2018.11.16三次方程式は大学入試の明暗を分ける重要分野です!!三次方程式は一見難しそうに見えますが、高校の定期テストや大学受験に出題される問題は、ほぼ全て解が導き出せるように作られています。今回は因数定理の方法と、解と係数を用いた検算について分かりやすく解説します。【目次】1.三次方程式とは?2.三次方程式の解法:因数定理3.三次方程式の例題4.三次方程式:解と係数の関係5.三次方程式:まとめ1.三次方程式とは?三次方程式とは、次数が3である代数の方程式です。一般的には、ax3+bx2+cx+d=0と表記されます。現代では主に代数を使った解法が、三次方程式の解として使われています。代数的な解法として有名なのが、カルダノの公式でしょう。ここでは扱いやすい因数定理を使った解法を紹介していきます。基本的な式を使って解き方の流れを見ていきましょう。ここで使われている係数は整数として考えてください。f(x)=ax3+bx2+cx+dとしましょう。x1,x2となります。3.三次方程式の例題x3-2x2-x+2=0という式を用いて実際に解いてみましょう。1まず最初に、この式を満たす有理数の解を1つ探しましょう。方程式ax3+bx2+cx+d=0の有理数解は下記のようになります(これは便利なのでぜひ覚えましょう)。この定式に当てはめると、a=1、d=2なので、±1と±2が候補です。この例題の場合ですと、x=2を代入すると式が成立します。実際に代入してみるとf(1)=2^3-2・2^2-2+2=8-8-2+2=0となります。2次に因数定理より、この三次方程式はx-2でくくることが出来ます。因数定理とは多項式であるf(x)という式で、f(a)=0をみたすx=aが存在するのであれば、f(x)は(x-a)で割り切れる定理のことです。=(x-2)q(x)という式に変換できます。今回はq(x)を筆算で求めてみましょう。(x2-1)となります。3q(x)を因数分解するとq(x)=(x2-1)=(x-1)(x+1)となります。(x-2)(x-1)(x+1)なのでf(x)=0となるのはx=2,1,-1なので、これが解答となります。以上が、三次方程式の解き方の流れです。大学受験における数学では、解と係数の関係を理解していると、計算ミスを減らすことができます。出題されるわけではありませんが、知っておくと便利ですのでしっかりマスターしておきましょう。解と係数の関係で最も代表的なのが因数定理です。これを三次方程式にあてはめて考えていきましょう。例題となる式は、ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)とします。1この方程式の解がα、β、γだと仮定してください。2因数定理を考えると、ax3+bx2+cx+dの式は、(x-α)と(x-β)と(x-γ)の3つで割り切れます。ax3+bx2+cx+d=a(x-α)(x-β)(x-γ)と変形して計算すると、a{x3-(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ}=ax3-a(α+β+γ)x2+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγとなります。ax3+bx2+cx+d=ax3-a(α+β+γ)x2+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγここで、この式が恒等式になっている、という事に気付けるかどうかが大きなポイントになります。(※恒等式に関する記事についてはこちら)3両辺における係数を見比べます。-aαβγ上記の形ですね。4これを変形するとα+β+γ=-b/aαβ+βγ+γα=c/aαβγ=-d/aとなります。これを三次関数の解と係数の関係と言います。(※二次方程式の解と係数の関係に関する記事はこちら)この解と係数の関係を知っておくと、三次方程式を解く時にとても便利です。γ=-1として検算してみましょう。方程式よりa=1となることが明らかです。x3-2x2-x+2=0となり、例題と一致するので解は正しいと言うことができます。5.三次方程式:まとめ最後まで読んで下さりありがとうございます。この記事では、三次関数について解説しました。難しそうに見える三次方程式でも、一つ解を見つけてしまえば容易に求めることが出来ます。今回紹介した有理数解の求め方を用いれば、ある程度見当がつくので今まで適当に値を代入していた方も時間短縮につながります。三次方程式は繰り返し問題に触れ、形式に慣れることが大切です。※アンケート実施期間:2019年11月19日~受験のミカタでは、読者の皆様により有益な情報を届けるため、中高生の学習事情についてのアンケート調査を行っています。今回はアンケートに答えてくれた方から10名様に500円分の図書カードをプレゼントいたします。「受験のミカタ」は、難関大学在学中の大学生ライターが中心となり運営している、高校生のための「受験応援メディア」です。著作権は受験のミカタおよび株式会社パンタグラフに帰属しています。権利者の許諾なく、私的使用の範囲を越えて複製したり、領布・公衆送信(送信可視化を含む)等をおこなうことは法律で固く禁じられています。Reserved.プッシュ通知をオンにして、受験のミカタの新しい記事や、プレゼントキャンペーンの情報などをいち早く手に入れましょう。プッシュ通知を許可するホーム画面に。