このように部分環と元の環の単位元は必ずしも一致しない。部分環であることを示せ。定義することができた。定義することを考える。対して剰余環は定義できるのであろうか。多くの場合、数学のテキストや講義では、まずある概念の定義を与え、その後でいろいろな性質などを学ぶ。実際には後の議論がうまくいくように定義を行っているのであり、思考の順序と学ぶ順序は逆になっている。ここではどの様な思考から定義が行われるのかを見てみよう。定義するために同値関係が必要である。同値関係になるための条件を考える。