次数付きベクトル空間の構造が遺伝する。s)}によって誘導される。与えられているとする。{e}}_{i_{r}}}と書ける。その添字に関して完全反対称である。{e}}_{i_{r+p}}}で与えられる。i_{r+p}]}}と表す。内部積も添字記法で書くことができる。i_{r-1}}}によって与えられる。k-ベクトルは幾何学的に解釈することができる。辺に持つ向き付けられた平行四辺形の面積で与えられる数の「重み」を持つ平面を表す。k-次元部分空間に対応する。ある代数多様体と同一視される。微分幾何における特筆すべき応用は、微分形式の定義に用いられることである。k-次外冪からの線型汎函数である。結論として、重線型形式の楔積は自然に微分形式の楔積を定める。微分形式は微分幾何のさまざまな部分で大きな役割を担う。外微分は多様体上の微分形式に外積代数に微分環の構造を与える。外微分は多様体間の滑らかな写像に沿っての引き戻しと可換であり、それゆえに自然な微分作用素である。おいて、外積代数はベクトル空間の圏における二つの基本シューア函手(英語版)のうちの一つで、もう一方は対称代数である。フェルミオンと超対称性に関する物理理論において基本的な役割を演じる、超代数(英語版)の原型的な例である。物理学的な議論はグラスマン数を見よ。包括的な言葉の下にヘルマン・グラスマンによって初めて導入された[13]。これはもっと一般に量の拡大の代数的(あるいは公理的)な理論について言及しており、また早い時期における現代的なベクトル空間の概念のさきがけの一つとなっている。概念を著しており、それがグラスマンに先駆けて成されたものと主張した[14]。この新たな発展は、それまで座標の観点からのみ説明されてきた性質である次元の概念の「公理的な」特徴づけを可能にした。このベクトルと重ベクトルに関する新しい理論の重要性は19世紀半ばまでには失われ、1888年にジュゼッペ・ペアノによって詳しく調べられるまで顧みられることは無かった[16]。ペアノの仕事にも幾分不明瞭な部分が残されていたが、世紀が変わる頃には、微分形式の計算にグラスマンのアイデアを応用したフランス高等師範学校のメンバー(有名どころはアンリ・ポアンカレ、エリ・カルタン、ジャン・ガストン・ダルブーら)によって主題の統一をみた。そのしばらく後にアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドはペアノとグラスマンのアイデアをもとにして普遍代数を導入する。外部の(exterior))という言葉を用いた。上でのみ制約として課せられているということである。