周波数に無関係に合成インピーダンスが一定になるR,L,Cの条件を求めよというもの。これも簡単そうだが実は難しい。求める未知数がR,L,Cと三つあるので少なくとも3つの式をたてないといけない。今までは未知数は2つだけだったので因数分解できればそれで解けたのだが。Z=2*Rということになる。この条件を満たすR,L,Cを解けばよい。虚数部は0なることから(1-ω^2*C*L)*(3*ω*C*R^2+ω*L)+2*ω*C*R*(2*ω^2*C*L*R-2*R)=0整理すると(ω^2*C*L-1)*(C*R^2-L)=0従ってR,L,Cは固定値なのでL=C*R^2また実数部が2*Rになることから(2*ω*C*R*(3*ω*C*R^2+ω*L)-(1-ω^2*C*L)*(2*ω^2*C*L*R-2*R))/(4*ω^2*C^2*R^2+(ω^2*C*L-1)^2)=2*R整理するとL-C*R^2=0従ってL=C*R^2虚数部と実数部のどちらでも0になる条件式を因数分解していくと答えが得られた。周波数によらず固定になるパターンではいきなりω=0を代入して合成インピーダンス値を得てしまうのは我ながら良いアイデアだった。著者の解は回路のBoucherotの回路の部分だけに着目して虚数部が0になる条件から答えを得ている。次ぎの問題は趣向が変わって、RC並列回路とRC直列回路とで等価になる条件を示せというものそれぞれのインピーダンスの実数部と虚数部が同じになれば等価であると言える。[[R0=R/(o^2*C^2*R^2+1),C0=(o^2*C^2*R^2+1)/(o^2*C*R^2)]]R0=R/(ω^2*C^2*R^2+1)C0=(ω^2*C^2*R^2+1)/(ω^2*C*R^2)ということになる。著者の解も基本的に同じアプローチである。[L0=(L*R^2)/(R^2+o^2*L^2)]L0=(L*R^2)/(R^2+ω^2*L^2)ということになる。2980問題78:等価回路(その3)次ぎも等価回路な問題。周波数によってこの回路の合成インピーダンスは誘導性になったり容量性になったりするらしい。それを示し等価なR0,L0,C0を求めよというもの。Z=1/((1/R^2+1/(o^2*L^2))*R)+%i*(1/(o*L*(1/R^2+1/(o^2*L^2)))-1/(o*C))Z=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)+j(1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C))実効リアクタンス1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C)が正の時に誘導性、負の時に容量性となることがわかる。従って誘導性の場合の等価回路の合成インピーダンスZ1=R0+jωL0と実効抵抗及び実効リアクタンスが共に正で等しいことからR0=1/((1/R^2+1/(ω^2*L^2))*R)=ω^2*L^2*R/(R^2+ω^2*L^2)ωL0=1/(ω*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω*C)∴L0=1/(ω^2*L*(1/R^2+1/(ω^2*L^2)))-1/(ω^2*C)=1/(ω^2*L/R^2+1/L)-1/(ω^2*C)=L*R^2/(R^2+ω^2*L^2)-1/(ω^2*C)ということになる。[C0=-(C*R^2+o^2*C*L^2)/((o^2*C*L-1)*R^2-o^2*L^2)]C0=(C*R^2+ω^2*C*L^2)/(ω^2*L^2-(ω^2*C*L-1)*R^2)=C*(R^2+ω^2*C*L^2)/(ω^2*L^2+(1-ω^2*C*L)*R^2)ということになる。2980問題79:等価回路(その4)次ぎも等価回路。どちらもLC直列とLC並列が合体したような回路。Z2=-%i/(-1/(o*L4)-1/(o*L3-1/(o*C2)))Z2=j/(1/(ω*L4)+1/(ω*L3-1/(ω*C2)))どちらも実効抵抗は0で実効リアクタンスのみなので(ω*L1-1/(ω*C1-1/(ω*L2)))=1/(1/(ω*L4)+1/(ω*L3-1/(ω*C2)))が成り立つL4,L3,C2を求めれば良いことになるしかし3つの未知数に対して式が一つしかない。[[L3=(L1*(L2+L1))/L2,C2=(C1*L2^2)/(L2+L1)^2,L4=L2+L1]]従ってL3=(L1*(L2+L1))/L2C2=(C1*L2^2)/(L2+L1)L4=L2+L1ということになる。なんだ簡単じゃないか。著者の解はインピーダンスの式の形の相似性に着眼して同様の方程式を導いて順番に消去法で答えを得ている。[[L=R/o,C=1/(o*R)],[L=-R/o,C=-1/(o*R)]]L=R/ωC=1/(ω*R)ということになる。Z2=(%i*R*(o^3*C^2*L*R^3-o*C*R^3-o^3*C*L^2*R+o*L*R))/((R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1))+(R*(o^4*C^2*L^2*R^2+R^2+2*o^2*L^2))/((R^2+o^2*L^2)*(o^2*C^2*R^2+1))整理するとZ2=(R*(ω^4*C^2*L^2*R^2+2*ω^2*L^2))/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))+jR*(ω^3*C^2*L*R^3-ω*C*R^3-ω^3*C*L^2*R+ω*L*R)/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))=(R*(ω^4*C^2*L^2*R^2+2*ω^2*L^2))/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))+jR*(ω*(ω^2*C*L-1)*R*(C*R^2-L))/((R^2+ω^2*L^2)*(ω^2*C^2*R^2+1))従ってこちらからも定抵抗になるにはω^2*C*L-1=0C*R^2-L=0を満たすことから同じ答えが得られる。著者の解はωの条件式をインピーダンスの式に代入しそれぞれのインピーダンスが等しくなるためにはR,L,Cの条件式も満たさなければならないことから2つの条件からL,C,ωの関係を導いている。