2019/06/25正規分布は再生性を持ちます。和の分布が同じ分布族に属するとき、その分布族は再生性を持つと言います。このページでは、正規分布が再生性を持つことを、2通りの方法で証明します。正規分布の再生性の証明1:モーメント母関数モーメント母関数を知っていれば、証明1の方が簡単です。正規分布のモーメント母関数は、$E[e^{tX}]=\exp\left(\mu_1t+\dfrac{\sigma_1^2t^2}{2}\right)$となります(補足1)。よって、同様に、$E[e^{tY}]=\exp\left(\mu_2t+\dfrac{\sigma_2^2t^2}{2}\right)$となります。モーメント母関数は、$E[e^{t(X+Y)}]\\=E[e^{tX}]E[e^{tY}]\\=\exp\left(\mu_1t+\dfrac{\sigma_1^2t^2}{2}\right)\exp\left(\mu_2t+\dfrac{\sigma_2^2t^2}{2}\right)\\=\exp\left\{(\mu_1+\mu_2)t+\dfrac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{2}t^2\right\}$となります。ある正規分布のモーメント母関数です。正規分布に従うと言えます。正規分布のモーメント母関数の計算の詳細は省略しますが、ガウス積分を使って以下の式が導出できます。頑張って全て計算してもよいですが、工夫することで計算量を大幅に減らすことができます。f_X(t)f_Y(z-t)dt\\=C\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left\{-\dfrac{(t-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}-\dfrac{(z-t-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right\}dt$となります(補足1)。