(平行移動の方法による導出)[補足説明1]ここで、“クリストッフェル記号”と“リーマン空間”の“基本計量テンソル”gijやgijとの関係を求めます。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」1.〜3.章の説明がそのまま成り立ちます。そのため、そこの結論を引用して以下の議論を進めます。[補足説明2]ここで共変成分の平行移動式を用いているのは、もともと1.(5)で導入した“クリストッフェル記号”Γλμνの定義式は“共変成分の平行移動”で定義したからです。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(4)で説明している“基底ベクトルの変化の様子”から定義したクリストッフェル記号Γλμνと一致させるためです。このことは第3章をご覧になれば納得して頂けます。[補足説明3]次で初めてリーマン空間の各点に於ける“基本計量テンソル”gμνとgμνが登場します。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」2.(4)〜(6)で説明しています。最初[補足説明]で注意した様に、上記別稿の前半部1.章〜3.章は本稿でもそのまま成り立ちますので、そこの結論をそのまま利用します。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」2.(5)を復習して下さい。そこで示したように、在る点のベクトルの長さの2乗はその点でのベクトルの共変成分の内積で表されるのでした。ここでいう内積とはその点での基本計量テンソルを間に挟んで縮約する操作を含みます。[補足説明4]上式はリーマン幾何学で最も重要な関係式です。ここで導いた(5)、(6)式も基本計量テンソルが満たす重要な関係式で“リッチの補助定理”といい、4.(5)で用います。これらの関係式は、いずれも“平行移動の方法”を用いて導かれたことに注意して下さい。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(4)1.や、別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(2)でも説明していますが、ここと異なる方法で基底ベクトルの変化の定義式から導かれています。5.文献3.反変ベクトルの平行移動[補足説明1]ここで、以下の関係式を用いる。これらはリーマン空間の基本計量テンソルを乗じて縮約することで、“共変成分”を“反変成分”に変換できる事を示している。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」2.(4)を参照して下さい。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(4)4.で用いた考え方と同じです。そこでは“基底ベクトル”の係数から“双対基底ベクトル”に対する係数を求めたのですが、ここでは“共変ベクトル”の係数から“反変ベクトル”に対する係数を求めた。[補足説明2]この章の結論をご覧頂ければ、1.(5)[補足説明2]で注意したこと、すなわちクリストッフェル記号の定義に、反変ベクトルではなくて、共変ベクトルを用いた理由がお解りになったと思います。共変ベクトルを用いたのは、それ以前(1869年)にクリストッフェルによって定義されていたクリストッフェル記号の意味と同じになるようにするためです。元々のクリストッフェル記号は“基底ベクトルの変化を表す係数”として導入されたのですが、本稿で説明してきたように、“平行移動した共変ベクトルにもどすための変分ベクトルを表す係数”と同じなのです。これは1916年にレヴィ=チヴィタが気づいたことで、これは“リーマン空間”の性質を論じるための新しい見方を提供した。!![補足説明3]クリストッフェル記号(接続係数)Γの平行移動への関わり方が、共変ベクトルの場合と反変ベクトルの場合でなぜ異なるのかは解りにくい所です。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(4)1.では基底ベクトルの変化の様子からクリストッフェル記号(接続係数)が導入されているのですが、その場合の双対基底ベクトルでの定義式4.(4)4.との違いを、ここの(1)式と(2)式の違いと比較検討してみて下さい。上記の違いの意味が明瞭になると思います。(1)式と(2)式の違いにつきましては別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(4)1.[補足説明]もご覧下さい。5.文献4.共変微分(1)ベクトルの共変微分係数1.ユークリッド空間での微分係数2.共変ベクトルの共変微分係数[補足説明1]上記のAi(x+Δx)は、1.(2)〜(3)で出てきたベクトルAに対するベクトルBの成分では在りません。おける成分値を意味します。位置で持つベクトルの事でした。ここの性分Ai(x+Δx)はそこのベクトルBの成分とは関係ありません。“共変微分係数”の表現方法については別稿「テンソル解析(絶対微分学」6.(3)1.[補足説明]を参照されたし。等しいことを意味する。平行移動したベクトルだと言うことです。最初の1.(5)[補足説明1]で“本稿の“平行移動”の定義は解りやすいのですが、かなり曖昧です。”と言った不完全さが、ここに至って解消されました。なる様なものを平行移動と言うことにする。」とすれば良いのです。“リーマン空間に於ける“平行移動”とは共変微分係数が0となる様に移動すること。ここに至っても“クリストッフェル記号”そのものの定義の曖昧さは解消されていません。クリストッフェル記号の厳密な定義は今日用いられている新しい定義によるしか無いと思います。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(4)1.で定義されている方法です。この定義なら厳密です。それは別稿4.(2)[補足説明2]で述べた様にアインシュタインが最初に心に描いていた方法です。現実のリーマン空間の中を物指し棒を持って上下左右に移動して、網目格子を伸ばしていくのです。すれば歪んだ空間であるリーマン空間の場合には、そのうち立法格子状の網目を構成してゆくことはできなくなり立方格子が歪んできます。なればその歪んだ格子と元の隣の格子の稜を比較することにより、実際のクリットッフェル記号を測定して決めてゆくことができるでしょう。違いに注意して下さい。現実に物指し棒を持って重力によって歪んだリーマン空間の中を移動していく観測者にとって自分の持っている物指し棒が重力場の為に縮んていることなどけっして認知することはできないのですから。縮んでいることを認知できなくても、その測定帽を持って重力場の中を動き回る事によって各点に於けるクリストッフェル記号は観測者が持っている測定棒によって測定して決めて行けます。別稿4.(4)2.[補足説明2]で説明したように現実にそれを実行するのは難しい。よって説明される現象を測定するわけです。3.反変ベクトルの共変微分係数4.補足[補足説明1]上記の表現については別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(4)1.[補足説明]もご覧下さい。ここでは“平行移動”の概念を仲介にして共変微分が導入されていることに注意して下さい。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(5)3や4.(5)5.とは導入方法が異なりますが、平行移動の概念を仲介にしても同様な結論が得られるということです。(曲面幾何学)」3.(3)などで用いた方法と同じです。5.文献5.参考文献この稿を作るに当たって、下記文献を参考にしました。感謝!多田さんの本はとても解りやすかったのですが、最初の平行移動の定義が何故かしっくり理解できなかったのです。