補足1:和の分布は畳み込みで計算できます。確率変数の和の分布とポアソン分布での例に記載しています。全て計算してみるとスッキリするでしょう(計算はやや大変です)。補足3:指数の肩が二次関数であるような確率密度関数に対応する分布は正規分布になります。実際、指数の肩が二次関数である確率密度関数は、平方完成することで、$C\exp\left\{-\dfrac{(z-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}$という形に変形できます。これは正規分布の確率密度関数です。