CH)とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。外部リンク発想[編集]1個よりも多い最小の個数は2個である。2個よりも大きい最小の個数は3個である。このように、有限の個数に対しては1を足すことでそれ自身よりも大きい最小の個数を得ることができる。無限の個数に対してはどうであろうか。自然数や実数は無限個存在する。これらの個数は異なるはずであるが、個数という呼び方をする限りいずれも「無限」である。これに対して、有限集合の場合の要素数の概念を無限集合にまで拡張した「集合の濃度」(二つの集合間に一対一対応が存在するとき二つの集合の濃度は等しいとする)を考えることにより2つの無限は区別される(詳細は濃度を参照)。無限集合の濃度(無限の個数)で最も小さいものは可算濃度(自然数全体の集合の濃度)である。可算濃度の無限集合に要素を1つ追加した集合もやはり可算濃度であり、有限集合の場合のように新しい濃度にはならない。可算濃度の無限集合同士の合併集合も可算濃度である。実数全体の集合は可算濃度ではないことが示された。そこで次に、可算濃度よりも大きい最小の濃度は連続体濃度(実数の集合の濃度)であろうと考えられた、これが連続体仮説である。連続体仮説の表現[編集]自然数より真に大きく、実数より真に小さいサイズの集合がない、ということを連続体仮説は述べている。正確には連続体仮説は「自然数を含むような任意の実数の部分集合は、実数との間に全単射が存在するか、自然数との間に全単射が存在するかのいずれかである」とも言い表せる。(アレフ・ヌル)と呼ぶ(「可算」とは「数えられる」の意。可付番濃度とも言う)。存在しないという主張であると言い表される。}が成立すること、と言い表すこともできる。公理系を基礎におく理論構築がなされている。内部では不可能である)。と連続体仮説は独立であるということである。連続体仮説の否定を付け加えた公理系も無矛盾である。おいては真としても偽としてもよいともいえる。ゲーデルは、連続体仮説は偽であると強く主張したことで知られている。欠点があることを示していることになる。よい公理系を選べば連続体仮説が偽であることが証明できると考えたのである。その立場を強固に推し進めた最後の論文は、学会誌には掲載されずに返還されてしまった。多くの集合論の専門家は、連続体仮説は偽であると考えているか、または真偽に対して中立的な立場を取っている。一致するといった形で定式化を試みる動きもある。世紀に集合論の創始者、ゲオルク・カントールによって提出された。彼自身この解決に熱心に取り組んだことが知られている。可算濃度より連続体濃度の方が大きいことは、カントールの対角線論法によって証明されている。カントールは当初、連続体仮説も証明することはそれほど難しくないと考えていたが、遂に証明することはできなかった。問題の第一番にこの連続体仮説を取り上げた。連続体仮説の否定は証明できない」ことを示した。連続体仮説を証明することは出来ない」ことを示した。無矛盾性を仮定している)。年にフィールズ賞を受賞している。存在しないという仮説のことである。冪集合の方が必ず大きくなることも、カントールの対角線論法によって証明できる。独立性が証明されている。