/ラグランジュ運動方程式の導出2018.03.06ラグランジュ運動方程式の導出Tweet重要なお知らせお使いのブラウザのJavascriptは無効になっています。当ホームページでは、数式の表示にJavascriptを使用しています。そのため、Javascriptを有効にしていない場合、数式が正しく表示されません。\(x_i\)への変換あらゆる座標系\(q_1,q_2,\cdots,q_n\)を、なじみのある直交座標\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)に変換できれば、物理を考えやすくなる。$$x_1=x_1(q_1,q_2,\cdots,q_n)$$$$x_2=x_2(q_1,q_2,\cdots,q_n)$$$$\vdots$$$$x_n=x_n(q_1,q_2,\cdots,q_n)$$座標系\(q_1,q_2,\cdots,q_n\)は、極座標や円筒座標など、どんな座標系でもあてはめられることから、一般化座標とよばれる。極座標系の変数\(r,θ,φ\)をそれぞれ一般化座標\(q_1,q_2,q_3\)に当てはめれば、極座標系を直交座標系\(x,y,z\)に変換できる。直交座標系における運動エネルギー\(T\)の表記は、次のようになる。\end{eqnarray}関数\(\dot{x}_i\)について、まず上の式(1)より\(\dot{q}_i\)に依存することがわかる。\(\frac{∂x_i(q_1,q_2,\cdots,q_n)}{∂q_j}\)は、\(q_i\)に依存する関数である。関数\(\dot{x}_i\)は、\(q_i,\dot{q}_i\)のどちらにも依存する。$$\dot{x}_i=\dot{x}_i(q_1,\cdots,q_n,\dot{q}_1,\cdots,\dot{q}_n)$$式(1)より、\(\dot{x}_i\)は変数\(\dot{q_j}\)の一次関数とみなせるから、\(\dot{x}_i\)を\(\dot{q_j}\)で微分した場合、その係数\(\frac{∂x_i}{∂q_j}\)だけが残る。$$\frac{∂\dot{x}_i}{∂\dot{q}_j}=\frac{∂x_i}{∂q_j}・・・(2)$$一般化座標による仕事\(d’W\)の表記(仕事)=(力)×(距離)という仕事の定義より、直交座標系上の仕事は次のようになる。$$d’W=\sum_{i=1}^nF_idx_i・・・(3)$$直交座標系の微小量\(dx_i\)を、合成関数の微分と一般化座標系の微小量\(dq_i\)を使って表す。式(3)と式(4)が同じ形式になっていることを確認するには、式(4)の一部分を新しい量\(Q_j\)として定義するのが手っ取り早い。そこで、\(Q_j\)を次のように定義する。$$Q_j≡\sum_{i=1}^nF_i\frac{∂x_i}{∂q_j}$$この\(Q_j\)を式(4)に導入する。Q_jdq_j・・・(5)$$式(5)は、式(3)を一般化座標\(dq_j\)で表したものである。この2つの式を比較すると、式(3)中の力\(F_i\)が、式(5)中の\(Q_j\)に対応していることがわかる。この\(Q_j\)は、一般化座標における力に対応することから、一般化力とよばれる。一般化力とポテンシャル\(V\)直交座標系における保存力\(F_i\)は、ポテンシャル\(V(x_1,\cdots,x_n)\)の位置微分にマイナスをつけたもので表せる。$$F_i=-\frac{∂V}{∂x_i}$$この式を一般化力の定義式中の\(F_i\)に代入する。\frac{∂V}{∂x_i}\frac{∂x_i}{∂q_j}$$上2式から、次の関係が求まる。おける運動量を一般化運動量とよび、運動エネルギー\(T\)を使って次のように定義される。$$p_i≡\frac{∂T}{∂\dot{q}_i}$$この一般化運動量の変形を考える。直交座標系の運動量\(m_j\dot{x}_j\)は、上の定義より、$$m_j\dot{x}_j=\frac{∂T}{∂\dot{x}_j}・・・(7)$$だから、一般化運動量\(p_i\)を変形させると、次の関係を得る。\end{eqnarray}ただし、最後に式(2)を使って変形した。時間微分\(\dot{p_i}\)一般化運動量の時間微分を考える。途中で直交座標系における運動方程式\(m_j\ddot{x}_j=F_j\)と一般化力\(Q_i\)の定義を代入する。次に、一般化座標における運動エネルギーの位置微分を考える。\frac{∂T}{∂\dot{x}_j}\frac{∂\dot{x}_j}{∂q_i}・・・(9)$$式(9)に式(7)を代入する。m_j\dot{x}_j\frac{∂\dot{x}_j}{∂q_i}・・・(10)$$\(\frac{∂\dot{x}_j}{∂q_i}\)について式(10)に式(1)を導入しやすくするために、式(1)の添え字を替える。\frac{∂x_j}{∂q_k}\dot{q_k}$$この式の両辺を\(q_i\)で偏微分する。\end{eqnarray}これを式(10)に代入する。m_j\dot{x}_j\frac{d}{dt}\left(\frac{∂x_j}{∂q_i}\right)・・・(11)$$式(8)に式(11)を代入する。$$\dot{p}_i=Q_i+\frac{∂T}{∂q_i}$$一般化運動量の定義を代入する。式(12)に式(6)を代入する。$$\frac{d}{dt}\left(\frac{∂T}{∂\dot{q}_i}\right)-\frac{∂T}{∂q_i}+\frac{∂V}{∂q_i}=0・・・(13)$$ポテンシャル\(V(q_1,\cdots,q_n)\)は、速度\(\dot{q}_i\)を含まないから、$$\frac{∂V}{∂\dot{q}_i}=0$$この式を式(13)に挿入する。$$\frac{d}{dt}\left(\frac{∂T}{∂\dot{q}_i}\right)+\frac{∂V}{∂\dot{q}_i}-\frac{∂T}{∂q_i}+\frac{∂V}{∂q_i}=0$$\(0\)を時間\(t\)で微分しても\(0\)だから、$$\frac{d}{dt}\left(\frac{∂T}{∂\dot{q}_i}-\frac{∂V}{∂\dot{q}_i}\right)-\frac{∂T}{∂q_i}+\frac{∂V}{∂q_i}=0$$これを少し整理してみる。$$\frac{d}{dt}\left(\frac{∂}{∂\dot{q}_i}(T-V)\right)-\frac{∂}{∂q_i}(T-V)=0・・・(14)$$ここで、\((T-V)\)を一つの文字で表現してしまえば、式(14)をすっきりさせられる。この\((T-V)\)は通常\(L\)で表現され、ラグランジアンとよばれる。$$L≡T-V$$あとはこのラグランジアンを式(14)に代入すれば、求めたいラグランジュの運動方程式が導出される。$$\frac{d}{dt}\left(\frac{∂L}{∂\dot{q}_i}\right)-\frac{∂L}{∂q_i}=0$$まとめ・直交座標系を一般座標系に変換することからスタートして、あらゆる座標系において考えられる一般化力や一般化運動量を定義した。(1983)『解析力学』,岩波書店.広告Tweet関連記事(広告含む)ケプラーの法則の概要と証明ケプラーの法則とは、惑星の運動に関する法則である。この法則を使いこなせるようになれば、惑星の運動を簡単に考えることができる。円運動と向心力・遠心力を理解するためには、観測者の状態による見かけ上の力を理解する必要がある。上図は、2種類の波が重なり合ってうなりが発生している様子を表している。エネルギー保存則とは運動エネルギー\(T\)とポテンシャルエネルギー\(V\)の和が一定になるというものであった。...記事を読む波束と分散について波束とは、限られた範囲にだけ存在する波のことをいう。上の図では、同形の青い波が、奥にも複数存在する様子を表している。このような波では等位相面は平面になるため、...記事を読む力学SNSでもご購読できます。*メールアドレス(公開はされません。*次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。上に表示された文字を入力してください。