{}の中はaとhを作用させてて、hはHの要素だよということを示している。おいて、hにaを左から作用させても、右から作用させても、結果がまったく変わらない場合、その部分群Hは正規部分群Nと呼ばれる。群Gにおける正規部分群Nの剰余類がつくる商集合G/Nがあったとき、その演算を(aN)(bN)=(ab)Nとすると、その商集合G/Nは群の公理をクリアーし群になる。例題1次の置換σの位数を求めよ。剰余群S5/〈σ〉の位数を求めよ。σ=[12345][42531]∈S5この置換は1は4に2は2のままで3は5に4は3に5は1に変えていってね!というルールなのでσ1=[12345]→[42531]σ2=[12345]→[42531]→[32154]σ3=[12345]→[42531]→[32154]→[52413]σ4=[12345]→[42531]→[32154]→[52413]→[12345]と4ターンで元の数字の並びに戻ってくるので、σの位数は4。剰余群S5/〈σ〉の位数はS5の位数(要素の数)が5×4×3×2×1=120個なので120/4=30である。例題2次の置換σの位数を求めよ。剰余群S5/〈σ〉の位数を求めよ。σ=[12345][53214]∈S5この置換は1は5に2は3に3は2に4は1に5は4に変えていってね!というルールなのでσ1=[12345]→[53214]σ2=[12345]→[53214]→[42351]σ3=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]σ4=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]→[52314]σ5=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]→[52314]→[43251]σ6=[12345]→[53214]→[42351]→[13245]→[52314]→[43251]→[12345]と6ターンで元の数字の並びに戻ってくるので、σの位数は6。剰余群S5/〈σ〉の位数はS5の位数(要素の数)が5×4×3×2×1=120個なので120/6=20である。例題33次対称群S3の部分群をすべて書き出し、正規部分群になるものとそうでないものに分類せよ。ちなみに対称群とは、ルービックキューブのように位置や順番を並び替える操作を元とする群のこと。S3の元はι(イオタ。σ2=[123]→[321]=(13)σ3=[123]→[132]=(23)σ4=[123]→[231]=(123)※電光掲示板的に左ループ(1→2、2→3、3→1)σ5=[123]→[312]=(132)※電光掲示板的に右ループ(1→3、3→2、2→1)となる。σ1の操作を2回するのと、σ2の操作を2回するのは、元に順番に戻るという意味で同じこと、という感じでσ12=σ22=σ32=ιよって{ι、(12)}{ι、(13)}{ι、(23)}は正規部分群(※恒等置換と等しい元と指数が2の元は正規部分群)。σ42([123]→[231]→[312])=σ5([123]→[312])σ52([123]→[312]→[231])=σ4([123]→[231])σ4σ5=σ5σ4=ιより{ι、(132)、(123)}も正規部分群。ιとS3も定義上(どんな元を右から演算しても左から演算しても同じ)正規部分群。したがってS3の正規部分群はS3={ι、(12)、(13)、(23)、(123)、(132)}の6つ。