最後の条件を除くと、楔積はこの面積の性質と同様の性質を満たす。ある意味で、楔積は面積の最後の性質を一般化し、適当に選んだ「標準的な」平行四辺形と比較することを許容したものであるといえる。次元の外積は面積の「基底に依存しない」定式化である[3]。おけるベクトルに対して、対応する外積代数はベクトルのクロス積およびスカラー三重積と近しい関係にある。{e}}_{3})\end{aligned}}}と書くことができる。{e}}_{3})\end{aligned}}}となる。これはスカラー三重積の通常の定義とよく似ている。3-次元における通常のクロス積やスカラー三重積は幾何学的・代数的の両面で解釈することができる。列ベクトルとする行列の小行列式を成分に持つベクトルとして解釈することもできる。列ベクトルとする行列の行列式となっている。3-次元における外積についても同様の解釈が許される。事実として、正の向きを持つ正規直交基底の存在性に関して、外積はこれらの概念をより高い次元へと一般化する。割った商多元環(英語版)として定義される[4]。{I}}}で与えられる。元の上で反対称的である。x_{k}}が成立する。