((u*v)*w)=(u*(v*w))文字に連接という演算を与えてると、連接は結合的です。自然数の足し算や掛け算も結合的です。引き算は結合的ではありません。演算子が、以下の性質を持つ場合は可換(commutative)であるといいます。u*v=v*u例えば、自然数の足し算は可換です。引き算は可換ではありません。行列の掛け算も可換ではありません。http://www.triplefalcon.com/準同型ここでは簡単のため2項演算子を一個だけ持つ代数について考えます。それ以外の代数系にも自明に拡張できます。準同型写像(homomorphism)といいます。h(a)・h(b)=h(a*b)これは、写像してから演算しても演算してから写像しても結果がひとしいという意味です。演算子を複数もつ代数系でも、対応する演算子すべてに対して上記が言えれば準同型です。同型であるといいます。定理として、「同型写像は単位元を単位元に、零元を零元に、逆元を逆元に写す」が成立します。S'で演算が閉じていることが重要です。Sの部分集合で作った代数系がすべて部分代数系になるとは限りません。演算子が複数でも自明に拡張できます。環(ring)の部分代数系がまた環でもあるとき、部分環(subring)と呼びます。体(field)の部分代数系がまた体でもあるとき部分体(subfield)といいます。群の部分代数系は一般に群とは限りませんが、有限群の部分代数系は自動的に群になります。すると、いちいち代数系そのものと台集合をいちいち表記し分ける必要がなくなります。代数系でもあるし台集合でもあると考えてよいわけです。表記する場合が多いです。