-ストイケイア-ユークリッドの『原論』を少しずつ読んでいくブログです。公理8等しい底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。前々回の命題38で、等底で同じ平行線の間にある三角形は、面積が等しいことを示した。今回は、その逆である。stoixeia.hatenablog.com(ΒΓ=ΓΕ)二つの三角形ΑΒΓ、ΓΔΕが互いに等しく、かつこれらの底辺ΒΓ、ΓΕがそれぞれ等しいとする。このとき、両者は同じ平行線の間にあることを示す。ΑΔを結んだとき*1、ΑΔがΒΕに平行であることを示す。証明方法は、前回の命題39とほとんど同じだ。背理法を使い、ΑΔ以外のいかなる線分も、ΒΕに平行にならないことを示そう。ΑΔが平行でないとし、点Αを通りΒΕに平行な直線を引く*2。それとΓΔとの交点をΖとし、ΖΕを結ぶ*3。ΑΖ)すると、三角形ΑΒΓは三角形ΖΓΕに等しい。底辺が等しく、同じ平行線ΒΕ、ΑΖの間にあるからだ*4。ΑΒΓはΔΓΕにも等しかったので、ΖΓΕもまたΔΓΕに等しい*5。全体は部分より大きいので、これは小さいものが大きいものに等しいことになってしまう*6。よってΑΖはΒΕに平行でない。同様にして、下図のように、点ΖがΔについてΓと反対側にある場合にも、ΑΖが平行でないことが示せる。ゆえに、ΑΔ以外のいかなる直線も、ΒΕに平行でない。したがって、ΑΔはΒΕに平行である。よって等しい底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。これが証明すべきことであった。前回と全く同じ証明方法であることがわかるかと思う。stoixeia.hatenablog.com文章も、意図的にほとんど同じにしてある。『原論』でも、ほぼ同じ文章が書かれている。いえば、前回も今回も証明の最後の部分で、平行線が少なくとも一本引けることを前提としている。上の証明は、ΑΔ以外の線分が平行にならないことを示しているだけで、ΑΔが平行であることを直接示しているわけではない。平行線が一本も引けない場合がある世界だったら、この証明では不十分だ。平行線が少なくとも一本引けることは、命題31が(暗に)保証している。よって、この証明で安心して納得してよい。stoixeia.hatenablog.com今回の図で、二つの三角形が頂点Γを共有していた。これが気になった人がいるかもしれない。いうわけか、『原論』ではこのような図を描いているのだ。以下のような図でも、同様に証明できる。そもそも、今回の命題の“もと”である命題38では、二つの三角形は離れていた。それを敢えてくっつける理由は、よくわからない。今後この命題を使う際は、くっついている図を利用するのかなと思ったのだが、第1巻では今後、この命題を使わない。したら、第2巻以降で登場するのかもしれない。そのときにどんな形で出てくるか、楽しみに待っていよう。(2018/05/06追記)参考文献[3]によると、どうやらこの命題は後世の追加だと考えられているようだ。どうりで、この命題が他の命題で利用されていないわけである。参考文献このブログは、主に下記の文献を元に書かれています。記事中で単に参考文献と書いた場合は、[1]を指します。-1213-tsujimotterのノートブックINTEGERSアジマティクスますぱらCorollaryは必然に。高校数学の美しい物語mattyuuの数学ネタ集フィボナッチ・フリークはてなブログをはじめよう!kiguroxさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。