどうせそうなるからという理解でもいいです。一般式として証明するときは、そういう証明の仕方をしますから。はい」そのように理解してくれる生徒は多いです。Bグループを選ばないままにしておくことは、どうしても納得できないので、5人から5人を選んであげると、頭の中がスッキリする様子です。件は、大した問題ではなくなるようなのです。わかりやすさの基準はどこにあるのか。使っている言葉は、ほとんど変わらないのに。言葉を組み変えたり説明を変えたり、いろいろ試行錯誤をし、どれかがヒットするのを待つのですが、それでも伝わったり、伝わらなかったり。最初は伝わらかったことが、時間をおくと伝わったり。それが面白いから、この仕事が好きなのかもしれません。