1−8以上は、検索用の目次です。ワープロ等で検索できます。1−7など)を、Ctrl+Cでコピーする。(2)検索の画面で、検索したい文字の欄に、Ctrl+Vで貼り付ける。(3)検索を実行する。保存し直してください。(その方法:MS-Wordの場合(1)MS-Wordを起動する。(3)このホームページのファイルを選択して、呼び出す。(4)「ファイル」→「名前をつけて保存」を選択する。(5)MS-Wordの形式(.doc)で、保存する。(6)通常画面に戻る。(7)1行の文字数を35字にするよう、書式を設定する。)(8)上書き保存を実行する。(9)印刷を実行する。)(その方法:一般のワープロソフト[一太郎など]の場合(1)ネットスケープなどで、このホームページのあるファイルを呼び出す。(2)「ファイル」→「名前をつけて保存」を選択し、txt形式で保存する。(3)ネットスケープなどを終了する。(4)ワープロソフトを起動する。(5)「ファイル」→「開く」で、「ファイルの種類」を「すべて」に設定する。txt形式文書を呼び出す。(7)1行の文字数を35字にするよう、書式を設定する。)(8)「ファイル」→「名前を付けて保存」で、そのワープロの形式で保存する。(9)印刷を実行する。中学校や高校で教わる「集合論」は、世間一般では、正しい理論だと思われている。それは、厳密に言えば、間違った理論である。厳密な数学的観点から見ると正しい理論ではないし、また、将来の大学で学ぶ数学の基礎となるわけでもない。かかわらず、中学校や高校では、集合論を教える。教師が愚かであるからではない。そこには現代数学の、根本的な困難がひそんでいるのである。問題点があるとわかっていながら、なおかつそのような理論を教えざるをえないのである。本論では、それらの問題点を指摘し、さらに、それらの問題点を解決する方法を提出する。1−1集合論を教える際、次のように言われる。「集合論は数学の基礎である」「現代数学は集合論の上に成り立つ」などと。ところで、集合論には、二種類あるのだ。一つは、人々が中学や高校で学ぶもので、「素朴集合論」と呼ばれる。この両者について、説明しよう。素朴集合論とは、要するに、中学や高校で学ぶ集合論のことだ。次のような式で表される。偶数全体の集合の要素である」ということである。数学の専門家の使う集合論のことだ。それは公理系の上に成り立つ数学理論である。ユークリッド幾何学がその公理系の上に成り立つのと同様に、公理的集合論はその公理系の上に成り立つ。公理的集合論の公理は、複雑な数式で表される。どちらも「集合論」という名前をもっているのだから、どちらも似たようなものだ、と人々は考えやすい。この二つは、似ているように見えるが、まったくの別物なのだ。本来は、そうなるはずではなかった。素朴集合論を数学的に厳密に表現すれば、公理的集合論ができるはずだった。実際、20世紀の初めごろ、数学者たちは、そうしようとして努力してきた。ところが、その試みは、失敗したのである。素朴集合論を数学的に厳密に表現すれば、矛盾が生じる。(それは「ラッセルのパラドックス」「カントールのパラドックス」と呼ばれる。)そこで、これらの矛盾を回避しようとして、公理的集合論は、だんだん少しずつ改良されていった。最終的に改良されてできたものは、ZFと呼ばれる。今日われわれが「公理的集合論」と呼ぶものは、このZFである。ZFは、改良された結果、矛盾を生じることはなくなった。その代償として、素朴集合論との関係を断ち、まったく別のものとなったのである。ZFと素朴集合論とは、まったく別のものだ。いうより、たがいに矛盾するものだ。どちらかが正しければ、どちらかが間違っていることになる。専門家が「集合論」と呼んでいるものと、一般の人々が「集合論」と呼んでいるものと、この二つのうち、少なくともどちらか一方は間違っているわけだ。専門家が「集合論」と呼んでいるものが正しいとすれば、われわれが学校で教わる集合論は間違っていることになる。聞いても、にわかには信じがたいかもしれない。これは、筆者の個人的見解ではない。数学者の間で広く知られた事実である。この点を突き詰めていくと、世間が混乱するので、あまり口に出さないだけである。そこで、以下では、もう少し詳しく説明する。この二つの集合論が、どのような関係にあり、どのように矛盾しているのかを。中学や高校の教科書には、こう書かれてある。「集合とは、物の集まりである」そして、次のような例が挙げられている。「すべてのカラスの集合」なるほど、すべての人間にせよ、すべてのカラスにせよ、それらは「物の集まり」である。公理的集合論では、これらは「集合」とは見なされない。これらは集合とはなりえないのである。公理的集合論では、集合とは「物の集まり」ではない。それは、次のように示せる。「空集合だけを前提とし、そこから一定の操作により、作り出されたもの」ここで、空集合とは、カラッポの集合のことだ。形だけあって中身のないもののことだ。この空集合に対して一定の記号的な操作を加えたものだけが、「集合」と見なされる。要するに、記号をいじくることにより作り出された記号的な産物だけが、「集合」と見なされる。それ以外のものは「集合」とはならない。この現実世界のものは「集合」とはならない。人間も、カラスも、いずれも集合とはならないのだ。結局、こういうことだ。素朴集合論は、「物の集まり」を扱う。公理的集合論は、「物の集まり」を扱わない。公理的集合論が扱うのは、「すべての偶数」とか「すべての自然数」などの、数学的な対象だけである。この世界のほとんどすべてを扱う。この意味で、公理的集合論は素朴集合論よりも、ずっと小さな理論である。それは、公理的集合論が、厳密な理論だからである。素朴集合論は、扱える対象が広いが、そのせいで、矛盾がまぎれこみやすい。数学という厳密な世界を築くには適さない。数学にとって大切なのは、理論の豊かさよりも、理論の厳密さなのだ。以上に述べたように、この二つの集合論は決定的に異なる。「物の集まり」を扱うことを、公理的集合論は禁じている。その禁じていることを、素朴集合論は犯しているのだ。両者はたがいに矛盾する。一方を選ぶならば、他方を捨てねばならない。両方をともに選ぶことはできない。1−3にもかかわらず、現代の数学者は、現状にほぼ満足している。彼らは素朴集合論のことなど、念頭にないからだ。ZFのみを使っている限りは、矛盾を生じないからだ。彼らは、こう思っている。「ZFは、数学的な対象を扱えるだけで、現実世界のものを扱うことはできない。数学は、数学的対象だけを扱えれば十分だ。現実世界のものなど、扱えようが扱えまいが、どちらでもいい」と。それは一つの見解である。そもそも公理的集合論は、素朴集合論から生じたのだ。その源である素朴集合論との関係を、断ってしまっていいのだろうか?ZFには、公理がある。その公理は、素朴集合論の考え方を、数学的に形式化したものだ。和集合を作ったり、共通集合を作ったり。......こうした操作は、素朴集合論における基本的な操作である。ゆえに「自明なこと」として、ZFは取り入れた。述べたとおり、ZFは、素朴集合論とは別のものなのだ。たがいに矛盾するものなのだ。したら、素朴集合論の操作をZFの公理に取り入れることなど、できないはずである。そんなことをして理論をつくっても、まったく、根拠を欠いている。砂上の楼閣をつくるようなものである。ZFは、このようにしてあやふやな土台の上に、成り立っている。そのようなZFの上に、現代数学は成り立っているのだ。すれば、現代数学そのものの根拠がぐらついてしまう。「それでもいい」と多くの数学者は考えているようだ。「別に深いことは考えなくてもいい。形式の上で、矛盾を生じなければいい。意味よりも、形式が大切だ」と。した立場は、「形式主義」と呼ばれ、現代数学の主流をなしている。少数の数学者は、形式だけでなく、物事の本質を深く考えようとしている。深く考えれば深く考えるほど、問題が込み入ってしまうのである。視点を現代数学の外に移してみよう。すると、初めの問題が何ら解決されていないことに気づく。そもそも、人々は、「すべての人間」や「すべてのカラス」を扱う理論がほしかったのだ。現実世界のものを扱う理論がほしかったのだ。現代数学が人々に与えてくれたのは、「すべての偶数」などだけを扱うような理論だけなのだ。素朴集合論を「間違っているもの」として捨てることを強要しているくせに、素朴集合論の代わりの品を与えてはくれないのだ。これでは、われわれは途方に暮れてしまう。それは、はっきりしている。述べたことを思い返せば、明らかだろう。物の集まりを扱うこと。現代数学を矛盾なく構成できるような、厳密な理論体系を築くこと。この二つの目的を、同時に達成したいのである。(2)はZFが達成したが、そのどちらか一方ではなく、双方をともに達成したいのである。そのようなことは、可能だろうか?20世紀初めのころ、数学者たちは、それは可能であると信じた。その実現をめざして、多くの数学者が奮闘した。その結果、さまざまな理論が生まれた。よい理論も生まれ、よくない理論も生まれた。そのあげく、最後に残ったのは、ZFだけだった。正確に言えば、他にもいくつかの理論が残ったのだが、それらはいずれも、数学的にまったく同等であることが証明された。われわれが手に入れた理論は、実質的には、ZFだけなのだ。他には選択肢はないのだ。ZFは、先の二つの目的のうち、(2)の方を達成しているだけで、(1)の方は達成していない。(1)と(2)の双方をともに達成するような理論は、いまだ生まれていない。20世紀の末となった現在でも、そうなのだ。現在の数学には、上に述べたような困難がある。その困難を、困難として認識していない数学者が多い。今の数学は完成した体系だと信じて、そこにひそむ問題点には目を向けない数学者が多い。実は、公理的集合論には、非常に多くの問題点があるのだが。Part2》で、詳しく示す。Part2》を読んでほしい。以上では、現代数学の問題点のいくつかを、簡単に示した。これらは、数学の世界でよく知られた事実である。以下では、私の個人的な見解を述べる。Part2》へ進んでもよい。以下のことは、またあとで読み直してもよい。1−5私はここで、新しい理論を提出する。この理論は、先の(1)(2)の目的を、ともに達成するものである。物の集まりを扱うことができて、しかも、現代数学を厳密に構成することができる。この新しい理論は素朴集合論を、考え方の基礎としている。その点ではZFとは変わらない。ZFとは、形式化の手順がまったく異なる。ZFは、素朴集合論を単にそのまま形式化した。ZFの基本的な考え方は、素朴集合論と同じである。その意味で、ZFはまさしく集合論と呼べる。私の示す新しい理論は、素朴集合論を考え方の基礎としているが、素朴集合論を単にそのまま形式化したわけではなく、ある重要な変更を加えている。その意味で、私の示す新しい理論は、集合論によく似てはいるが、もはや「集合論」と呼ぶことはできない。そこで、この理論を、「区体論」と呼ぶことにしよう。集合論と区体論は、兄弟のように似ているが、異なる理論である。異母兄弟のようなものである。以下では、区体論について、解説する。(注)なお、読み方と英訳は、次の通り。集合とは何かを、考えてみよう。集合とは、「物の集まり」それ自体ではなく、「物の集まりを一つにまとめたもの」である。ここに三つのリンゴがあるとしよう。この三つは、リンゴであって、集合ではない。これら三つを一つにまとめたものは、集合である。いう記号)を、カッコでくくることだ。このように記号をカッコでくくって、物の集まりを一つにまとめること。それが集合論の本質的な点だ。区体論では、物の集まりを一つにまとめたりはしない。すれば、どうやって、物の包含を考えるのか?あらためて例を挙げよう。1個のリンゴは2個のリンゴに含まれる。この場合の考え方を、集合論と区体論とで、比較してみよう。集合論では、次のように表現する。∈{B}∪{C}{B}⊂{B}∪{C}それぞれの式の意味は、明らかだと思うが、念のため、解説しておこう。いう記号によって、要素と集合の関係を述べている。いう記号によって、部分集合と集合の関係を述べている。いう二種類の記号が現れる。いずれも、日常語における「含まれる」ということを意味する。含まれる」と言っても、その含まれ方には、2種類あるわけだ。レベルが1段階上だと見なされる。(このレベルを集合論では「階型」と言う。)一方、区体論では、含まれ方は、1種類しかない。上の二つに相当することは、区体論では、次のように書かれる。相当する)とは、同種のものなのだ。同じレベルにあるのだ。それについては、次に記す。(注)なお、注意せよ。集合論と同じ形の記号を用いているが、厳密に言えば、区体論の記号は、集合論の記号とは、別のものである。(意味するところはほとんど同じであるが。1−7区体論の概要を、以下に記すこととしよう。区体論はだいたいのところ、集合論によく似ている。区体とはカッコのない集合のことだ、と考えてもよい。直感的なとらえ方だが。区体論について記すこととしよう。区体論では、以下のような記号を用いて、包含関係を示す。B⊂Rという式がそうである。この式の意味は「BはRに含まれる」ということである。R∩Sという式がそうである。(これは集合論と同様である。いう記号を用いて表される。R∪Sという式がそうである。(これも集合論と同様である。)以上の(1)(2)(3)について、例を示してみよう。今ここで、P=a∪bQ=b∪cと定義する。この場合、共通部分を考えると、次のようになる。P∩Q=bまた、和を考えると、次のようになる。P∪Q=a∪b∪c以上の意味は明らかであろう。カッコのないことを除けば、集合論の場合と同様である。