2016.12.19高校数学で学習する背理法とは何か?背理法の具体例をいくつか紹介します。本記事では、数学が苦手な人でも背理法が理解できるように、現役の慶應生が背理法についてわかりやすく解説します。背理法は、無理数であることの証明などでよく使われます。背理法の具体例をいくつか見れば、背理法のイメージがつかめるでしょう。最後まで読んで、背理法を理解してください!【目次】1:背理法とは?2:背理法の証明問題13:背理法の証明問題24:背理法の証明問題35:背理法の証明問題41:背理法とは?まずは背理法とは何かについてわかりやく解説します。背理法とは、「ある命題Aに対して、Aが成り立たないと仮定して矛盾を導くことで、命題Aが成り立つことを示す証明方法のこと」です。「犬は動物である」という命題を背理法で証明してみるとします。背理法を使う時はまず、命題が成り立たないと仮定します。「犬は動物ではない」という仮定を立てます。「犬は動物ではない」という仮定に矛盾を見つけます。矛盾を見つけることで「犬は動物ではない」が否定されるので、結果的に「犬は動物である」という結論に達するわけです。背理法の流れは以上のような感じです。次の章から背理法の具体例を見ていきます。2:背理法の証明問題1では、背理法の具体例1つ目です。√5は無理数であることを、背理法で証明せよ。背理法の超有名問題なので、必ず解けるようにしておきましょう!まずは命題を否定します。「√5が無理数ではない」と仮定します。「√5が有理数である」と仮定するわけですね。※無理数と有理数があまり理解できていない人は、無理数と有理数について解説した記事をご覧ください。5b2・・・1したがって、a2は5の倍数なので、aも5の倍数です。b2b2は5の倍数なので、bも5の倍数です。ここで、aも5の倍数であったことを思い出してください。よって、aとbは公約数5を持つことになり、aとbが互いに素(1以外に公約数を持たない)ということに矛盾します。以上より、「√5は有理数である」という仮定が成り立たないので、命題「√5は無理数である」が背理法により証明されました。いかがですか?背理法のイメージがつかめましたか?以上の問題は背理法の有名問題なので、必ず解けるようにしてください。3:背理法の証明問題2では、少し難易度が上がった背理法の問題を解いてみましょう。√5+√7は無理数であることを背理法で証明せよ。√7が無理数であることは証明なしに使っても良い。解答&解説まずは命題を否定します。「√5+√7は無理数ではない」という仮定を立てます。√7=(R2+2)/2R・・・2Rは有理数なので、2の右辺は有理数である。2の左辺は無理数なので矛盾が生じる。したがって、背理法より√5+√7は無理数となる。4:背理法の証明問題3では、背理法の証明問題の3つ目を解いてみましょう。背理法:具体例aとbを有理数とする。a+b√3=0ならば、a=b=0となることを背理法で証明せよ。√3が無理数であることは証明なしに使っても良い。「b≠0」と仮定します。√3=-a/b・・・3となり、aとbは有理数なので、3の右辺は有理数です。3の左辺は無理数です。従って矛盾が生じています。よって、b=0となります。よって、命題が背理法で証明されました。※一般に、次のことが成り立つので、覚えておきましょう!5:背理法の証明問題4いよいよ最後の背理法の証明問題です。背理法:具体例a、b、x、yが有理数であるとする。この時、a+b√3=x+y√3ならばa=xかつb=yとなることを背理法で証明せよ。解答&解説まずは命題を否定します。今回は、「b≠y」と仮定します。√3=(x-a)/(b-y)・・・4です。ここで、「b≠y」より4の右辺は有理数です。4の左辺は無理数です。よって、矛盾が生じています。従って、背理法よりb=yが導けます。ここで、a+b√3=x+y√3にb=yを代入すると、a+y√3=x+y√3となるので、a=xとなります。従って、背理法より命題は真であることが証明されました。※一般的に、次のことが成り立つので覚えておきましょう!背理法のまとめ背理法とは何か・背理法の使い方が理解できましたか?背理法は高校数学でも重要な分野の1つです。※アンケート実施期間:2019年11月19日~受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している、高校生のための「受験応援メディア」です。著作権は受験のミカタおよび株式会社パンタグラフに帰属しています。権利者の許諾なく、私的使用の範囲を越えて複製したり、領布・公衆送信(送信可視化を含む)等をおこなうことは法律で固く禁じられています。Reserved.プッシュ通知をオンにして、受験のミカタの新しい記事や、プレゼントキャンペーンの情報などをいち早く手に入れましょう。プッシュ通知を許可するホーム画面に。