今回は、相加平均と相乗平均の話です。言葉がまず少し難しい印象ですね。相加平均は、小学生の頃からお馴染みのいわゆる「平均」です。たし算の平均が相加平均。n個の数の和をnで割ったものです。相乗平均は、n個の数の積のn乗根となります。かけ算の平均が相乗平均です。単元を学習していませんので、この「n乗根」というのが厄介です。今回の学習内容では、そこまで話を拡大する必要がありませんので、2つの数の積の平方根に限って話を進めましょう。相加平均は、2数aとbとの和を2で割ったもの。相乗平均は、2数aとbの積の平方根。a≧0、b≧0のとき(a+b)/2≧√ab等号はa=bのとき成り立つ。証明もそんなに難しくありません。左辺-右辺をやってみましょう。(a+b)/2-√abこれをまず通分します。=(a+b-2√ab)/2中3で学習した因数分解の公式が使えそうです。定理は、分数のままだと使いにくいので、両辺を2倍して、a+b≧2√abの形で利用することが多いです。実際に利用してみましょう。a≧0、b≧0とする。)内がそれぞれ和の形になっています。文字の並びからして相乗平均したら右辺のように文字が消えて数字だけが残りそうです。a=b=1のとき成り立つ。使うわけではありません。かかっているものとして読んでください。使うのだろうかと悩む高校生がときどきいますが、試しに使ってみると、すぐに式がグチャグチャになってきて行き詰まることがわかると思います。相加はあっても相乗がなさそうな式には、この定理は使えないのです。いえ、それが見抜けないと言う人もいます。いう人は、あれこれ悩む前に、可能性を感じるのならやってみたら良いと思います。手は動かさないのに、「どんなときに使うの?どうやって見分けるの?」と質問する高校生は多いのですが、手を動かし、試行錯誤すれば、見分けがつくようになります。なる前に説明だけ聞いて見分けようとしても、その説明が長くしかも細かくて何を言っているのかわからないということが起こりがちです。見分け方だけ聞くとなぜか安心するようなのが、見ていて恐ろしい。見分け方だけ聞いても、実際にそれで見分けられるようには、なかなかならないです。ことを頭においてください。定理を使わないのなら、どうやって解くのか?上の式はa≧0、b≧0ですので、左辺も右辺も正の数であることがわかっています。それぞれ2乗しても大小関係は変わりません。それぞれ2乗してみましょう。利用する3全体を2乗するなどのテクニックがあります。これらのうちのどのテクニックを使うかは、その問題ごとに自分で判断します。判断がつかないうちは試行錯誤してみましょう。数学の問題を解いていて一番楽しい時間は、この試行錯誤の時間だと思うのです。意味のある時間でもあると思います。高校数II「式と証明」。今回は、「不等式の証明」に入ります。以前、そういう鋭い質問を受けたことがあります。文字の値によって大小なんて違ってくるんじゃないの?そんなものをどうしたら証明できるの?勿論、個々の文字の値が何であるかによって大小が異なる場合がほとんどです。証明できるものはごく一部です。練習する問題は、証明できるものだけなのです。どんなときに左辺-右辺は0以上になるのか?左辺-右辺を何かの2乗の形にできるなら、それは0以上の数でしょう。実数の場合、2乗すれば必ず0以上の数になります。不等式は、これを用いて証明することが多いです。左辺-右辺=(x4+y4)-(x3y+xy3)=x4+y4-x3y-xy3項の順番を変えてみましょう。=x4-x3y-xy3+y4ここで、共通因数で括ります。)の中身が共通因数となりましたので、さらに因数分解できます。)は、さらに因数分解できます。3乗の公式を使います。=(x-y)(x-y)(x2+xy+y2)=(x-y)2(x2+xy+y2)さて、ここまで因数分解して、前半の(x-y)2は、2乗ですから、必ず0以上になります。ここは、平方完成してみます。平方完成を覚えているでしょうか?数Iの「2次関数」でやりました。頂点の座標を求めるために式を変形する方法です。)の外にはみ出しても、別に構わないのでした。今回はxについての文字式と考えて平方完成しますので、yはxの係数として扱います。x2+yx+y2=(x+1/2y)2-1/4y2+y2=(x+1/2y)2+3/4y2≧0この式は、前半も後半も2乗の形になっています。どちらも0以上の数だとわかります。0以上の数同士を足しても、0以上です。よって、この式は、0以上です。元の式に戻りましょう。(x-y)2(x2+xy+y2)=(x-y)2{(x+1/2y)2+3/4y2}これは、0以上の数と0以上の数の積であることがわかります。よって、全体も0以上です。左辺-右辺≧0左辺≧右辺これで証明できました。≧のように、等号が含まれている不等式の場合、どんなときに等号が成り立つかを書き添えるのが慣例です。(x-y)2{(x+1/2y)2+3/4y2}=0は、どんなときに成立するでしょうか。}の中身が0ならば、積は0です。x+1/2y=0かつy=0となります。「または」の後のほうは、y=0をx+1/2y=0に代入すると、x=0となり、よってx=y=0です。これは、前半のx=yの1例と考えることができます。以上が不等式の解き方の基本です。因数分解や平方完成を忘れてしまっていると上手くできないかもしれません。数学は、積み上げ科目。1つの単元が終われば、そのときに使った解法や公式は全て忘れる。いう勉強をしていると段々苦しくなるのは、こういうことがあるからです。1回学習したくらいでは身につかないのも事実です。因数分解ばかりしていると、平方完成のやり方を忘れる。平方完成ばかりしていると、因数分解のやり方を忘れる。戻って練習して、できるようになって、また忘れて、また練習しての繰り返し。それでいいと思います。無理だ、と諦めてしまう前に、まだできることがあります。