product)はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。線型代数学において外積は、線型変換の行列式や小行列式を記述する基底の取り方に依存しない抽象代数的な仕方を提供し、階数や線型独立性といった概念に根本的に関係してくる。上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。上の単位的結合代数である。v=0}を持つものである。v_{k}=0}を特別の場合として含む[2]。圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。外積代数は双代数のひとつの例である。外積代数の(ベクトル空間としての)双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。面積は2つの頂点の座標を成分とする行列の行列式で表される。つの単位ベクトルの組はその基底となっている。つの辺とする平行四辺形が一意に存在する。{w}}\end{pmatrix}}\right|=|v_{1}w_{2}-v_{2}w_{1}|}と表される。{e}}_{2})\end{aligned}}}のように定める。最初の部分では楔積に分配法則を適用し、ついで楔積が交代的であるという性質を用いた。それらの定義する平行四辺形の辺として時計回りあるいは反時計回りの向きがつけられることを意味する。このような面積のことを平行四辺形の「符号つき面積」という。符号つき面積の絶対値は通常の意味での面積であり、符号はその向きを与えている。この係数が符号つき面積となったことは偶然ではない。符号つき面積を代数的構造として公理化しようとすれば、必然的に外積と結びつくことが比較的簡単に確かめられる。下に挙げる性質を満たさなくてはならない。どちらかの辺の長さを変えれば、それに応じて面積も変わる。どちらかの辺の向きを変えれば、平行四辺形の向きは変わる。