-ストイケイア-ユークリッドの『原論』を少しずつ読んでいくブログです。公理6等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある三角形は互いに等しい。前回は、底辺が共通な三角形の等積変形を論じた。stoixeia.hatenablog.com今回は、底辺が等しい場合について論じよう。(ΒΓ=ΕΖ)図のように、二つの三角形ΑΒΓ、ΔΕΖを、底辺ΒΓ、ΕΖが等しく、同じ平行線ΒΖ、ΑΔの間にある三角形とする。このとき、両者は(面積が)互いに等しいことを示す。証明方法は、前回とほとんど同じである。ΑΔを両方向にΗ、Θまで延長し*1、Βを通りΓΑに平行にΒΗを、Ζを取りΕΔに平行にΖΘを引く*2。ΖΘ)すると、二つの四角形ΑΓΒΗとΔΕΖΘは、ともに平行四辺形であり、しかも互いに等しい。底辺ΒΓ、ΕΖが互いに等しく、同じ平行線ΒΖ、ΗΘの間にあるからだ*3。二等分しているからだ*4。対角線ΔΖが、それを二等分しているから*5。互いに等しいので、それらの半分である二つの三角形ΑΒΓ、ΔΕΖも互いに等しい*6。よって、等しい底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある三角形は互いに等しい。これが証明すべきことであった。前回と同様、補助線を引いて等しい平行四辺形を作り、二つの三角形がそれらの半分なので等しい、と示した。注釈を書きたいところではあるが、それもだいたい前回の記事で書いてしまったので、そちらに譲ろう。他にも細かい突っ込みは、命題35から連続して色々書いている。今回も、三角形の重なり方には下図のように色々あるが、どの場合であっても、今回の方法で証明できる。「平行四辺形は対角線で二等分される」という命題は、中学のときに問題として出された記憶はあるが、定理として紹介された記憶はない。問題として出たあとも、それを使って何かをしたりはしなかったと思う。前回も今回も、この命題が大活躍している。こんなに活用されるとは思わなかったので、ちょっと意外だ。参考文献このブログは、主に下記の文献を元に書かれています。記事中で単に参考文献と書いた場合は、[1]を指します。-1213-tsujimotterのノートブックINTEGERSアジマティクスますぱらCorollaryは必然に。高校数学の美しい物語mattyuuの数学ネタ集フィボナッチ・フリークはてなブログをはじめよう!kiguroxさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。