日々知的刺激を求める社会人駈け出しが好きなことを綴るブログです。論理の世界と現実の世界2010-08-31何かについて語る※見直ししていないのでまた書きなおすかもしれませんコメントとの齟齬がないよう、書き直さないことにしました。わかりにくいところはご容赦ください。高校生くらいからだろうか、ずーっと引っかかっていた論理の問題がある。問・AとBは、天使(常に真実を言う)か悪魔(常に虚偽を言う)かのどちらかである。Aは次のように言った。「私が天使なら、Bも天使です」さて、A、Bはそれぞれ天使か、悪魔か、あるいはどちらとも断定できないか。ずさんに考えてみるとこうだろう。Aが天使と仮定すれば、彼の発言の仮定が成立しBも天使となる。Aが悪魔だと仮定すると、Aの発言の仮定が満たされないのでBがどちらなのかは情報がないためわからない。・・・しかしこれは誤りだという。論理学的に考えれば、この問題の解説は次のようになる。「pならばq」という発言は、論理学的には「pでない、あるいはq」と同値である。→→具体的に、pとqそれぞれの真偽の組み合わせを書き出すと次のようになる。「pなのにqでない」場合のみである。1.の場合はもちろん正しい発言になるし、3.の場合でも4.の場合でも、「pならばq」という発言は間違いにはならないので、1.3.4.の場合は真。同じように「pでない、あるいはq」について考えると、これが真なのは、pが偽かqが真であればいいので、やはり1.3.4.の場合であり、2.の場合は偽。以上見たように、「pならばq」も「pでない、あるいはq」も、1.3.4.の場合は真となり、2.の場合は偽となるので、論理的には同じ文言になる←←さてこれを踏まえると、Aの発言「私が天使ならば、Bも天使」は「私は天使でない、またはBは天使」という文に言い換えることができる。Aが悪魔と仮定すると、Aはこの発言をすることができない。「私は天使でない」という部分が当たっているからである。したがってAは天使となり、発言よりBも天使となる。(終)なんだかもやもやしないだろうか。当時自分はこう思った。「いくら論理的に同値だからといって、『言い換える』のはダメじゃないか。その人が実際に発言してるんじゃないのだから。それで推理を進めてしまうなんて、Aも心外だろう。大体、これを認めると「私が正直者ならば」というだけでその人が正直者であることが確定し、しかもその後にどんな文言がこようともそれは必ず真ということになる。そんなことが容易に飲み込めるものか。感覚と、論理の食い違いが生じているようである。どこに食い違いの原因があるのかがわからなかったため、ずっと引っかかったまま過ごしてきたのだった。大学2年生になり、「記号論理学」という授業をとる。∧(かつ)や∨(または)、→(ならば)などの記号を用いて様々な命題の真偽を論証する。数回目の授業でついに「p→q」が「¬p∨q」と同値であることの説明がなされた!「二値原理」(命題は必ず「真(T)」か「偽(F)」に分類される)という原理に基づき、p→qの性格を真理値表を用いて考えるのだ。T...上でした説明と同じである。pが偽の場合は、qの真偽に関わらず「p→q」は真である...。感覚的に理解しづらい。そんな時、ふと気付いたのが、こんなものを使わなくても「p→q」から「¬p∨q」は証明可能なのではないかということだった。今まで習ったことを使えば何のことはなかった。細かい説明は省略するが、ようするに前提にするのは・「A∨B」が正しいとき、「A」を前提にしても「B」を前提にしても得られる結論は正しい・「A」が正しいなら、「A∨B」も正しい・「A→B」かつ「A」のとき、「B」である・「A」または「Aでない」、は正しいこのような当たり前のことだけでやはり証明できたことになるのである。して感覚的に理解する糸口を見つけたわけだが、では結局ポイントはどこにあるのか。注目は、「p∨¬p」である。「どちらかでなければならない」という原則があることを。論理の世界に住む人間は、どんな文言に関しても必ず「真」か「偽」かを区別する必要がある。天使や悪魔も当然、すべてのことを知っていなければならない。自分の言おうとすることが「真」なのか「偽」なのかはっきり認識しておかなければならないからだ。現実世界との違いがここにあった。真か偽かがわからない我々とは対照的に、天使や悪魔たちは、すべてのことを知っている。天使は常に真実を、悪魔は常に虚偽を、という原則に則り、その原則に矛盾の無いよう責任持って発言しなければならないのである。悪魔は自分の発言が偽であることをしかと自覚して発言しているはずである。発言をこちらが勝手に同内容のものに言い換えたとしても、それは発言者がそのように発言したとみなして差し支えはないのである。(その文言の真偽は変わっていないのだから)こうして長年の疑問は解消されたのであった。思えば紆余曲折あった。質問サイトなどで悩んでいる人たちを垣間見るに、なかなかやはり論理の世界と現実の世界を混同視しないことは難しいのかもしれない。論理の世界は厳しいようだ。悪魔が「私が天使ならば~」などと無責任に発言することは許されない。0PagetopホームPagetopプロフィールAuthor:ピエエルお越し頂きありがとうございます。IT・通信系の特許を書く会社員になりました。綴る内容はパズル,脳トレ,吹奏楽,合唱,特許などなど...興味のあるカテゴリからどうぞ、ゆっくりごらんください。パズル・クイズは特に説明のないものは自作です。コメントはマナーさえ守ればどなたでも気楽に書いてOKです。(パスワードは各自の編集用。)※2009年9月22日にCURURUというところから引っ越してきました。