数学(広義)を扱っています。2019-12-2010^6以上の実数(これはホラー記事なので、適宜短調のBGMを聞きながら読んでください。面白そうなのでもう少し踏み込んで勉強してみたいと思います。Calendarは「10^6以上の実数を1つ投稿します」です。Calendarの枠を1つ潰したのか」というクレームが飛んできそうなので、もう少し面白いことをしましょう。10^6以上の実数は10^6以上であればいくら大きくてもいいので、実数を大きくする操作を考えましょう。\)が成り立つので、この関数は実数を大きくすることができます。そこで、さっきの10^6をこの関数で大きくしてみましょう。$$大きくなりました。これでもまだ「100万とんで1」なので面白くありませんね。1回大きくしましょう。$$「100万とんで2」ですね。私は何をやっているのでしょう。「100万から1ずつ数を数える」なんていう記事は誰も望んでいないはずです。大きい数を作りましょう。\)の方が大きくなってしまいます。\)をその定数より大きくすることができるからです。\)を代入しましょう。非常に大きい数が得られるはずです。\)2倍になりました。この証明は非常に簡単なので、読者への演習問題にしません。\)に複数回適用することもできます。$$まだ面白くありませんね。\)回適用したらどうなるでしょうか。そのために、次の関数を用意します。お気づきでしょうが、2倍を繰り返すという操作は非常に強力です。「1粒の米粒を80回2倍にする」だけで米の世界生産量を大きく上回ることはよく知られていますね。そんな2倍の操作を100万回もやったら......それはもう、巨大な数が出来上がります。\)に代入することができます。$$指数が3段になってしまいました。この不等式は自明なので証明は読者への演習問題にします。当然のようにこんなこともできます。$$普段だったらここで終わるのですが、今日の私は暴走モードなのでもっと大きくします。ここからはこんな感じの世界に入ります。この下には非常に心臓に悪いメッセージがあります。\)回合成した関数を考えます。\)は明らかに使いたくないので、今までの関数を全部番号で表しましょう。\)回合成した関数はこのように書けますね。\)を入れたら何が起こるでしょうか。$$数が大きすぎて、矢印が出てきました。これは「テトレーション」といって、べき乗を再帰的に繰り返した演算です(もちろん指数の方で再帰します)。テトレーションについてはこの記事が詳しいので、ぜひご一読ください。Wikipediaもちろん次のステップはこれです。わけがわかりませんね。ここで止まるわけがありません。\)もさらに合成することができます。めんどくさいので、一気に全部定義してしまいましょう。0は自然数に含まないものとする。\)はラムダ計算のラムダである。\)と書くことができない(どちらの変数でネストするのかわからない)ので、こう書くしかありません。\)といった数が一度に定義できます。クヌースの矢印表記を使うと、比較することができます。\)の左側の引数が1つ増えると、矢印が1本増えます。$$次に何が起きるかわかりますよね。$$2変数関数の限界に来てしまいました。ここでまた、「番号」の概念を導入します。\)を用意すればよいですね。\)番目の関数」だと思ってください。\)の左側の変数は矢印の本数に相当するのでした。\)は矢印表記と同じ大きさの関数になります。これでは面白くありませんね。\)の\(x\)の部分を再帰させてみました。この過程は少しわかりにくいので、ゆっくり行きましょう。近似と言っても、実際の値は非常に異なる(だが巨大数的には十分近い)ことに注意してください。$$そういえばこの構造、どこかで見たことがありますね。\)を64段重ねるとグラハム数を超えることが分かります。\)はグラハム数より大きいということです!ついに、ギネスブックに載った数として有名なグラハム数を超えてしまいました!でも、巨大数的にはまだ序盤です。\)を作ることができます。\)の定義を出します。0は自然数に含まないものとする。\)の限界に対応する近似式を以下に示します。\)を定義して、巨大数を定義して、これで終わりにしましょう。$a$は自然数とする。$X$は0個以上の1とする。$Y$は0個以上の自然数とする。0は自然数に含まないものとする。\)以上の実数になっていることの証明は第2回幻想巨大数の審査員への演習問題となります。何らかの極限の話でしょうか。注意:この記事では、0は自然数に含まないものとします。アーカイブはてなブログをはじめよう!asangi_a4acさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。