(3x2)p・xqという項がx10の項となることから、その指数部分だけを見て2の式を立てています。指数法則の理解が曖昧だと、ここは少し難しいところかもしれません。指数法則の基本を振り返ってみましょう。積の場合は、指数同士をたすことになります。累乗の場合は、指数の積となります。xの次数は、2p+qとなります。1・2を連立して解くと、p=2、q=6よって、3x2を2回、xを6回かけた項がxの10乗の項であるとわかります。あとは、二項定理にあてはめて、係数は、8C6・32・16=(8・7)÷(2・1)×9=4・7・9=252これが答えです。このような問題はどうでしょうか。展開したときのx11の係数を求めよ。後の項は分母にxがある分数です。前の項との積は、約分されてxの次数が減ってしまいます。あるのは上の問題と変わりませんが、xの指数はたし算ではなくなります。分母にあるだけのxを約分することになります。それが10だというのが、2の式です。x2を7回、1/xを3回かけた項がxの11乗となることがわかりました。二項定理より、10C3=(10・9・8)÷(3・2・1)=10・3・4=120係数は120です。二項定理だけでなく、指数法則の理解が必要なので、こうした問題は易しい教科書や問題集からは除外されていることがあります。使っている指数法則自体は中学校で学んでいる内容なのですが、pだのqだのと抽象化されると「全くわからない」と言う高校生は多いです。この先数II「指数関数」を学習した後に受験勉強で解き直すと、少しは理解しやすくなるかもしれません。いずれにせよ、大学入試はこのレベルです。センター試験は基本問題ばかりとは言いますが、計算ドリルみたいな問題は出題されませんので、最低でもこのレベルとなります。「多項定理」の学習です。(a+b+c)7の展開式におけるa3b2c2の係数を求めよ。(a+b+c)7を逐一展開することをイメージしましょう。考え方の基本は二項定理のときと同じです。)から文字を1つずつ選んでかけたものが、展開した際の1つ1つの項となります。aaaaaaaすなわちa7は1度しか出てきませんので、係数は1だとすぐわかりますが、aaabbccすなわちa3b2c2は、何回も同じものが出てくるでしょう。それらを選んで並べた順番だけ、同じ項が出てきます。aaabbccだったり、aababccだったりと、文字の順番はそれぞれ違うでしょうが、まとめるとa3b2c2となることに変わりはない同類項です。それの出てきた回数が、a3b2c2の係数となるでしょう。それは、aaabbccを並べる順列の数と同じです。ここでも用いるのは「同じものを含む順列」です。「同じものを含む順列」の考え方は2通りあります。前回は並んだ箱をイメージして、特定の文字を入れる箱をそこから選ぶという考え方を用いました。今回は別の考え方を用いてみましょう。aaabbccで言えば、まずは7つの文字の順列を単純に考えます。これは、同じ文字を別のものとして数えています。aについて考えれば、aの後ろに番号をつけて区別して、3つのa1,a2,a3をそれぞれ別の文字として数えていることになります。表面的には、それらは同じ文字です。実質は同じ並べ方で、区別する必要がありません。7!では、同じ並べ方を何度もかぶって計算していることになります。〇〇b〇bccの〇の位置にaがあります。その3つの〇にa1,a2,a3を並べる順列だけ、同じ並べ方を何度もかぶって計算しているでしょう。aに関しては、7!を3!で割ることで本当の順列の数が出てきます。次に、bについてはどうでしょう。これも同じで、2つのbの位置にどちらのbを入れても実質は同じなので、bの並べ方だけかぶって計算していますから、2!で割ることで本当の順列の数が出てきます。最後のcについても同様に、2!で割ることで本当の順列の数が出てきます。することで、正しい順列の数が導かれます。7!/(3!2!2!)=(7・6・5・4・3・2・1)/(3・2・1・2・1・2・1)=7・6・5=210これがa3b2c2の係数です。ところで、前回のようなCを使った求め方はできないでしょうか。上の問題で言えば、まず7つの並んだ箱をイメージします。その7つから、aを入れる3つの箱を選びます。次に、残った4つ箱からbを入れる箱を選びます。上の2つは積の関係が成り立ちますから、7C3・4C2で全体の数を求めることができます。ここで、残った2つの箱には自動的にcが入ります。計算しなくても良いのですが、2つの箱から2つを選ぶ、すなわち2C2をやるとしても、同じ結果になります。それをあえて書くと、7C3・4C2・2C2=(7・6・5/3・2・1)×(4・3/2・1)×(2・1/2・1)分数で表記するとよりわかりやすいと思いますが、これは上の解き方の、(7・6・5・4・3・2・1)/(3・2・1・2・1・2・1)と全く同じ式です。結局、この2つは同じ式になるのです。したら、上の解き方のほうが、簡単に立式できそうです。7!/3!2!2!の分子の「7」はどこから来た数字かというと、(a+b+c)7の「7」です。分母の3!2!2!の「3」「2」「2」は何の数字かというと、a3b2c2という項のそれぞれの文字の指数です。与えられた式の指数と求める項の指数を見ただけでささっと立式できます。そのようにして公式化されたもの。別の問題も解いてみましょう。展開式におけるa2b3c2の係数を求めよ。必要ですが、これだけではありません。それぞれの項に1以外の係数がありますので、それも考えます。bの係数は-1ですので、-bを3回かけたのですから、(-1)3も係数としてかけなければなりません。cの係数は2ですので、22もかけなければなりません。したがって、7!/(2!3!2!)・(-1)3・2=-210・4=-840これが答えとなります。二項定理も多項定理も、一度出てくるとまたしばらく出てこないせいか忘れやすく、忘れてしまうと公式の意味がわからないので使えなくなり、また公式の意味を一から説明しなければならなくなることが多い定理です。公式というのは不思議なもので、「この公式は以前に自分は理解した」「証明も理解した」という記憶が残っていれば、今、その証明を覚えていなくても、自信をもって使用できます。公式自体を完全に忘れてしまい、学習した記憶すらないようだと、急に「この公式を使って」と言われても、気持ちが硬直し、手が止まってしまって使えない人が多いです。その都度、なぜその公式で解けるのか、基礎の基礎に戻らなければなりません。多項定理の場合、説明しようとすると順列や組合せの基礎にまで戻らないといけないですし、実は順列と組合せもよく理解できていなかったことが掘り起こされてしまったりします。した復習は一度で済めば「良い機会だった」「良い復習ができた」という感想を教える者も教わる者も抱きますが、多くの場合、一度では済まない覚悟が互いに必要です。そのときはわかったような気がしても、また忘れてしまう人が多いのです。苦手なことを得意にするというのは、生易しいことではありません。忘れてしまうのだから、諦めて丸暗記して使えばいいのに・・・というわけにはいきませんし。記憶が残るようになるまでは何度でも説明。する覚悟が教える側に必要となります。いえ、教わる側にも遠慮が生じるようです。個別指導だから、わからないことは何度でも質問していいはずだけれど、センセイがちょっと変な顔をしているなあ・・・。以前に説明したのに・・・という顔だなあ。説明されたんだろうなあ。いうことはあるようです。そんなときは、教科書や参考書、こうしたネットの記録や動画を利用するのをお薦めします。応用問題の解き方などは調べてもわからない場合が大半と思いますが、基本の公式の意味と証明は、すぐに調べることができます。何度でも復習できます。話が変わりますが、先日、高校生から「英語のリスニング力を強化したい」という相談があり、それはリスニング教材で実際に練習するのも勿論だけれど、NHKのラジオ講座がいいよと話しました。そのとき、その子は、問い返しました。「高校の物理の先生がNHKの物理講座がいいというので、録画して見てるんで。それは、NHK高校講座の番組ですね。「・・・え?」といった、かなり混線した会話を交わしました。NHK語学講座のことも、それとは別系統のNHK高校講座のことも、知らない子は全く知らない。勿体ないことだと思います。NHK高校講座数学Iはテレビで、数学IIはラジオで通年放送中です。非常に易しいので、基本中の基本を理解したい人にお薦めです。急に授業が空いて、午後7時台にぽつんと1人教室にいるときなど、ラジオ講座数学IIを聴くことがあります。テキストがなくても聴き取れるほど易しいです。テキストがあればさらに易しいでしょう。│算数・数学2019年06月17日1学期中間テストの結果が出ました。1学期中間テストの結果が出ました。受験が終わり、新学期になり、塾生の顔ぶれもかなり変わりました。さあ、まずはここから。前回、数学が40点台、英語が30点台だった人は、順調に上昇しました。数学の成績が思うように伸びない高校生の保護者の方からこんなふうな相談をされることがあります。数学をこつこつ・・・。それは、数学を勉強している時間は長いのだろうけれど、質や量の面はどうなのかなあ・・・。大半の高校は、問題集を生徒に配っています。定期テスト範囲としてその問題集からページ指定があり、テスト当日の朝にそのページの問題を解いたノートを提出することになっている高校が多いです。数Iと数A、数IIと数Bのように、高校数学は2科目あります。1回のテスト範囲でそれぞれ15ページから20ページのテスト範囲が指定されます。数学が苦手な子は、高校数学の問題集を1ページ解くのに、2時間から3時間かかります。数学2科目で合計30ページの問題集を1回解くのに最低で60時間かかる計算になります。確かに数学をこつこつ勉強しているでしょう。それでもテスト範囲の問題集を1回解いただけなのです。その1回の中身も、質的にかなり怪しいのが実状です。公式を覚えていないので、教科書や問題集の解答解説と首っぴきで解いているのではないでしょうか。公式を代入するだけの基本問題ですら、教科書でその公式を見ながら代入しています。定期テスト必出の典型題も、解答解説を見ながら解いているだけです。そのように解答解説を見ながら解いても、時間はかかります。式を書き写した後は、自分で計算しようとする子が大半だからです。答えを書き写しているという意識が本人にはなく、わからないところだけ参考にしているつもりですから、そうなります。やって計算し終わって解答を見ると、間違っている・・・。どこかで計算ミスをしているのです。どこで計算ミスをしたのか?その発見と直しに、また時間がかかります。問題集を1回解き終わる頃には定期テスト前日になっています。その状態で定期テストを受けると結果はどうなるか?公式だけは、直前に暗記して、テスト用紙の上のほうに急いでメモしたとしても。どの問題でその公式を使うのか、よくわからない。その公式の代入の練習をしたのは随分前なので、どう代入するのかよくわからない。他の科目と比べて随分勉強時間を使ったのに、どうしてこんなに解けないんだろう・・・。いうことになりがちです。最初に公式を覚え、重要事項を復習し、その後、教科書や解答解説を見ないで問題を解くことです。勉強している時間は、有効に使いましょう。「あとで覚えよう」と思っていたら、高校の公式は覚えきれません。抜本的な解決策としては。学校の問題集で少しでも解答解説を見て解いた問題は、必ずチェックを入れ、時間をおいて解き直しましょう。別の問題集でも復習するとなお良いでしょう。それには、それだけの勉強をする時間の確保が必要です。問題集1ページに2時間も3時間もかかっているのを何とかしないといけません。何で1ページに2時間も3時間もかかるのか?解き方を考えているから時間がかかっているわけではありません。それならむしろ良いのですが、大抵は、1分と考えずに解答解説を見ているはずです。それでも、2時間から3時間かかるのは、計算が遅いからです。遅い上に計算ミスもするので、その直しにさらに時間がかかり、結果、1ページに2~3時間かかってしまうのです。数学は頭脳のスポーツと言われるくらいですから、若いほうが有利です。理系に進む子は、高校生の段階で、私よりも計算は速くなります。文系でも、最低限、私と同程度のスピードでなければ、センター試験を時間内に最後まで解くことができません。現実には、何にそれほど時間がかかっているのだろうと疑問なほどに計算の遅い子が多いのです。ノートを覗き込んでも、何をしているのかよくわからないのです。計算過程が数学が得意な子とは違うため、何をしているのか見てもわからない・・・。)をそこで開くの?なぜ、そことそこを約分するの?なぜ、そんな順番で計算するの?なぜ、そこで同類項の整理をしないの?それは、やり方が間違っていることもありますし、間違ってはいないけれど遠回りになっていることもあります。いうことの積み重なりが計算ミスをしやすい原因の1つであり、解くのにも直すのにも時間がかかる原因となっています。数学が頭脳のスポーツであるならば、計算には正しいフォームが必要です。合理的な正しいフォームで計算すれば、案外ゆっくり解いていても、答えは速く出ます。計算フォームというのは癖になっていて、きわめて直しにくいことの1つです。本人が強く自覚した上でも、矯正に時間がかかります。最初から正しいフォームを身につけていれば、こんなことにならないのに、と思います。そもそもかけ算・わり算の暗算が上手くできない人は、速く計算できません。そんなに凄い暗算をしろといっているわけではありません。×1桁、÷1桁を暗算する力を持っていてほしいのです。言えば、数字を頭の中で因数分解する力が欲しいのです。あることが筆算しなくてもパっとみてわかる力。あることを見てとれる力。どんな数が7で割りきれ、どんな数が9で割りきれるかを見る力。これができないと、小学校5年以降の分数の通分・約分にもたつきます。小6以降、分数のかけ算・わり算にもたつきます。中1以降、小数の計算がほぼ姿を消し、分数計算ばかりになるため、数学そのものに苦手意識を持ちます。中3以降、因数分解が上手くできません。中3以降、平方根の整理にもたつきます。中3以降、2次方程式の計算にもたつきます。中3以降、三平方の定理の活用にもたつきます。高1以降、2次関数の整理にもたつきます。高1以降、三角比の計算にもたつきます。高1以降、確率の計算にもたつきます。高1以降、データの計算にもたつきます。高1以降、不定方程式の計算にもたつきます。高2以降、・・・もうやめましょう。整数を見たときに、その整数が何かの積の形に見えること。それができない数は素数であることを認識していること。数学が得意な人にとって当たり前のそのことに、数学が苦手な人は気づいていないことがあります。小学校5年になって約分・通分を学習してから急に「かけ算・わり算は暗算しろ」と命令されるわけではありません。言われない形で練習を繰り返しているのが、わり算の筆算です。わり算の筆算をスムーズに行う子は、×1桁、÷1桁の暗算がスムーズにできる子です。言えば、わり算の筆算はそれにひき算も加わりますから、総合格闘技のようなものです。わり算の筆算自体は、中学以降は使う機会が減っていきます。全て分数で処理していきますから、筆算で割るのではなく、約分していきます。その約分は、わり算の筆算で鍛えてきたからこそ楽にできるようになるものです。約分は、わり算を暗算で行うものだからです。約分しなければならない段階になって急に「暗算しなさい」と言われても、練習していない子には難しいのです。わり算の筆算が得意だった子は、最初から大きな数でバッサバサと約分できます。2や3で約分することを繰り返して途中で計算ミスをしたり、答案が汚くなって自分で見誤るといった事態を避けることができます。将来の約分のためにも、わり算の筆算は有効。ところが、全く暗算しないでわり算の筆算をする小学生もいます。商にまず「5」を立てて、実際に筆算し、違ったら消してやり直すのです。何でも「5」から始めて、1ずつ数字を上げていったり、下げていったりするのです。・・・誰が教えたのだろう、こんな頭を使わない方法を。人間はコンピュータじゃないんですから、無駄なことを機械的に全部試すようなことは、させたらダメです。コンピュータはそういうことを猛スピードでできるので計算の結果は速く出ますが、人間がそれをやったら単なるわり算の筆算1問に5分もかかることがあります。人間を性能の悪い電卓にしてはいけない。わり算の筆算は、わり算をするためだけに練習しているのではありません。その先の学習の準備も兼ねています。全ての学習は、上へ上へと積み上がっていくのです。同じようにそれを教わっても、商に何でも「5」を立てることの無駄に早い時期で気づく子もいるでしょう。予測を立てて、一度で正しい商を立てたら良くないか?わる数と予測した商との積を頭の中で暗算して、その商が正しいことを確認することは可能ではないか?繰り上がってくる数があるのが少しややこしいけれど、やろうと思えばできる。思う子は、商をスパスパ立て、わり算の計算問題をこなしながら、暗算力も鍛えていくのです。何でもまず「5」を立てて順番にやれば頭を使わなくていい。そんなところに安住していたら、将来、数学は相当苦しいものになると思います。・・・結局、そういうことの繰り返しだったのではないか?例えば、中学3年になったとき、平方根の整理は、頭の中で数字を分解せず、何でも素因数分解の筆算をしてきたのではないか。平方根のかけ算は、平方根どうしをまずかけ算して、たとえ3桁の数になったとしても、それから素因数分解してきたのではないか。不器用で回り道なやり方を、それが一番頭を使わない方法だから、常に選択してきた。その結果が、今、高校数学の、遠回りで計算ミスだらけの答案になっているのではないか?工夫したやり方、頭を使うやり方を避けて、地道でも必ず答えの出るやり方を選んできたつもりが、地道過ぎて時間ばかりかかり、途中で計算ミスするため正答の出ないやり方にいつの間にかなっていた・・・。高校生の数学の答案に、そのような痕跡を見ることがあります。計算のフォームを変えましょう。遠回りで無駄な計算を長年やってきた分だけ、直すのに時間はかかると思います。それでも、改革が必要なことはあります。高校数II「式と証明」、4次式の展開と二項定理。数IIの学習に入り、まずは3次式の展開、そして3次式の因数分解と学習しました。今回は、4次以上の式の展開に進みます。これは「二項定理」を用いて解いていくのですが、「二項定理」を理解し活用するためには、数Aで学習した「同じものを含む順列」という学習内容が身についていることが必要です。「同じものを含む順列」を理解するためには、「組合せ」の基本を理解していることが前提となります。前回の3次式の因数分解でもそうでしたが、数I・数Aの学習内容が身についていないと、新しい定理の学習が上手く進みません。授業では、「二項定理」を説明する前に、「同じものを含む順列」や「組合せ」について確認することが多いです。以下は、順列と組合せの復習です。a、b、c、dから3つを選んで順番に並べる方法は何通りあるか。樹形図をイメージして考えていきます。1番目にくる候補は4通り。2番目は、そのそれぞれから樹形図の枝が3通りに広がります。3番目は、さらにそこから2通りに広がっていきます。したがって、式は、4×3×2=24高校数学では、4P3=4・3・2=24と表します。したがって、順列の一般式は、nPr=n(n-1)(n-2)・・・・(n-r+1)となります。最後の(n-r+1)の意味がよくわからないという生徒がときどきいますが、要するに、nから順番に1ずつ小さくなる数を全部でr個かけていくということです。上の4P3ならば、4から始めて、4・3・2と全部で3つの数をかけました。それに対して「組合せ」は選ぶ順番は関係ない選び方です。a、b、c、dから3つを選ぶ方法は何通りあるか。3つ選ぶだけなので、順番は関係ないですね。abcという選び方も、acbという選び方も、同じ選び方です。順番が関係ないことが「順列」との違いです。上の4P3の計算方法では、同じ選び方を何回もダブって数えてしまうことになります。具体的には、どれくらいダブって数えてしまうでしょう。abcを例にとれば、そのabc3つの並べ方だけダブって数えているでしょう。abc、acb、bac、bca、cab、cbaの6通りです。この計算方法は、3つから3つを選んで並べる順列です。よって、組合せは、上の4P3を3P3で割れば求められます。(4・3・2)÷(3・2・1)=4答えは4通りです。一般式としては、nCr=nPr÷rPrです。「組合せ」の基本の復習が終わったところで、次は「同じものが含まれる順列」の復習に進みます。a、a、a、b、bの5文字の並べ方は何通りあるか。これは、普通の順列5P5ではダメです。普通の順列の計算では、3個あるaや2個あるbをそれぞれ区別して並べてしまうことになりますが、見た目が同じものは、同じ並べ方です。このaとあのaは実は違うと言われても、見た目が同じですから、同じ並べ方として数えるしかありません。5P5では、同じ並べ方を何回もダブって数えてしまうことになります。するか?同じものが含まれる順列は、これらの文字を入れる箱をまずイメージします。この問題では、5個の箱が横に並んでいると考えます。その箱のどれにa3個を入れるかを考えます。残る2個の箱には自動的にbが入ります。3個の箱の選び方は、5C3=(5・4・3)÷(3・2・1)=10答えは10通りです。ちなみに、aを入れる箱を選んでから、残る2個の箱からbを入れる箱2個をあえて選んでも同じ結果となります。5C3・2C2=(5・4・3)÷(3・2・1)×(2・1)÷(2・1)=10同じです。以上で復習が終わりました。ここから一番上の問題を解いていきます。)を全て書いていけば、この式は、(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)となります。これを、まずは公式を使わず、逐一展開してみましょう。)から、1つずつ文字を選んで順番にかけていくことで展開できます。(a+b)4=aaaa+aaab+aaba+aabb+abaa+abab+abba+abbb+baaa+baab+baba+babb+bbaa+bbab+bbba+bbbb同類項をまとめると、=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4となります。)の中の文字aとbのどちらか1つを選んで4つ並べていくことで1つの項が形成されるのをご理解いただけるでしょうか。地道に展開すると、このように解いていくことになります。これを、このように逐一展開するのではなく、計算で解いていく方法はないでしょうか。同類項ごとに、同じ同類項が何回出てくるのか考えてみます。aaaaすなわちa4という項は1つしかないですね。aaab、すなわちa3bは、逐一展開する中で何回か同じものが出てくることが予想されます。それは、何回出てくるのでしょうか?その回数がa3bの係数となるでしょう。その計算方法はないでしょうか?それは、aaabの4文字の並べ方と同じ数ではないでしょうか。)からbを選んだかの数と同じという言い方もできます。「同じものを含む順列」の考え方をここで利用します。aaabの4文字を並べる順列。4つの箱をイメージします。bを入れる箱を選びましょう。ちなみに、aを入れる箱3つを選んでも、同じ答えになります。4C3=(4・3・2)÷(3・2・1)=4です。次に、aabb、すなわちa2b2の係数はどうなるでしょう。aabbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。4C2=(4・3)÷(2・1)=6です。abbb、すなわちab3の係数はどうでしょう。abbbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。4C3=4C1=4です。最後にbbbb、すなわちb4は、1回しか出てこないとすぐに判断できますが、これも組合せの考えを使うならば、4C4=1とみなすことができます。最初のaaaaすなわちa4の係数も、4C0=1とみなすことができますね。bを1回も選ばないということです。よって、(a+b)4=4C0a4+4C1a3b+4C2a2b2+4C3ab3+4C4b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4逐一展開したときと同じ結果になりました。^)ノこれを一般化したものが「二項定理」です。二項定理をここに書こうかと思いましたが、このブログの形式では、上の式でも読みにくいのに、nだのrだと文字ばかりになると最悪の読みにくさなので、公式の確認はお手元のテキスト等をご覧いただけますと幸いです。円の面積に関する応用問題。半径2cmの円を組み合わせた上の図の灰色の部分の面積を求めなさい。円周率は3.14とします。この図をどう見るか、そして計算の工夫をどうするかで、この問題を解くスピードは大きく違ってきます。最短で1分とかかりませんが、計算にまごつくと10分以上かかることもあると思います。比較的発想しやすい普通の解き方で考えてみましょう。4つの円が重なっているこの図の、重なって白抜きになっている葉っぱのような形に注目します。受験算数では、「葉っぱ形」あるいは「ラグビーボール形」などの通称でおなじみの形です。4つの円の面積の和から、この葉っぱ形を引けば、求める面積が出ます。葉っぱ形を何個分引けば良いでしょう?4個?いいえ。二重に重なったものが両方の円について白抜きになって失わているのですから、1つの葉っぱにつき2個分の面積が失われていることになります。したがって、4つの円の面積の和から、8個の葉っぱ形の面積を引けば、求める面積が出ます。ところで、葉っぱ形の面積はどうすれば求められるでしょう。近年は、小学校の教科書にも葉っぱ形の面積1つを求める問題は載っています。この葉っぱ形の求め方も、考え方は2つあります。1つは、まず葉っぱの半分を求めて、それを2倍する方法です。引くことで、葉っぱの半分の面積を求めます。今、この図の葉っぱ形は、1辺2cmの正方形に囲まれている葉っぱ形です。半径2cm中心角90°のおうぎ形から、直角を挟む2辺の長さが2cmの直角二等辺三角形を引くと、2×2×3.14÷4-2×2÷2=3.14-2=1.14これが、葉っぱの半分の面積ですから、葉っぱ1つの面積は、1.14×2=2.28葉っぱ形の面積も求め方の、もう1つの考え方は。90°のおうぎ形を向かいあわせに重ねて正方形を作ったときの重なった部分が葉っぱ形となります。いうことは、おうぎ形2つ分から正方形を1つ引いたものが、葉っぱ形となります。2×2×3.14÷4×2-2×2=6.28-4=2.28葉っぱ形の求め方に関する基本的な考え方はこの2つですが、中学受験では葉っぱ形はよく出てくるので、その都度いちいちこんなことをしているのは面倒です。正方形の中で葉っぱの面積はどのような割合になっているかを考えてみるのはどうでしょう。数値のわかりやすい基本となる正方形で考えてみます。1辺1cmの正方形に囲まれた葉っぱ形の面積は、上の求め方を用いるなら、1×1×3.14÷4×2-1×1=1.57-1=0.57面積が1cm2の正方形の中に、0.57cm2の葉っぱ形があります。この割合は、正方形が大きくなっても小さくなっても、変らないでしょう。葉っぱ形は、常に正方形の面積の0.57倍です。0.57倍ということだけ覚えておけば、とても簡単ですね。「名探偵コナン」と、ごろ合わせで覚えておきましょう。0.57という数字は、中学生になって円周率がπになったらもう何の意味もない数字ですので、中学受験をするのでなければ覚える必要はありません。そんなものを覚えるより、葉っぱ型をどうやって求めるか、その考え方は理解しておいたほうが良いのです。その考え方は、中学で円周率がπになっても使います。上の問題の葉っぱ1つが2.28cm2だとわかりました。これで問題を解くことができます。円4つから葉っぱ8つを引きます。2×2×3.14×4-2.28×8真面目に計算してもミスしなければ答えが出ますが、少し計算の工夫をしたほうが簡単でしょう。この解き方でも、勿論答えは出るのですが、よりスマートな解き方はないでしょうか?この図を見てください。あれ?直しても直しても画像が傾く・・・。仕方ないので、この図で説明しましょう。上の図を、円が4つ重なっているのではなく、東京都のマークのようなイチョウの葉が4つある図と見ます。その1つに着目し、葉っぱの茎の付近の部分を上の図のように長方形で囲みます。この長方形は、中心角90°のおうぎ形2つと、葉っぱの茎の部分とに分けられるのが見えるでしょうか。中心角90°のおうぎ形2つ?それは、茎より上の部分の半円を2つに分ければ、ちょうど、中心角90°のおうぎ形2つになります。イチョウの葉と、長方形とは、面積が等しいです。求める面積はイチョウ4個分ですから、2×4×4=32答えは、32cm2。簡単に求めることができますね。ほんのちょっとした発想や計算の工夫で、難しい問題はとても簡単に解くことができます。高校数II「式と証明」。3次式の因数分解と対称式の計算。今回から数IIの学習に入ります。「3次式の因数分解」です。