集合として定義したうえで、冪集合公理を導入することで多様な集合の存在を示すことができるようになった。今回は部分集合の存在を示す公理を導入することで、より多くの集合の存在を示せるようにする。準備編のまとめ部分集合の存在証明はしていない前回の記事では部分集合というものを定義したが、まだ部分集合を作る方法は述べていない。この点を勘違いしている者もいるかもしれないので詳解する。属するモノの数が有限である部分集合は外延的記法で記述できるので、対の公理と和集合の公理によってその存在は保証される。部分集合である「偶数だけが属する集合」のようにモノが無限に属する部分集合の存在は示せない。冪集合公理は部分集合がすべて属する集合の存在を保証するが、具体的に何が属しているかを述べているわけではない。属する」ということである。その存在を証明できていない)。今回は、そのような部分集合の書き表し方と、その部分集合が存在する根拠となる公理を述べる。部分集合の内包的記法ここでまず部分集合の作り方を述べることにする。\psi(y)\}\]で表すことにし、この記法を内包的記法とよぶ。わかりにくいと思うので例を示す。このシリーズでは掛け算や偶数を定義していないが簡潔に例示するために用いた)。偶数}\}\]と書いても全く同じである。この記法を使えば、すでに存在がわかっているモノの部分集合であれば、モノが無限に属する集合であっても記述することができる。内包的記法の例さらにいくつか例示していくが、そのためにこの節では自然数の四則演算や大小関係や個数の概念を用いる。本シリーズではそのいずれもまだ定義していないので、この段階では以下に示す集合の存在を論理的には示せないことに留意しつつ見てほしい。先ほど示した「偶数だけがすべて属する集合」をもう少し細かく書こう。y[x=2y]\}\]と書ける。次に「5より大きい自然数だけがすべて属する集合」を作ってみる。x\}\]とも書ける。集合論の言葉だけで記述できている。部分集合を考えてみる。二つのモノが属する}\}\]としたらどうなるだろうか。うち、モノがちょうど二つだけ属するものだけがすべて属する集合」となる。1つの自由変数を持つ論理式であるとする。すべて属し、それ以外のモノが属さない集合」が存在する。存在を示すものである。内包的記法の制限この記事で、内包的記法は部分集合を記述する方法であると紹介した。既存の集合の部分集合でないものは内包的記法で記述できないのであろうか。普通、この問いに対しては「そうではない」となる。存在が証明できるようになる。証明できるので取り上げないこととした。したがって、本シリーズでは内包的記法は専ら部分集合を記述する方法として用いる。置換公理を採用しても内包的記法が直感的に無制限に使えるようになるわけではない。x=x\}\]と書けそうだが、このような集合の存在は置換公理からも証明できない。存在が証明できないだけではなく、存在してはならない。使えるようになった今なら共通部分の存在を容易に示せる。共通部分とは何かを確認しておく。