本稿では“平行移動”の概念によってクリストッフェル記号が導入され、共変微分が説明されています。レヴィ=チヴィタの説明(イタリア語なので私には読めませんが)もかくの如くなのでしょう。多田氏の説明はとても解りやすいので紹介します。解りやすくなるように、章・節番号を振り直して題目を付け直し、内容も少し改変しています。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.章と対比しながら読まれる事を勧めます。そこでは、本稿と異なって“基底ベクトルの変化の様子”からクリストッフェル記号や共変微分が導入され、本稿とは全く異なった観点で論じられています。補足しますと、上記別稿の前半部1.章〜3.章の内容は、本稿でもそのまま成り立ちます。多田氏の文献1.では、その前半部§1〜§11で、その事が展開されているのですが、その部分の本稿への引用は差し控えています。本稿でその部分が必要になった場合は、上記別稿の前半部1.章〜3.章から引用します。一度強調しますが、本稿ではレヴィ=チヴィタの1917年論文の意図にそって、上記別稿の後半部4.章に相当する部分が“平行移動”という全く別の見方で論じられています。5.文献(2)曲線座標上でのベクトルの平行移動[補足説明]本節の図から明らかな様に、ベクトルBから平行移動後のベクトルA‖へ戻るための変分ベトクルCは当然空間を分割する網目の変化の様子に関係します。ところで網目の変化していく様子は、各点において網目の単位セルを構成する“基底ベクトル”の変化の様子に依存します。次節(3)で導入する変分ベクトルCを表現するための係数C1〜C8は《基底ベクトルの変化の様子を表す係数》に関係するはずです。(係数C1〜C8を更に一派化した係数である)1.(5)節で導入するΓλμνも当然《基底ベクトルの変化の様子を表す係数》に関係するはずです。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(4)で導入したクリストッフェル記号と同じものであることが解ります。5.文献(3)変分ベクトルCの定義[補足説明]多田氏の説明はとても解りやすいのですが、上記の図は誤解を招きやすいので補足します。上記の図はあくまでユークリッド空間内での平行移動の様子を示しており、図中の斜交曲線座標もユークリッド空間内に引かれた斜交曲線座標です。そのためベクトルAとベクトルA‖は、見ての通り平行になっています。平行移動の概念は歪んだ空間(リーマン空間)に於いても定義できるものですし、そのときの座標曲線はリーマン空間内に引かれた斜交曲線座標です。その様に歪んだ空間でのベクトルの平行移動がどのように図示されるのかは難しいところです。単純に平行になるように図示すれば良いと言うものではありません。それは二次元リーマン空間である曲面上でのベクトルの平行移動を考えてみれば解ります。曲面上での平行移動の例として良くとりあげられる下図の状況を検討されれば解ります。このとき経線は測地線です。任意の緯度に引いた緯度線は測地線ではありません。緯度0度の緯度線である赤道線だけが測地線です。平行移動をユークリッド空間での平行移動のイメージで捉えていると分けが解らなくなります。以後の議論でも平行移動がユークリッド空間での平行移動の様なものであるとは、どこにも書かれていないことに注意して下さい。補足しますと、上述の矢印の移動は“測地線”に沿っており、常にその移動が沿っている測地線と同一角度を保っていますから、広義の“平行移動”です。5.文献(4)平行移動の例[補足説明]次の段落で、“共変ベクトル”と“反変ベクトル”がいきなり出てきて面食らわれるかも知れません。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」2.をご覧下さい。“共変ベクトル”の場合は成分表示の添字を右下に、“反変ベクトル”の場合は成分表示の添字を右上に記すことになっています。5.文献(5)共変ベクトルの平行移動によるクリストッフェル記号の定義[補足説明1]ここで、いきなり“クリストッフェル記号”が出てきますが、難しく考えないで下さい。前記のCiをそのような呼び方にしただけです。関係する係数である事を明示する為に書き添えられています。添字λμνは単にそれぞれを区別するために付けてあるだけです。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(4)の導入法と同じでは無いのですが、3つの添字で区別する考え方は同じです。注意して欲しい事は、ここで言う“平行移動”は、ユークリッド空間に於ける平行移動でははなくて、リーマン空間に対して一般化されたものだというこです。そのとき上記の式が平行移動を定義すると言っても、今までの多田氏の説明から明らかな様に、これは元々ユークリッド空間に於ける平行移動というものを考えて、クリストッフェル記号を定義している式でした。いままでの説明に斜交曲線座標が用いられていますが、これらはユークリッド空間に引かれたものであったことは確かです(1.(3)[補足説明]参照)。今からの議論では、これをリーマン空間に一般化したクリストッフェル記号の定義とし、そのクリストッフェル記号を通して、リーマン空間での平行移動を定義していると考えます。斜交曲線座標もユークリッド空間ではなくてリーマン空間に引かれたものと考えます。上記の定義式は、わけの解らないクリストッフェル記号で平行移動を定義し、その様にして定義されたわけの解らない平行移動でもって、もう一度クリストッフェル記号を定義している式だと言えます。その当たりを考慮すると、“平行移動”の定義としては、別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(4)1.の矢野先生の説明の様にならざるを得ないのかもしれません。そこの平行移動の定義は非常に回りくどいのですが、数学的に厳密です。本稿の“平行移動”の定義は解りやすいのですが、かなり曖昧です。3(曲面幾何学)」3.(8)をご覧下さい。よって定義されるベクトルの平行性を“レヴィ=チヴィタの平行性”と言います。リーマン空間(2次元)中のQ点に平行移動したものは下図の赤矢印(点線で描かれています)になります。いわゆるユークリッド空間(上図の2次元接平面)に於ける平行移動ベトクルとは異なります。それでは、3次元リーマン空間での“平行移動”はどうなるのかと言うことですが、3次元リーマン空間中のP点に於ける“接ユークリッド空間”が想像できるかにかかっています。P点に於けるベクトルを3次元リーマン空間中のQ点に平行移動したベクトルの接ユークリッド空間への射影がこの稿で今まで説明してきたA‖になります。A‖そのものが、3次元リーマン空間に於ける平行移動ベクトルというわけではありません。A‖とは違ったものになります。このことの最終的な解決については、4.(1)2.[補足説明2]をご覧下さい。別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(5)2.[補足説明4]の図はその当たりの事情を示しています。補足しますと、上図の曲線が“測地線”であれば、広義の“平行移動”の場合、ベクトルと移動が沿っている測地線とは同一角度を保ちます。広義の“平行移動”でも、それが沿う曲線が測地線ではない場合ベクトルと移動曲線のなす角は一定値を保ちません。このことにつきましては別稿6.(4)2.[補足説明1]や別稿3.(8)4.[補足説明1]で注意しました。それぞれが測地線の場合、その移動曲線とベクトルのなす角は一定値を保ってP3まで平行移動しますが、その場合でも空間が曲がっている場合には移動後の2つのベクトルが一致しないことが生じると言っているのです。これは1.(3)[補足説明]で取り上げた簡単な例からも明らかです。いま、歪んでいない二次元ユークリッド空間(単なる平面)を考えてみると上記の意味はさらに良く解ります。平面上に引かれた下図の様な“直線”はすべて“測地線”になります。二次元ユークリッド空間(平面)の場合の測地線は真っ直ぐな線ならばどの方向を向いていてもよく、直線ならばすべて測地線です。曲線は絶対に測地線とは成りません。測地線とは二点間を最短距離で結ぶ線なのですから。下図においてどの経路も測地線に沿った平行移動ですから、測地線とベクトルが交わる角度は常に一定値を保ちます。そのため移動の様子はとなります。このとき、移動させる経路が曲線の場合上記の折れ線をもっと細かく分割して極短い直線の連なりと見なせば良い。その場合、各直線部の移動の間はそれぞれの部分で直線素片とベクトルは同一の角度を保って平行移動します。その事から、その折れ線の連なり全体を一つの曲線と見なせば、その曲線に沿ってのベクトルの平行移動は、曲線素片とベトクルのなす角は移動と共に変化していくことになります。移動する経路が直線を折れ線状に繋いだものであれ、滑から曲線であれ、いずれの場合も、任意の経路に沿って平行移動したベクトルのすべてが、移動後に一致します。曲がっていない二次元ユークリッド空間(平面)の場合、平行移動するベクトルが、測地線(直線)の連なりを経由して移動しようと、任意の曲線(測地線では無い)を経由して移動しようと、そういった経路の違いに拘わらず移動後のベクトルはすべて一致します。ところが曲がった曲面(二次元リーマン空間)では、同一終点に移動したベクトルは平行移動する経路(それが測地線であるかどうかに関係無く)により異なると言うことです。多くの解説書では、曲がった曲面として球面を考え、その上の経線と赤道を利用した二経路を用いて平行移動後のベクトルが異なることを説明しています。そのように経線と赤道を用いるのは、それが測地線だからです。測地線に沿っての“平行移動”は、測地線とベクトルのなす角が一定であることで簡単に実現できるからです。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」4.(4)では、基底ベクトルがリーマン空間の中を移動したとき、“基底ベクトルの変化量を表す係数”として、クリストッフェル記号が導入された。ここでは、リーマン空間の中で1つのベクトルを“平行移動”したとき、そのベクトルが同じになるために必要な“変分ベクトルCを表す係数”として導入された。クリストッフェル記号の導入法は全く異なりますが、両者は同じものであることがやがて解ります。ここでは、ベクトルの“反変”成分ではなくて、“共変”成分を用いてクリストッフェル記号が定義されていることに注意して下さい。その様にしたのは、上記別稿のやり方での定義したクリストッフェル記号と一致させるためです。そのことは第3章“反変ベクトル平行移動”をご覧頂いた後に、上記別稿でのクリストッフェル記号の計量テンソル表現と比較してみられれば了解して頂けます。5.文献(2)クリストッフェル記号の座標変換公式[補足説明1]以下では反変ベクトルではなく、共変ベクトルの座標変換則から出発する。共変ベクトルを用いるのは、本稿1.(5)におけるクリストッフェル記号の定義が共変ベクトルでなされているからです。このことについては1.(5)[補足説明2]もご覧下さい。共変ベクトルの座標変換は反変ベクトルの座標変換の逆変換の変換係数で変換される事を思い出して下さい。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」3.(1)〜(3)を復習されたし。そこの座標変換係数を表す文字Aと、本稿でのベクトル成分を表す文字Aを混同しないで下さい。(計量テンソル・クリストッフェル記号・共変微分とは何か)」3.(1)〜(3)を参照して下さい。[補足説明3]ここでは、“平行移動”を表現する為の係数として“クリストッフェル記号”を導入し、その“平行移動”のときに成り立たねばならない性質から、クリストッフェル記号の“座標変換公式”が導かれた。ここまでの話には、“クリストッフェル記号”(接続係数)とリーマン空間の“基本計量テンソル”との関係はどこにも用いられていません。平行移動の概念だけから“クリストッフェル記号”(接続係数)を導入し、平行移動の概念だけから“クリストッフェル記号”の座標変換則が導かれたのです。3(曲面幾何学)」3.(3)1.や、別稿「テンソル解析学(絶対微分学)」6.(2)5.などを参照されたし。そこでは、別なやり方でクリストッフェル記号を定義し、それと基本計量テンソルとの関係式を導いてから、その関係式中の基本計量テンソルに対する座標変換公式を利用してクリストッフェル記号の座標変換公式を求めています。