上の加法から作ってみよう。選び方を変えても結果が同じ同値類になることを示せばよい。以下のように確認すればよい。上の二項演算はよく定義できている。変えても結果が変わらないことを示す。$b+2z'=b'+2w'$。$[a+b]=[a'+b']$。以上よりこの加法はよく定義できていることが分かった。=&M_e\end{array}\]となっている。ここではあまり深く考えずに代表元を選んでみたが、上で証明した通り、どう選んでも結果は同じである。上の乗法もほぼ同様の方法で定義できる。法とする合同関係による商集合にも同様の方法で加法と乗法と減法を定義でき、加法と乗法の結合性と可換性と分配性を示せる。