このような函数の全体は、適当な半ノルムの族を与えることにより、完備な位相線型空間を成す。}が満たされるときである。シュワルツ空間に局所凸位相を定める。シュワルツ函数が滑らかであるから、実際にはこれらの半ノルムはシュワルツ空間上のノルムになっている。シュワルツ空間は距離化可能であり、完備である。緩増加超函数の空間はシュワルツ空間の連続的双対空間として定められる。_{m})=0}であることをいう。緩増加超函数の導函数は再び緩増加超函数となる。局所可積分函数を一般化するもので、コンパクト台付き超函数や自乗可積分函数はすべて緩増加超函数のクラスに含まれる。属する函数の全てが含まれる。緩増加超函数はその「緩増加」性によっても特徴付けることができる。\exp(-x^{2})}のような「急減少」的な振舞いの双対的な特徴である。フーリエ変換の研究には複素数値のテスト函数と複素線型な超函数を考えたほうが都合がよい。シュワルツ函数の空間上の自己準同型を与える。このフーリエ変換は緩増加超函数全体の成す空間からそれ自身への連続、線型、かつ全単射な作用素である。{dS}{dx}}=ixFS}の意味で微分と両立する。畳み込みとなるという意味で畳み込みとも両立する畳み込み[編集]適当な状況の下では、函数と超函数、あるいはさらに超函数同士の畳み込みを定義することができる。C_{f}g:=f*g}を定める。LF空間としての位相に関して連続)である。