変数とする滑らかな函数で、さらにコンパクト台を持つ。}T)}なる意味で両立する。対する制約条件をもう少し緩めてもなお有効である。の)代数的双対と呼ばれる非常に大きなベクトル空間の部分空間としてその全体を明示するものである。このような定義からは、このなかにどれほど奇妙な超函数が潜んでいるかといったようなことは、あまりはっきりとは伺い知れない。これに答えるには、連続函数の空間のようなより小さな空間から超函数を作り上げてみるというのが有益である。雑な言い方をすれば、任意の超函数は局所的に連続函数の(高階)導函数になっている。正確な内容は後で述べるとして、このことはコンパクト台付き超函数に対しても、緩増加超函数に対しても、もっと一般の超函数に対しても正しい。一般論として、超函数全体の成す空間のなかで、全ての連続函数を含み微分に関して閉じているような真の部分集合は存在しない。このことが示すのは、超函数の中に取り立てて奇妙な対象は含まれておらず、ただ必要に応じた複雑さを持っているだけであるということである。)}となるようにできる。なるようなものの存在を示すことができる。コンパクト部分集合とする。満たすようなものが存在する。これは局所化を考えることにより、すぐ上で緩増加超函数に対して述べた結果から従う。超函数の意味の導函数の有限線型結合になっている。平行移動作用素である。有限個となるようなものを求めることができる。(台が交わる)有限個だけなので、実質的には有限和であり超函数として矛盾なく定まる。あるようなものを取ることができる。テスト函数には正則函数の空間が用いられる。この精錬された理論は特に、層の理論や多変数複素解析を駆使する佐藤幹夫の代数解析学によって発展した。これにより、例えばファインマンの経路積分のような形式的な方法の範疇にあったものが、厳密な数学として扱えるようになった。乗法の問題[編集]1950年代にローラン・シュヴァルツが生み出したところのシュワルツ超函数論は(あるいは佐藤超函数論も)純粋に線型な理論であって、一般に二つの超函数同士の積については、整合のとれた定義を与えることはできない。}となるので、(いつでもきちんと定義できる)滑らかな函数による超函数への積を拡張する方法では、超函数の空間における結合的な積を得ることはできない。したがって、超函数論の中からは(積を含むような)非線型な問題は出てこないし、もちろん非線型な問題を超函数論の中だけで解決することもできない。場の量子論の文脈では解を得ることができる。二以上の次元の時空では、この問題は発散の正則化に関係する。ここにヘンリ・エプスタインとウラジミール・グラセルが因果的摂動論を数学的に厳密に(しかし相当技巧的に)発展させた。他の状況における問題は解決されていない。他にも例えば流体力学におけるナヴィエ・ストークス方程式のような興味深い理論の多くが非線型である。このような観点から、満足なものとはいえないながらも広義函数からなる多元環の理論がいくつか作られていて、中でも現在よく用いられているものとしてコロンボの(単純化)代数を挙げる事ができるだろう。乗法の問題の単純解は量子力学の経路積分による定式化によって記述される。それは、(経路積分と共有されるべきはずの性質であるところの)座標変換不変な量子力学のシュレーディンガー理論と同値であることが要請されるからである。何の日(2月24日)アメリカ:マーベリー対マディソン事件で合衆国最高裁判所が「憲法に反する法令は無効」とする判決。