07:52:05(9.84)は極座標の$r,\theta,\phi$を使った計算、(9.94)はオイラー角の$\theta,\phi,\psi$を使った計算。記号が違うだけじゃなく、そもそも中身が違います。07:55:56さらに言えば、極座標の$\phi$は$z$軸周りの角度。オイラー角の$\psi$は$\theta,\phi$で回した後の$Z$軸($z$軸ではなく)の周りの回転角。これも意味が全く違います。07:58:45聞きたかったのが、ハミルトン形式では、運動量はon-shellにして初めてqやq'と結び付くとあるのですが、P199~201でハミルトンの主関数の変分からハミルトニアンHを出したと思い、それならHの中のLもon-shellになになるのでLを含むハミルトンの方程式Hはon-shellと言えてq,pは関係がつきδq,δpは独立とは言えないのでは、ということです。なる前は関係ない(つまり独立)→だからδpとδqも独立、って事なのですが。13:12:23p199〜201でハミルトニアンの出し方の一つであり、そこでは主関数を使いましたが、だからon-shellにならなければいけないというものではないです。q)$と書いたときのLは別にon-shellではありません。なり、Hのp,qの両方の微分があるのでH=p^2/mのようにqだけの微分とは言えないと思ったので。13:15:13↑の意味がわかりません。Hは一般にpとq両方の関数で「qだけの微分」だなんてことはありません。13:20:47本当に申し訳ありませんでした。H=p^2/mの計算を忘れていました。19:40:09)(4.13)をオイラー・ラグランジュ方程式で求めるにはどうしたらいいですか?内積があり、式変形を行うと自分では辻褄の合わない式になってしまいす。そのすぐ上の「うっかりものの予想」の下に書いてる通りです。B=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z$のように)から計算すればよいでしょう。22:32:49成分ごとに分けて計算するとうまく出来ました。ありがとうございました。・何故、矢印の方向があの向きなのですか?・あの矢印はどんな意味があるのですか?その答えは全部本文内に書いてあります。矢印は時間変化の方向で、なぜその向きかの説明も188ページの6行めにあります。23:56:41$L_X$が正のときは$L_Y,L_Z$が振動し、$L_Y$が正のときは$L_X,L_Z$が振動します。00:47:06「実際の」って何ですか?(どういうのを「実際」と呼んでますか?)。$X$軸の定義はそれよりも前に書いてあるとおりです。00:47:42はい。実際のとは、前に定義されたものです。それにおいてLx,Ly,Lzの方向を教えていただけないかと。X軸の定義は書いてある通りですよ。02:32:557.2節の最初の方で定義したそのまんまです。02:35:13XYZ軸とxyz軸の関係が知りたいのなら(7.18)にあります。02:38:02今になって気づきましたが、$L_X,L_Y,L_Z$は成分ですからそれらには「向き」はないですね。e}_Z$はベクトルだから向きがあります。どっち向いているかはもちろんベクトルの成分による。e}_X$は$X$軸方向を向いてますか?」という意味なのなら、もちろんそうです(式にあらわれている通りです)。10:49:36分かりました。ありがとうございます。01:26:45)(なにか)=0が結論できるのは、(なにか)の後ろについてくるもの、つまりδy(x)が独立な時だけ~という主張の根拠はなんでしょうか。~また、δy'が独立でないということもよくわからないです。~なぜ、δy(x+Δx)を共有しているから独立ではないという結論が出るのでしょうか。~独立とはなんのことを言っているのでしょうか。~326ページの(B.37)辺りの説明を読んでください。独立でないので(なにか)=0と言えない例が書いてあります。07:53:3024ページ辺りにもありました。07:57:3627ページで考えている正三角形の問題も、参考になると思いますので、見比べてみてください。y(x)$($x$は任意の場所)です。x)$が連動して変わります。いう意味で独立ではないです。19:27:56)P148から行列を使われ始めたのですが、対角化による座標変換の表現が未だによく分かりません。それに加え、P148~P160で分からない文や途中計算が大量に出てきて読むのをストップしてしまいました。一応、本書の付録の他にネットや別の本を見たのですが。余りにも質問する回数が多くなると思いその前にこの質問を書きました。・この部分の行列が理解出来ないとその先の内容は難しいですか?6.2.2節はその前の節を行列を使って書き直しているものです。本来行列を使った方が楽だから行列を使っているので、使い方をわかればその後の方が理解が楽になるはずです。行列がわからないなら飛ばしておいても、次の章から先の内容でもわかるところはわかるでしょう。行列をわかった方が楽になる場面はあちこちにあるので、勉強しておいた方がいいとは思います。22:11:14分かりました。時間をかけて地道にやっていこうと思います。23:13:21すいません。謝って先に送信してしまいました。P170で(7.5)でωに添字があるのですか?その前では、ωは添字は要らないと会ったのですが。23:17:32・(7.9)のω(i)ω(j)を含む項では、ωとXでiとjのように添字が二つも出てくるのですか?それぞれの(7.7)(7.8)には、iとjのΣが両方ある訳でもないのに。\omega$はベクトルなのですから3成分あります。$(\omega_1,\omega_2,\omega_3)=\vec\omega$です。00:34:33(7.8)ではiなのにその下ではkなのには、深い意味は何もありません。00:36:18(7.9)に添え字が2つあるのは、(7.8)を真面目に計算すれば嫌でも出てくるからです。実際に計算してみてください。00:37:42行列やベクトルの計算に慣れてないのなら、まずは(7.8)を$-\left(\omega_1X^{(i)}_1+\omega_2X^{(i)}_2+\omega_3X^{(i)}_3\right)^2$のようにばらしてから計算してみてください。00:45:06ありがとうございます。そのように計算してみたら納得できました。17:18:18)(5.88)の2つ上の文で、{Q★}の方は「拘束条件を解いてしまうと消えてしまう座標」であり、拘束条件G(j)=0を解いた後ではQ(i)=Q(i)({q✳})のように{q✳}だけで書き直すことができ、{q✳}の方だけが座標になるものとする。・どうして{Q★}は拘束条件を解くと消えてしまうのですか?{Q★}に対して拘束条件を解くということが呑み込めません。・拘束条件G(j)=0を解いた後では、上文のようにQ(i)を{q✳}だけで書き直すことができるとありますが、そもそも座標変換の時にQはqだけの関数なのではないのですか?拘束条件G(j)を解くことでそのように書き直すことができる理由が分かりません。・(5.92)では、拘束条件を代入すると(5.87)のラグランジアンの要素{Q★}は、{Q★({q✳})}になるのは、上の拘束条件を解くとは、拘束条件を代入することですか?・どうしていきなり(5.96)=0が言えるのですか?質問が多くて申し訳ありません。上に書いてありますが$x^2+y^2+z^2=a^2$という拘束条件(つまりは物体が半径$a$の球上にあるという拘束条件)があったとしましょう。これは極座標では$r=a$ということです(この場合、$Q$が$r$です)。拘束がなければ$r$はれっきとした座標ですが、拘束条件があれば定数ですから「拘束条件を代入してしまうと座標としての意味がなくなって、$a$という定数になってしまう」変数です。18:09:51この例では$r$という変数が定数になってしまうわけですが、もっと一般的な例では、$Q$という変数が他の変数$q$で表されるようになってしまう、ということもあり得るわけです。18:15:13拘束条件を解かなければ、$Q$はあくまで「$Q$という独立な変数」です。それがなんらかの拘束条件を使って「解いた」結果として$q$の関数になっちゃった、という場合がここで考えてる状況です。18:16:39(5.92)はもちろん、$Q$を$q$で表して代入した結果です。18:17:19(5.96)は$G=0$が言えるのだから、その$G$を$q$で微分したって0でしょ、という式です。18:18:16拘束条件を代入するとQ(=r)が定数としたら、Qはqという変数で表すとなんだか変数のようにみえてしまいます。23:13:55G=0でもそのGの微分は0になるとは限らないと書いてあったのですが、この時は少し状況が違うのでしょうか?この場合のGは、qとQの要素をふくんでいるので、たとえ拘束条件を代入してQが定数になっても、拘束条件にはqとQが関わっているのでその微分は拘束の制限を越えてしまいうので0とは限らないのではないと思いました。微分を計算するにしてもどんな式か分からないのもあります。23:28:09たとえばシンプルな例として$a,b,c,d$という変数があるが$G=a+b+c+d$という拘束がついているとしましょう。この場合、$b,c,d$が決まれば$a$は決まってしまいます($a$は独立な変数ではありません)。07:48:10$G=0$だが微分が0でないのは(本でも説明してありますが)拘束の外れる方向へ微分する場合です。07:49:36先の例だと、$a$は$b,c,d$で決まる量になって、$a(b,c,d)$という従属変数($b,c,d$の関数)になってしまっています。b}+1$となりますが、$a(b,c,d)=-b-c-d$だから偏微分の結果は$-1$です。07:52:23もう一度確認しますが、$a=-b-c-d$は「$b,c,d$を決めると決まってしまう」という意味で「変数ではない(より明確に言うならば「独立な変数ではない」)」わけです。$Q$はこの$a$のような量です。07:54:46納得できました。忙しい中丁寧にありがとうございました。19:09:37)8月19日ご回示ご指導有難うございました。貴前野本とランダウ本を読み比べた結果下記の結論に達しました。1無重力無拘束条件に於ける対称こまの考察に関して、貴本7.3.2節の内容は、ランダウ本の内容と完全に合致している。(オイラーの運動方程式とエネルギ保存と角運動量大きさ保存だけに基づき自励歳差運動までを描出)~2重力拘束条件於いて、天頂角θとその時間微分に関するオイラーラグランジュ方程式を解く事による章動運動(mutation)の考察は細部を除いて両本(貴本9.6.4節/ランダウ本3章問題1の解)で実質的に合致している。~3貴前野本は無重力無拘束条件に於いても章動が存在する事を9.6.3節にて記している。然るにランダウは、対称コマの対称性に関する潜在観念から、天頂角θは一定であるとした。~(ランダウはラグランジアンを求めているので、天頂角θとその時間微分に関するオイラーラグランジュ方程式から容易に章動が存在する事を予測し得た筈なのに。)~そこで、質問です。自由空間の対称こまに関して、貴本及びランダウ本にも記されている通り、エネルギ保存と角運動量大きさ保存から、天頂角θ一定の自励歳差運動による主回転軸軌跡だけが求まります。章動運動まで考慮した場合、エネルギ保存の式または角運動量大きさ保存の式を修正する必要があるのでしょうか?~ランダウはあくまで「角運動量がz軸を向いている場合」を考えているので、そこで主張しているのは「そういう場合ではθが一定だ」ということだと思います。ない場合にはθが変化しても構わない。自由空間の対称コマは、座標軸を選ぶことにより「θが一定」にもできるし、そうしなくても構わない、というだけの話だと思います。18:20:58「章動」という言葉がどこまでを表現しているのか、私は厳密なる定義を知りませんが、実際に起こる運動に関しては合致しているのであれば、特に問題があるように思えません。外力が係ることによる章動(摂動?)に関してはどんな外力が係るかに応じて考えるべきことかと思います。19:39:56)P65の(x,y)では、xがδx変位すると手のする仕事は、-2Fδxとなるのに、P66の角度θの表現では、角度θがδθ増える場合の仮想変位で、手のする仕事が-Fδθ(d(Lsin))/dθとなるのは、どうしてですか?この場合、(図を見るとわかるように)$2x=L\cos\theta$なので、同じ式ですよ。21:16:09返信ありがとうございます。私の分からないところは、何故δθにd(Lsinθ)/dθが掛かっているのかです。d\theta}$となります。d\theta}$も変位距離です。17:02:00加法定理使ったんなら、そのまま$-\delta\theta\sin\theta$でいいんではないかと思いますが、そういう計算です。d\theta}$というのは微分の意味(定義)そのものです。「理由」というより、そういうものを我々は微分と呼びます。21:20:33少し基礎が抜けていました。自分でもまた見直してきます。回答ありがとうございました。19:09:02)(9.40)式で変分原理から正準方程式を導かれていますが、この場合は時間に露わに依存していない場合です。時間に露わに依存する場合、δHから(∂H/∂t)δtの項が出てきてしまうと思うのですが変分原理から正準方程式を求める手法は時間に露わに依存する場合でも可能なんでしょうか?またpp.244-246で正準方程式が共変である条件として(10.10)が示されていますが、これも時間に露わに依存しない場合です。(10.81)は時間に露わに依存する場合だと思うのですが、ここで(10.10)が適用されています。適用が可能なのでしょうか?(9.40)で取っている変分は運動方程式を出すための変分なので、tの関数としてのp(t)とq(t)は変化させてますが、tは変化させてませんので、δtの項は出ません。23:52:32同じです。変分原理でやっている計算というのはあくまで力学変数である量(x(t)やらp(t)やら)を変える(別の関数へと置き換える)という話です。tはその変数のラベルでしかありません(tは力学変数じゃありません)。ここで取っている変分は、tを固定して各点各点のp(t)やq(t)を変えてますので「明らかにtを変化させたりしてません」。00:03:40なお、(10.10)のあたりで示しているのはポアッソン括弧が不変だということです。それは変数と変数の関係の話で、ハミルトニアンに時間があらわに含まれているかどうかと別のお話です。00:04:52ここでx(t)という関数を変えているのであってtを変えているのではない、というのは、37ページあたりで変分と微分が交換する条件の話でy(x)でyを変えてxは変えてない、という話と同じです。そこを読み返してみてください。「y(x)という関数の変分を取る」というのと「xを変化させる」というのは全く別の操作です。00:08:21わかりました、ありがとうございます。一つ質問させてください。00:23:46それはやってみれば、時間の関数であることはあまり関係ないということがわかると思います。ポアッソン括弧という計算は「ある瞬間(固定されたt)」の中で閉じてますから。00:50:05というより、計算の中でそもそもtを変化させる場所がどこにもないでしょ(ポアッソン括弧の計算の中には)。00:56:23そうですね、わかりました。夜分遅くに回答ありがとうございました。13:10:39)サポートページでの読者と前の先生のやり取りを、「よくわかる解析力学」の該当ページの昇順に、記載し直した資料を作成していいただくことはできないでしょうか?現在、「よくわかる解析力学」を読んでいますが、今読んでいる章について、過去にどのようなやり取りがされたのかを参照するには、現在の掲示板では過去の一つ一つの掲示板を見なければならず、とても大変です。身勝手なお願いですが、ご検討願います。できたときに考えます。16:38:50多くの読者のためにも、余裕ができたときにご検討願います。18:41:29多くの読者のためにも、余裕ができたときにご検討願います。16:05:44)なぜdXとdYがそれぞれr'とrの変分であると考えられるのですか?$F(X,Y)$というのは一般式で、そこに$X=r',Y=R$を代入したら$\sqrt{(r')^2+r^2}$になる、というふうに考えてます。16:55:20δを使ってようがdを使ってようが、「微小な変化」という意味に違いはないんで、等しいというより同じものが別の記号で書いてあるだけのことです。17:40:04ここでδを使っている意味は、rというのを一つの変数でなく「関数」だと考えているからです(くどく書くなら「$r(\theta)$」です)。r(\theta)$するとして考えてます。いう意味の違いから文字を変えていますが「微小変化である」という点は一緒なので、偏微分の式はそのまま使ってます。17:43:15理解できそうな気がしてきました。解答ありがとうございました。時間微分≡0]と明記されています。ご回示ご指導宜しくお願い致します。nodes(節線?)と一致させる」という2つの条件を置いているようです。9.6.3節のθはランダウが書いているθとは違うものになってます(私の本では角運動量はz軸を向いてませんから)。14:02:49ランダウの計算の方は追いかけてませんが、詳しくみた結果違いがわかったらまた報告します。14:04:15「よくわかる解析力学」のp183の(7.48)からの式で$L_x=L_y=0$にしてやるとたしかに$\dot\theta=0$になります。ランダウの本の該当箇所ではそういう状況を選んだということになってます(確かにこう選ぶと楽です)。